微專題-圓錐曲線中的最值問題(解析版)

1、專題30 圓錐曲線中的最值問題【考情分析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題，因其考查的知識容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個熱點。江蘇高考試題結(jié)構(gòu)平穩(wěn)，題量均勻每份試卷解析幾何基本上是1道小題和1道大題，平均分值19分，實際情況與理論權(quán)重基本吻合；涉及知識點廣雖然解析幾何的題量不多，分值僅占總分的13%，但涉及到的知識點分布較廣，覆蓋面較大；注重與其他內(nèi)容的交匯。圓錐曲線中的最值問題，范圍問題都是考查學(xué)生綜合能力的載體俗話說：他山之石可以攻玉在研究這幾年外省新課程卷解析幾何試題時，就很有啟發(fā)性比如2010年安徽卷理科19題，該題入題口寬，既可用傳統(tǒng)的聯(lián)立直線與曲線，從方程

2、的角度解決，也可利用點在曲線上的本質(zhì)，用整體運算、對稱運算的方法求解再比如2011年上海卷理科23題，主要涉及到中學(xué)最常見的幾個軌跡，通過定義點到線段的距離這一新概念設(shè)置了三個問題，特別是第三問，呈現(xiàn)給學(xué)生三個選擇，學(xué)生可根據(jù)自已的實際情況選擇答題，當(dāng)然不同層次的問題，評分也不一樣，體現(xiàn)讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展【備考策略】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決： （1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系； （2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍； （3）函數(shù)值域求解法：把所討論

3、的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。 （4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思；【激活思維】1已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是2 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為7 3拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是4已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y

4、1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 32 . 5已知點M(-2，0)，N(2,0)，動點P滿足條件.記動點的軌跡為W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求的最小值.解：（）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）（）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為xx0，此時A（x0，），B（x0，），2 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：(1k2)x22kbxb220依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得|k|>

5、;1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b2>2綜上可知的最小值為2【典型示例】求拋物線上的點到直線距離的最小值?分析一：設(shè)拋物線上任一點坐標為P(,-)，由點到直線的距離公式得P到直線的距離d()=，當(dāng)=時，d()取得最大值,分析二：設(shè)拋物線上點P(,-)到直線4x+3y-8=0距離最小，則過P且與拋物線相切的直線與4x+3y-8=0平行，故y( )=-2 =-,=,P(,-),此時d=，.分析三：設(shè)直線方程為4x+3y+C=0則當(dāng)l與拋物線相切時l與4x+3y-8=0間的距離為所求最小，由得4x-3x+C=0，=16+12C=0, c

6、=-,此時d=【分類解析】例1:已知橢圓，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點，P是橢圓上任一點，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值分析：（1）A為橢圓的右焦點。作PQ右準線于點Q，則由橢圓的第二定義，顯然點P應(yīng)是過B向右準線作垂線與橢圓的交點，最小值為。（2）由橢圓的第一定義，設(shè)C為橢圓的左焦點，則，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P運動到與B、C成一條直線時，便可取得最大和最小值。當(dāng)P到P"位置時，有最大值，最大值為；當(dāng)P到位置時，有最小值，最小值為.（數(shù)形結(jié)合思想、橢圓定義、最值問題的結(jié)合）變式:點A（3，2）為定點，點F是拋物線y2=4x的焦點，點P在拋物線

7、y2=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點P的坐標。解：拋物線y2=4x的準線方程為x=-1，設(shè)P到準線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖3可知過A點的直線與準線垂直時，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。例2: 已知橢圓的中心在O,右焦點為F，右準線為L，若在L上存在點M，使線段OM的垂直平分線經(jīng)過點F，求橢圓的離心率e的取值范圍?解：如果注意到形助數(shù)的特點，借助平面幾何知識的最值構(gòu)建使問題簡單化，由于線段OM的垂直平分線經(jīng)過點F，則利用平面幾何折線段大于或等于直線段（中心到準線之間的距離），則

8、有 2，橢圓的離心率e的取值范圍橢圓的離心率e的取值范圍為變式1: 已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|,求此雙曲線的離心率e的最大值?解：雙曲線的離心率e的最大值為變式2: 已知橢圓方程為 ，（）的左、右焦點分別為F1、F2，點P在為橢圓上的任意一點，且|PF1|=4|PF2|,求此橢圓的離心率e的最小值?解：橢圓的離心率e的最小值為例3: 已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設(shè)

9、Q(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因為Q在橢圓上移動，所以-1£y£1，故當(dāng)時，此時【點晴】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。變式1: 設(shè)P是橢圓+= 1 ( a > 1 ) 短軸的一個端點, Q為橢圓上的一個動點,求| PQ | 的最大值. 解法1: 依題意可設(shè) P (0, 1 ), Q (x , y ), 則| PQ

10、| = . 又因為Q在橢圓上, 所以 = (1) . = (1) + 2y + 1 = (1)2y + 1 + = (1) + 1 + . 因為 | y | 1, a > 1, 若a , 則1, 當(dāng)y = 時, | PQ | 取最大值; 若1< a <, 則當(dāng)y = 1時, | PQ | 取最大值2 . 解法2: 設(shè)P (0, 1 ), Q (, ), 則 = + = (1)2+ 1 = (1)+ 1. 注意到 | 1, a > 1. 以下的討論與解法1相同.變式2:已知OFQ的面積為，（1）設(shè)，求ÐOFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線

11、經(jīng)過點Q（如圖）， 當(dāng) 取得最小值時，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè)ÐOFQ =q （2）設(shè)所求的雙曲線方程為，又，當(dāng)且僅當(dāng)c=4時，最小，此時Q的坐標是或 ，所求方程為 【精要歸納】圓錐曲線的最值問題，常用以下方法解決：（1）當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；（2）范圍實質(zhì)為一個不等式關(guān)系，如何構(gòu)建這種不等關(guān)系？例2中可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建。利用題設(shè)和平面幾何知識的最值構(gòu)建不等式往往使問題簡單化，回味本題的探究過程，認識解析幾何中“形助數(shù)”簡化運算的途徑。（3）.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二

12、次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。（4）利用代數(shù)基本不等式，結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性?！菊n后訓(xùn)練】1已知P是橢圓在第一象限內(nèi)的點，A（2，0），B（0，1），O為原點，求四邊形OAPB的面積的最大值 2給定點A(-2,2)，已知B是橢圓上的動點，F(xiàn)是右焦點，當(dāng)取得最小值時，則B點的坐標為 。3拋物線y2=2x上到直線x-y+3=0距離最短的點的坐標為_，1）4如圖，已知A、B是橢圓的兩個頂點，C、D是橢圓上兩點，且分別在AB兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值是_ 5如圖所示，設(shè)點，是的兩個焦點，過的直線與橢圓相交于兩點，求的面積的最大值，并求出此時直線的方程。 解：，設(shè)，則設(shè)直線的方程為代入橢圓方程得即令，（）利用均值不等式不能區(qū)取“”利用（）的單調(diào)性易得在時取最小值在即時取最大值為，此時直線的方程為6 P、Q、M、N四點都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點。已知與共線，與共線，且。求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。分析：顯然，我們只要把面積表示為一個變量的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值