橢圓的常見題型及解法(二)

1、橢圓的常見題型及解法（二） 一 對稱問題平面解析幾何常遇到含參數(shù)的對稱問題，常困擾學(xué)生思維.其實平面解析幾何所有的對稱只有以下四類,分別為“點關(guān)于點對稱”；“點關(guān)于直線對稱”；“曲線關(guān)于點對稱”；“曲線關(guān)于直線對稱”.點A關(guān)于B的對稱點為C，點B為A、C的中點，由中點坐標公式有：；設(shè)點A(x1,y1)關(guān)于直線：ax+by+c=0的對稱點為C(x,y),由AC直線與垂直，且AB的中點在上，有：(當直線中a=0或b=0時，上面結(jié)論也正確)曲線F(x,y)=0關(guān)于點B(a,b)對稱的曲線，在曲線F(x,y)=0上任取一點A(x1,y1)，它關(guān)于點B(a,b)的對稱點為C(x,y).其實點A為主動點,

2、點C為從動點,由中點坐標公式有: ,代入到主動點的方程中,得對稱曲線方程:.曲線F(x,y)=0關(guān)于點ax+by+c=0對稱的曲線, 在曲線F(x,y)=0上任取一點A(x1,y1)，它關(guān)于直線ax+by+c=0的對稱點為C(x,y),則有:,代入到主動點的方程中,得對稱曲線方程:.圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某直線對稱，求某參變量的取值范圍.這一類問題求解時,必須同時確保: 垂直;平分存在,下面就實例說明三個確保的實施.例1.已知橢圓C: ,試確定m的取值范圍,使得對于直線:在橢圓C上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱.解:橢圓上存在兩點A,B關(guān)于直線對稱,設(shè)直線AB為: (確保垂直).設(shè)直線AB與橢圓有

3、兩個不同的交點. (確保存在)即：AB兩點的中點的橫坐標為縱坐標為則點在直線上,. (確保平分)把上式代入(1)中,得：變式訓(xùn)練（2010年安徽理19）：已知橢圓E經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率 （I）求橢圓E的方程； （II）求的角平分線所在直線的方程； （III）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由. 本題考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的點斜式方程與一般方程，點到直線的距離公式，點關(guān)于直線的對稱等基礎(chǔ)知識；考查解析幾何的基本思想、綜合運算能力、探究意識與創(chuàng)新意識.解：（I）設(shè)橢圓E的方程為將A（

4、2，3）代入上式，得 橢圓E的方程為 （II）解法1：由（I）知，所以直線AF1的方程為：直線AF2的方程為：由點A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù).設(shè)上任一點，則 若（因其斜率為負，舍去）.所以直線l的方程為：解法2： （III）解法1：假設(shè)存在這樣的兩個不同的點由于M在l上，故 又B，C在橢圓上，所以有兩式相減，得即將該式寫為，并將直線BC的斜率和線段BC的中點，表示代入該表達式中，得 ×2得，即BC的中點為點A，而這是不可能的.不存在滿足題設(shè)條件的點B和C.解法2：假設(shè)存在，則得一元二次方程則是該方程的兩個根，由韋達定理得于是B，C的中點坐標為又線段BC的中點在直線即B，

5、C的中點坐標為（2，3），與點A重合，矛盾.不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點.二 中點弦問題例1、過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點為、為的中點 又、兩點在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。例2、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點，求點的坐標。解：設(shè)弦端點、，弦的中點，則 ， 又 ，兩式相減得即 ，即點的坐標為。變式訓(xùn)練1、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。解：設(shè)弦端點、，弦的中點，則， 又 ，兩式相減得即，即 ，即由，得點在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為變式訓(xùn)練2、已知中心在原點，一焦點

6、為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，求橢圓的方程。解：設(shè)橢圓的方程為，則設(shè)弦端點、，弦的中點，則， ，又，兩式相減得即 聯(lián)立解得，所求橢圓的方程是變式訓(xùn)練3.（13年新課標1（理）已知橢圓的右焦點為,過點的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為,則的方程為 （ ）（）ABCD解析：設(shè)兩點的坐標分別為，則有兩式相減得又的中點坐標為，所以，代入上式得， 而直線的斜率為 由右焦點F（3,0）知： 由 得 曲線E的方程為 故選D三 弦長問題例1.（10遼寧理）設(shè)橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,.(I) 求橢圓C的離心率；(II) 如果|AB|=，求橢圓

7、C的方程.解：設(shè)，由題意知0，0.（）直線l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因為，所以.即 得離心率 . （）因為，所以.由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 例2（10天津文）已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.解： （）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由題意可知，即ab=2.解方程組得a=2，b=1. 所以橢圓的方程為.()(i)解：由（）可知點A的坐標是（-2,

8、0）.設(shè)點B的坐標為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.于是A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得.由，得.從而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直線l的傾斜角為或.（ii）解：設(shè)線段AB的中點為M，由（i）得到M的坐標為.以下分兩種情況：（1）當k=0時，點B的坐標是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是由，得。（2）當時，線段AB的垂直平分線方程為。令，解得。由，整理得。故。所以。綜上，或變式訓(xùn)練：（10山東理）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標準方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（