必修四向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1、1.1.向量向量加法加法三角形法則三角形法則: :aAbBCba aaAbBbOCba 特點(diǎn)特點(diǎn): :首尾相接，首尾連首尾相接，首尾連特點(diǎn)特點(diǎn):同一起點(diǎn)同一起點(diǎn),對角線對角線b a b Ba ABAab O特點(diǎn)：特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量2.2.向量向量加法加法平行四邊形法則平行四邊形法則: :3.3.向量向量減法減法三角形法則三角形法則: :思考：思考：已知非零向量已知非零向量 ，作出，作出 和和 ， 你能說明它們的幾何意義嗎？你能說明它們的幾何意義嗎？ aaaa()()()aaa aOaaaABC3aPQaMaNa3a3a與與a方向相同方向相同

2、|3a|=3|a|-3a與與a方向相反方向相反 |-3a|=3|a| 一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量與向量 的積是一個的積是一個向量向量，這種運(yùn)算叫做這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘，記作，記作 ，它的長度和方向，它的長度和方向規(guī)定如下：規(guī)定如下：aa| |;aa（1 1）（2 2）當(dāng)）當(dāng) 時，時， 的方向與的方向與 的方向的方向相同相同； 當(dāng)當(dāng) 時，時， 的方向與的方向與 的方向的方向相反相反。aa0aa0特別的，當(dāng)特別的，當(dāng) 時，時，00.aa)2(3a)2(3aa6=aa)()( aaaaaa5a5aaa5a2a5a2aaa5a2a3a5a2a3aaa5a2a3a5a3a

3、2a(23)23aaaaaa )(abbaba22 a2b2baba22)(2baba )(設(shè)設(shè) 為實(shí)數(shù)，那么為實(shí)數(shù)，那么, 特別的，我們有特別的，我們有()()(),(). aaaabab 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算.對于任意對于任意向量向量 ，以及任意實(shí)數(shù)，以及任意實(shí)數(shù) ，恒有，恒有a b 、12、 、1212abab （）=運(yùn)算律：運(yùn)算律： aa 結(jié)合律結(jié)合律 aaa 第一分配律第一分配律 baba 第二分配律第二分配律仍是向量仍是向量例例1.計算：計算：( 3) 4 ;3()2();(23)(32).aababaabcabc(1

4、)(2)(3):思考?,),0() 1 (位置關(guān)系如何則若baaab(2)/ / (0),?ba ababa 若且=則是否成立-12a5b- +5 -2abc/ba成立成立向量共線定理：向量共線定理：0.),(,ababa向量與 共線 當(dāng)且僅唯一一個當(dāng)有實(shí)數(shù)使abab即 與 共線ba(0)a 例例2. .如圖：已知如圖：已知 ， ，試判斷，試判斷 與與 是否共線是否共線 ABAD 3BCDE3 ACAEABDECBCAB 33BCAB3AC 3 與與 共線共線 AEACDEADAE 解解：例例3.如圖，已知任意兩個向量如圖，已知任意兩個向量 ，試作，試作a b 、2 ,3 .OBab OCab

5、 ,OAab 你能判斷你能判斷A、B、C三點(diǎn)之三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？間的位置關(guān)系嗎？為什么？abab2b3bABCOab2b3bABCO方法小結(jié)方法小結(jié):例例4.如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)的兩條對角線相交于點(diǎn)M，且，且 ，你能用，你能用 、 來表示來表示 。,ABa ADb abMA MB MCMD 、 、和和ABDCMab小結(jié)小結(jié):書本書本P91，A組，組，9,10 B組組,3設(shè)是兩個不共線的向量，設(shè)是兩個不共線的向量，若，若A、B、D三點(diǎn)共線，求三點(diǎn)共線，求k的值的值.12122,3 ,ABeke CBee 12,e e 122CDee 書本書本P92，A組，組，12、13 （提示：連結(jié)（提示：連結(jié)AC）1