同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)(第七版)1-2 數(shù)列極限

1、第二講 數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2（一）引例（一）引例求半徑

2、為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S越來(lái)越接近越來(lái)越接近S越來(lái)越接近越來(lái)越接近S劉徽劉徽“割圓術(shù)割圓術(shù)”“割之彌多，割之彌多，所失彌少，所失彌少，割之又割，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合體而則與圓周合體而無(wú)所失矣無(wú)所失矣”（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十

3、二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭” 莊子莊子2.越來(lái)越接近越來(lái)越接近S（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.越來(lái)越接近越來(lái)越接近S（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)

4、接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.越來(lái)越接近越來(lái)越接近S（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：越來(lái)越接近越來(lái)越接近

5、S（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：越來(lái)越接近越來(lái)越接近S（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增

6、大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0越來(lái)越接近越來(lái)越接近S越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日

7、取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0極限：極限：變量的變化趨勢(shì)變量的變化趨勢(shì)越來(lái)越接近越來(lái)越接近S越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2

8、.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0極限：極限：變量的變化趨勢(shì)變量的變化趨勢(shì)越來(lái)越接近越來(lái)越接近S越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2

9、第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0極限：極限：變量的變化趨勢(shì)變量的變化趨勢(shì)極限極限方法：方法：在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法變量與常量等矛盾的方法. .近近 似似 值值近近 似似 值值越來(lái)越接近越來(lái)越接近S精確值精確值越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0精確值精確值（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積S1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：S1 1正六邊形：正六邊形

10、：S2 2正十二邊形：正十二邊形： S3 3Sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)Sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0極限：極限：變量的變化趨勢(shì)變量的變化趨勢(shì)極限極限方法：方法：在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法變量與常量等矛盾的方法. .變變 量量變變 量量越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0常量常量常

11、量常量越來(lái)越接近越來(lái)越接近S一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義定義：定義：nx如果按照某一法則如果按照某一法則, ,對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) , ,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) , ,這些實(shí)數(shù)這些實(shí)數(shù) 按照下標(biāo)按照下標(biāo)n從小到大排列得從小到大排列得到的一個(gè)序列到的一個(gè)序列 Nnnx123,nx xxx就叫做數(shù)列就叫做數(shù)列, ,記為記為 . .nx表示：表示：(a) 數(shù)軸上的一系列點(diǎn)

12、數(shù)軸上的一系列點(diǎn)(b) 平面上的一系列點(diǎn)平面上的一系列點(diǎn)1x2x3x4x1234noxn1x2x3x4xnxx實(shí)質(zhì)：實(shí)質(zhì)： 自變量為正整數(shù)的函數(shù)自變量為正整數(shù)的函數(shù)( ),Nnxf nn （二）數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義例：例：（1）11:n 112,1,1,23（2）11:n 1 30,2 4（3）

13、( 1)1:nn 1 20, 1,2 3（4） ( 1):nn 1, 2,3,（5）1( 1):2n 1, 0,1, 0,增減性增減性依次遞減依次遞減依次增大依次增大來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)111無(wú)限大無(wú)限大無(wú)無(wú)變化趨勢(shì)為常數(shù)變化趨勢(shì)為常數(shù)數(shù)列極限的描述性定義數(shù)列極限的描述性定義如果當(dāng)如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， nx無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱(chēng)常數(shù)則稱(chēng)常數(shù)a為數(shù)列為數(shù)列 nx 的極限的極限（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)

14、列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， nx無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù)a， 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，axn無(wú)限變小無(wú)限變小 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，axn要多小有多小要多小有多小對(duì)于任意給定的正數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)， 都可以找到一項(xiàng)，都可以找到一項(xiàng)，使得該項(xiàng)以后的所有項(xiàng)，使得該項(xiàng)以后的所有項(xiàng)，axn小于上述給定的正數(shù)小于上述給定的正數(shù) 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，11n 無(wú)限接近于無(wú)限接近于1.10n 取取,10N 當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)，時(shí)，例例如果當(dāng)如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， nx無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱(chēng)常

15、數(shù)則稱(chēng)常數(shù)a為數(shù)列為數(shù)列 nx 的極限的極限. 給定給定0.1 欲使欲使 nn11111 . 01 . 0111 n01. 001. 010001. 0100 給定給定0， 欲使欲使1111nn 1n 取取11,N 當(dāng)當(dāng)nN 時(shí)，時(shí)，111n 設(shè)設(shè) nx 為一為一數(shù)列，如果存在常數(shù)數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)N, ,使得當(dāng)使得當(dāng)Nn 時(shí)，不時(shí)，不等式等式 axn都成立都成立, , 那么就稱(chēng)常數(shù)那么就稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列 nx 的的極限極限, ,或者稱(chēng)數(shù)列或者稱(chēng)數(shù)列 nx 收斂于收斂于a, ,記為記為

16、,limaxnn 或或).( naxn 數(shù)列極限的精確定義：數(shù)列極限的精確定義：0, 即：即：limnnxa 正整數(shù)正整數(shù),N當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí),有有.nxa 1.關(guān)于關(guān)于任意變小任意變小，描述了描述了 與與 的無(wú)限接近程度的無(wú)限接近程度. .nxa相對(duì)固定相對(duì)固定，根據(jù)給定的根據(jù)給定的找找N2.關(guān)于關(guān)于N依賴(lài)于依賴(lài)于，有時(shí)可記作有時(shí)可記作N（）.不唯一不唯一.l注注0, 0,N當(dāng)當(dāng)nN 時(shí)時(shí),有有.nxa u例例1證明證明1limsin0.2nnn u例例2證明證明lim0(1).nnqql注注1.記住重要結(jié)論記住重要結(jié)論2.證明的關(guān)鍵：證明的關(guān)鍵：依據(jù)依據(jù)找找N（N可以不同）可以不同）3.找找

17、N的方法：的方法： 常用常用“適當(dāng)放大適當(dāng)放大”的方法的方法4.放大的技巧：放大的技巧：利用各種不等式利用各種不等式l歌謠：歌謠： 證明規(guī)律遵證明規(guī)律遵執(zhí)果索其因執(zhí)果索其因依據(jù)依據(jù)找找NN能找到能找到結(jié)論斷言真結(jié)論斷言真如何找如何找N適當(dāng)放大身適當(dāng)放大身若把技巧問(wèn)若把技巧問(wèn)不等式來(lái)尋不等式來(lái)尋關(guān)鍵要把準(zhǔn)關(guān)鍵要把準(zhǔn)（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義1 1幾何意義幾何意義nnxaaxa0,0,nNnN xa0,0,

18、nNnN axax1x2x2 Nx1 Nx3x2 a a a a aannxo2 2粗略說(shuō)法粗略說(shuō)法0, .nxa “一個(gè)時(shí)刻一個(gè)時(shí)刻”, ,使得在該使得在該“時(shí)刻以后時(shí)刻以后”， 恒有恒有數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（一）極限的唯一性（一）極限的唯一性如果數(shù)列如果數(shù)列 收斂收斂, ,那么它的極限唯一那么它的極限唯一. . nx定理定理1 1（二）收斂數(shù)列的有界性（二）收斂數(shù)列的有界性數(shù)列有界的定義數(shù)列有界的定義定理定理2一定有界一定有界. nx nx如果數(shù)列如果數(shù)列收斂收斂, 那么數(shù)列那么數(shù)列l(wèi)注注一定發(fā)散一定發(fā)散. nx nx如果數(shù)列如果數(shù)列無(wú)界無(wú)界, 那么數(shù)列那么數(shù)列(1)(2) nx如果數(shù)列如果數(shù)列有界有界,不一定收斂不一定收斂. nx數(shù)列數(shù)列二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（三）收斂數(shù)列的保號(hào)性（三）收斂數(shù)列的保號(hào)性定理定理3 3推論推論如果如果lim,nnxa 且且0a ( (或或0a ),),那么存在正整數(shù)那么存在正整數(shù)0,N 當(dāng)當(dāng)nN 時(shí)時(shí), ,都有都有0nx ( (或或0nx ).). nx如果數(shù)列如果數(shù)列從某項(xiàng)起有從某項(xiàng)起