第二章_極限與連續(xù)__基礎(chǔ)練習(xí)題(含解答)

1、第二章 極限與連續(xù) 基礎(chǔ)練習(xí)題（作業(yè)）2.1 數(shù)列的極限一、觀察并寫(xiě)出下列數(shù)列的極限：1極限為12極限為03極限為12.2 函數(shù)的極限一、畫(huà)出函數(shù)圖形，并根據(jù)函數(shù)圖形寫(xiě)出下列函數(shù)極限：1極限為零2無(wú)極限3極限為4無(wú)極限，趨于二、設(shè)，問(wèn)當(dāng)，時(shí)，的極限是否存在？；不存在。三、設(shè)，求 時(shí)的左、右極限，并說(shuō)明時(shí)極限是否存在不存在。四、試討論下列函數(shù)在時(shí)極限是否存在1絕對(duì)值函數(shù)，存在極限為零2取整函數(shù) 不存在3符號(hào)函數(shù) 不存在2.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、判斷對(duì)錯(cuò)并說(shuō)明理由：1是無(wú)窮小量錯(cuò)，無(wú)窮小量需相對(duì)極限過(guò)程而言，在某個(gè)極限過(guò)程中的無(wú)窮小量在其它極限過(guò)程中可能不再是無(wú)窮小量。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不是無(wú)窮小

2、量。2同一極限過(guò)程中兩個(gè)無(wú)窮小量的商，未必是該極限過(guò)程中的無(wú)窮小量對(duì)，兩個(gè)無(wú)窮小量的商是“0/0”型未定式，即可能是無(wú)窮小量，也可能是無(wú)窮大量或其它有極限但極限不為零的變量。3無(wú)窮大量一定是無(wú)界變量，而無(wú)界變量未必是無(wú)窮大量對(duì)，無(wú)窮大量絕對(duì)值無(wú)限增大因此一定是無(wú)界變量，但無(wú)界變量可能是個(gè)別點(diǎn)無(wú)限增大，變量并不能一致地大于任意給定的正數(shù)。二、下列變量在哪些極限過(guò)程中是無(wú)窮大量，在哪些極限過(guò)程中是無(wú)窮小量：1，時(shí)，或時(shí)，為無(wú)窮小量；時(shí)，或時(shí)，為無(wú)窮大量。2 , 時(shí)，則，從而為無(wú)窮小量；時(shí)，則，從而為無(wú)窮小量；時(shí)，則，從而為無(wú)窮大量； 三、當(dāng)時(shí)，和都是無(wú)窮小量，它們是否為同階無(wú)窮小量，如果不是它們之

3、間最高階和最低階的無(wú)窮小量分別是誰(shuí)？，所以當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小量。，所以當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小量。，所以當(dāng)時(shí)， 是的高階無(wú)窮小量。通過(guò)比較可知，當(dāng)時(shí)，和不是同階無(wú)窮小量，其中是和的高階無(wú)窮小量，因此是三者中最高階的無(wú)窮小量。和都是的高階無(wú)窮小量，因此是三者中最低階的無(wú)窮小量。四、利用無(wú)窮小量與極限的關(guān)系證明：證明：設(shè)，則由無(wú)窮小量與極限的關(guān)系，其中為時(shí)的無(wú)窮小量。則2.4 極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則一、如果，則存在的空心鄰域，使得（1）（2）（4）成立（1）有界；（2）非負(fù)；（3）落入其中；（4），二、求下列函數(shù)的極限1 2 3 45 6原式 原式 三、求，使得必有同時(shí)有四、若為有限值，求2.5 極限

4、存在性定理與兩個(gè)重要極限一、判斷題：1錯(cuò)2對(duì)3錯(cuò)4對(duì)5錯(cuò)6對(duì)7當(dāng)時(shí)，都是的等價(jià)無(wú)窮小對(duì)二、求下列函數(shù)極限：1 2 3 4 5 6 7 8 三、求極限 由兩面夾法則四、設(shè)，證明數(shù)列的極限存在由單調(diào)有界定理，數(shù)列的極限存在.五、設(shè)，且有，證明數(shù)列的極限存在，并求極限由單調(diào)有界定理，數(shù)列的極限存在2.6 函數(shù)的連續(xù)性一、填空題1設(shè)函數(shù)，若補(bǔ)充 -1 可使在處連續(xù)2是函數(shù)的第 1 類間斷點(diǎn)，且為 可去 間斷點(diǎn)3是函數(shù)的第 1 類間斷點(diǎn)，且為 可去 間斷點(diǎn)是函數(shù)的第 2 類間斷點(diǎn)，且為 無(wú)窮 間斷點(diǎn)是函數(shù)的第 1 類間斷點(diǎn)，且為 可去 間斷點(diǎn)4是函數(shù)的第 1 類間斷點(diǎn)，且為 跳躍 間斷點(diǎn)5是函數(shù)的第 2 類間斷點(diǎn) 二、研究下列各函數(shù)的連續(xù)性，找出其間斷點(diǎn)，并判斷其類型：1 ，為第一類跳躍間斷點(diǎn)。2，為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)。3 為第一類跳躍間斷點(diǎn)。為第一類可去間斷點(diǎn)。為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)四、，確定使1在處有極限，2在處連續(xù)五、，確定使同時(shí)滿足（1）是的無(wú)窮間斷點(diǎn)，即（2）是的可去間斷點(diǎn)，即六、設(shè)在上連續(xù)，且，證明在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得