北京航空航天大學材料力學課件-劉華-5第五章彎曲內力

1、Page1 Page2上圖：水閘立柱上圖：水閘立柱下圖：跳板下圖：跳板彎曲實例彎曲實例Page3彎曲彎曲變形特征變形特征：軸線變彎軸線變彎以彎曲為主要變形形以彎曲為主要變形形式的桿式的桿梁梁受力特征受力特征：力或力矩矢力或力矩矢 量垂直于軸線量垂直于軸線平面彎曲：平面彎曲：水橋也。水橋也。 說文解字說文解字Page4 梁上的外力梁上的外力 梁上的計算簡圖梁上的計算簡圖Page5主要約束形式與反力主要約束形式與反力 固定固定鉸支座：鉸支座：支反力支反力 FRx 與與 FRy 可動可動鉸支座鉸支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端：端：支反力支反力 FRx , FRy

2、 與矩為與矩為 M 的支反力偶的支反力偶Page6 靜定梁的形式：靜定梁的形式：靜定梁靜定梁靜不定梁靜不定梁Fq(x)簡支梁簡支梁q(x)FFF外伸梁外伸梁FF懸臂梁懸臂梁FPage7拉壓桿橫截面上的內力拉壓桿橫截面上的內力軸力軸力受扭軸橫截面上的內力受扭軸橫截面上的內力扭矩扭矩受彎曲梁橫截面上的內力受彎曲梁橫截面上的內力？內力分析內力分析應力分析應力分析變形分析變形分析Page8QQ 以簡支梁為例，分析梁的內力以簡支梁為例，分析梁的內力ABFFAyFFBymmFByFsM FY=0 FS+ FBy=0 FS= -FBy MC=0 -M+FByl=0 M= FBylFS剪力剪力 M彎矩彎矩Pa

3、ge9剪力：剪力：使微段有沿順時使微段有沿順時針方向轉動趨勢為正針方向轉動趨勢為正彎矩：彎矩：使微段彎曲呈使微段彎曲呈凹形為正凹形為正彎矩符號另一定義：彎矩符號另一定義：使使橫截面頂部受壓為正橫截面頂部受壓為正剪力與彎矩的符號規(guī)定剪力與彎矩的符號規(guī)定Page10Page11lABqFAyFByqFAyxFSM例：例：試建立圖示簡支梁的剪試建立圖示簡支梁的剪力、彎矩方程，畫剪力、彎力、彎矩方程，畫剪力、彎矩圖。矩圖。解：解：1、求支反力，由梁的平衡：求支反力，由梁的平衡： FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐標軸建立坐標軸Ox軸軸3、在截面在截面x處截取左段為研處截取左段為研究對象，根據(jù)平衡條

4、件：究對象，根據(jù)平衡條件：FS=ql/2-qx FY=0, FAy-qx-FS=0 MC=0, M-FAyx+qx(x/2)=0 M=qlx/2-qx2/2Page12FS=q(l-2x)/2 0 x l M= qx(l-x)/2 0 x llABqFAyFByxoFS:xFSql/2ql/2+_M:xMql2/8+4、根據(jù)剪力、彎矩方程畫根據(jù)剪力、彎矩方程畫剪力、彎矩圖剪力、彎矩圖注意事項：注意事項：載荷、剪力、彎矩圖對齊載荷、剪力、彎矩圖對齊標注段值、極值、正負號標注段值、極值、正負號按工程圖要求，請用工具按工程圖要求，請用工具 作圖作圖Page13例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖

5、建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖1、求支反力求支反力：FAy=bF/(a+b) FBy= aF/(a+b) 2、建立坐標：建立坐標：3、建立剪力、彎矩方程：建立剪力、彎矩方程：(截面法截面法)FAyFByxFAyxFSMFS=FAy (0 x a) M=FAyx (0 x a) ABFabFS=FAy - F (a x a+b) M=FAyx-F(x-a) (a x a+b) FAyxFSMFPage14ABFabx1x2FS=FAy (0 x1 a) M=FAyx1 (0 x1 a) FS=-FBy (0 x2 b) M=FByx2 (0 x2 b) FF 也可以建立局部坐標：也可以建立局部

6、坐標：FAyx1FSMFByx2FSMPage15ABFabx1x2FS=FAy (0 x1 a) M=FAyx1 (0 x1 a) FS=-FBy (0 x2 b) M=FByx2 (0 x2 b) FS:xFSbF/(a+b)+_aF/(a+b)M:xM+abF/(a+b)$ 在集中力作用處在集中力作用處( (包括包括支座支座) )剪力有突變剪力有突變, ,突變量突變量等于集中力之值。等于集中力之值。Page16例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖qqa2aaABCx可以不求支反力可以不求支反力建立坐標建立坐標建立剪力彎矩方程：建立剪力彎矩方程：FS=-

7、qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x a) FS=-qa (a x 2a) M=qa2-qa(x-a/2) (a x 2a) xAqFSMqqa2xABFSMPage17qqa2aaABCxFS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x a) FS=-qa (a x 2a) M=qa2-qa(x-a/2) (a x 2a) FS:xFS_qaM:xM+qa2/2_qa2/2qa2/2$ 在集中力偶作用處在集中力偶作用處( (包括支包括支座座) ) 彎矩有突變彎矩有突變Page18Aq4RFqaBCa3aAyFByF( )a1x2x43qa53qaqa( ) csF212q

8、a289qa( )dMRFqa4 AByMFqa30,4 AM0 ByFqa83 解：解：1、計算支座反力、計算支座反力，作用于，作用于AC梁中點。梁中點。例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖43qa1SF1x1M2SF2x2M( )bsFqaqx1143 Mqaxqx21114132 xa103 AB段內力段內力sFqx22 Mqx22212 xa20 BC段內力段內力Page19解：解：1. 求支反力求支反力2oRlqF 6olqFAy 3olqFBy 例：例：三角形分布載荷作用，畫剪力與彎矩圖三角形分布載荷作用，畫剪力與彎矩圖2. 建立剪力彎矩方程建立

9、剪力彎矩方程lxqxlqF00S26 200S26xlqlqF 32600 xlxqxxlqM 30066xlqxlqM l3lAyFByFABRF0qlx06q lAB0q q x03q lx06q l0q x lSFMPage203. 畫剪力彎矩圖畫剪力彎矩圖200S26xlqlqF 2 次拋物線次拋物線30066xlqxlqM 3 次曲線次曲線00qlqdMxdxl 20623/lxC 396620300lqxlqxlqMCCC lx06q lAB0q q x03q lSFxCxC06ql03ql Mx 209 3q l/3lPage21總結：總結：QQ 分析步驟：分析步驟：求支反力求支

10、反力建立坐標建立坐標建立剪力彎矩方程建立剪力彎矩方程畫剪力彎矩圖畫剪力彎矩圖QQ 當需要分段列剪力彎矩方程時（集中力，集中力偶，分布載當需要分段列剪力彎矩方程時（集中力，集中力偶，分布載 荷不作用在整個梁段），可以采用荷不作用在整個梁段），可以采用整體坐標整體坐標或或局部坐標局部坐標。QQ 剪力彎矩圖中要標明剪力彎矩圖中要標明符號符號以及以及特征點的大小特征點的大小。QQ 剪力圖在有剪力圖在有集中力集中力作用處（包括支座處），發(fā)生突變。作用處（包括支座處），發(fā)生突變。QQ 彎矩圖在有彎矩圖在有集中力偶集中力偶作用處（包括支座處），發(fā)生突變。作用處（包括支座處），發(fā)生突變。Page22若簡支梁上

11、承受一集中力，則最大彎矩發(fā)生在集中力若簡支梁上承受一集中力，則最大彎矩發(fā)生在集中力作用處，若簡支梁上承受一段均勻分布載荷，納維認作用處，若簡支梁上承受一段均勻分布載荷，納維認為最大彎矩發(fā)生在分布載荷的合力處。為最大彎矩發(fā)生在分布載荷的合力處。 1 1）你認為納維的結論是否正確？）你認為納維的結論是否正確？ 2 2）若認為不正確，請給出正確結論。）若認為不正確，請給出正確結論。思考題：思考題：ABFabABqCPage23最大彎矩是否發(fā)生在分布載荷的合力作用處？最大彎矩是否發(fā)生在分布載荷的合力作用處？ABqablRARBqlbqlaFFabab11RAMFx 22221()22RAlMFxaqx

12、33RBMFx x2x1x32220RAdMFqxdx2blxab 22SRAFFqxPage2411RAMFx 22221()22RAlMFxaqx33RBMFx 1223SRASRASRBFFFFqxFF 12300qqqq SSdFdMFqdxdxABqablx2x1x3Page25一、微積分關系的推導一、微積分關系的推導取梁一長取梁一長dx微段，微段，研究它的平衡研究它的平衡(a) 0)d(d 0SSS FFxqF,FyS dddd0 (b)CMxMMq xF xM 0,2SddFqx SddMFx 2ddMqx 2q 向上為正向上為正 x x 向右為正向右為正注意：注意：積分關系：積

13、分關系：SSFqdxMF dx ,Page26二、微積分關系的幾何意義（用于快速畫剪力彎矩圖）二、微積分關系的幾何意義（用于快速畫剪力彎矩圖）qxF ddSSddFxM qxM 22ddQQ 剪力圖某點處的切線斜率剪力圖某點處的切線斜率 = = 該截面處載荷集度的大小該截面處載荷集度的大小QQ 彎矩圖某點處的切線斜率彎矩圖某點處的切線斜率 = = 該截面處剪力的大小該截面處剪力的大小QQ 該截面處載荷集度的正負該截面處載荷集度的正負 決定決定 彎矩圖某點處的凹凸性彎矩圖某點處的凹凸性(q0,凹凹)Page27例：例：利用微積分關系畫剪力彎矩圖利用微積分關系畫剪力彎矩圖ABqa/2qa/2a/2

14、aCD1、求支反力：、求支反力：FAy=5qa/8 FDy= 7qa/85qa/87qa/82、求出、求出特征點特征點的剪力彎矩值：的剪力彎矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲線斜線斜線M圖斜線水平線水平線Fs圖q 0q = 0q = 0qFSABCD+-5qa/8qa/87qa/8MABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1283、確定各段的、確定各段的曲線形狀曲線形狀：4、畫剪力彎矩圖：、畫剪力彎矩圖：Page28M F向上向上, ,向上向上突變突變M Me順時順時針針, ,

15、向上突變向上突變qxF ddSSddFxM qxM 22dd（喻打傘）（喻打傘）Page291、截面法截面法 基本方法基本方法2、面積法面積法 (積分法積分法) ：0( )( )xSSdFq xFq x dxCdx 0 xSSdMFMF dxDdx x左邊分布載荷的面積左邊分布載荷的面積 + x左邊的集中載荷左邊的集中載荷( (包包 括支反力括支反力) )= x左邊剪力圖的面積左邊剪力圖的面積 + x左邊的集中力偶左邊的集中力偶( (包包 括支反力偶括支反力偶) )=M順時針順時針為正為正q、F向上向上為正為正FF 求特征點剪力、彎矩值的方法求特征點剪力、彎矩值的方法：Page30qaqa2a

16、/2-+qaABCqa5/4qa2qa2qa2ABC - 跟著箭頭走跟著箭頭走先求支反力，從先求支反力，從左往右去，左往右去，剪力圖口訣剪力圖口訣根據(jù)剪力圖，兩點根據(jù)剪力圖，兩點對一段；若遇到力對一段；若遇到力偶，順上逆下走。偶，順上逆下走。彎矩圖口訣彎矩圖口訣2qaaACBqa例：例：Page312S2d Fdq0dxdx例：例：利用微積分關系畫三利用微積分關系畫三角形分布載荷剪力彎矩圖角形分布載荷剪力彎矩圖 lx06q lAB0q q x03q lSFxCxCq l06q l03 l06q lAB0q03q l-q剪力圖凸曲線剪力圖凸曲線20maxCSA cql2MMF x39 31. 載

17、荷的坐標圖載荷的坐標圖2. 分析剪力圖凹凸性分析剪力圖凹凸性3. 求剪力圖零點求剪力圖零點4. 求彎矩圖極值求彎矩圖極值Mx 209 3q l/3lq=ax+b200ccq lq xl0,x62l3-Page322qaqaDqaa剪力圖a22qa2qa232qa2qa彎矩圖ABC2qaqaq2qaa2a2qaqa例：例：已知剪力、彎矩圖，已知剪力、彎矩圖， 試畫載荷圖。試畫載荷圖。1. 根據(jù)剪力圖定集中與分布力根據(jù)剪力圖定集中與分布力2. 根據(jù)彎矩圖的跳躍值定集中根據(jù)彎矩圖的跳躍值定集中與分布力偶。與分布力偶。解：解：思考：是否能唯一確定載思考：是否能唯一確定載荷圖的約束形式？荷圖的約束形式？

18、Page33例：例：載荷載荷F F 可以在整個梁段上移動，當支座位于何位置時可以在整個梁段上移動，當支座位于何位置時（a=?a=?），梁上的最大彎矩值（絕對值）最小。），梁上的最大彎矩值（絕對值）最小。（雙杠問題）（雙杠問題）Faal 解：解：當載荷位于梁端點時當載荷位于梁端點時正負彎矩絕對值相等時，梁上最大彎矩正負彎矩絕對值相等時，梁上最大彎矩（絕對值）最小。（絕對值）最小。minMFa 當載荷位于梁中點時，當載荷位于梁中點時，max1MF(l2a )4令：令：minmaxMM, la6 F-FaF+0.25F(l-2a)Page34例：例：FaFACBFAyPage35FcyFcyFByC

19、FaFBACMBFAyFaFACBFAyPage36FaFACBFAyxFSF_2FxM+Fa2Fa梁間鉸只能傳遞力，不能傳梁間鉸只能傳遞力，不能傳遞力偶矩，只要梁間鉸相連遞力偶矩，只要梁間鉸相連兩橫截面無外力偶作用，則兩橫截面無外力偶作用，則該二截面的彎矩為零。該二截面的彎矩為零。FFFaA2FB2FaFFFaAF2FB2FaFPage37sF12qa32qa( 1)cx例：例：F1/2qaqa2qBCM232qa( 2)cx2qaPage38剛架：剛架：用剛性接頭連接用剛性接頭連接的桿系結構的桿系結構一、剛架一、剛架剛性接頭的力學性質：剛性接頭的力學性質： 約束限制相連桿端截約束限制相連桿

20、端截面間的相對線位移與角位移面間的相對線位移與角位移 受力既可傳力，也可受力既可傳力，也可傳遞力偶矩傳遞力偶矩Page39二、剛架的內力及其符號二、剛架的內力及其符號剛架的內力包括軸力、扭矩、剪力和彎矩，剛架的內力包括軸力、扭矩、剪力和彎矩，其中軸力、扭矩其中軸力、扭矩和剪力符號與前相同。和剪力符號與前相同。彎矩圖不標正負號，畫在受壓一側。彎矩圖不標正負號，畫在受壓一側。MM認為正彎矩認為正彎矩觀察者觀察者B觀察者觀察者A認為負彎矩認為負彎矩M兩觀察者均會將圖畫在右側（受壓側）兩觀察者均會將圖畫在右側（受壓側）注釋：注釋：彎矩符號規(guī)定下凹為正，上彎矩符號規(guī)定下凹為正，上凸為負，與坐標方向相關。凸為負，與坐標方向相關。無論是正彎矩，還是負彎矩無論是正彎矩，還是負彎矩按規(guī)定都畫在受壓一側，與按規(guī)定都畫在受壓一側，與坐標方向無關。坐標方向無關。實際作圖，可任選正向，不標正負號，實際作圖，可任選正向，不標正負號，即可取得一致：畫在受壓一側。即可取得一致：畫在受