中考數學最短路徑求最值12個模型詳解

1、中考數學最短路徑求最值12個模型詳解今天給大家分享的是初二數學的最短路徑問題，這一部分是軸對稱的重點和 難點，孩子們一定要掌握好！初二數學最短路徑問題【問題概述】最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題，旨在學找圖（由結點和路徑 組成的）中兩結點之間的最近路徑.算法具體的琨式包括：礴定起點的最坦路徑間即-即已知起始結點.求最短路徑的問題.踴定終點的最短路徑問題-與確定起點的問題相反.該問題是已知終結結點，求最短路徑 的問題.輸定起點終點的最短路徑問題-即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑.多全局最想路徑間融求圖中所有的最短路徑.問款原型】“將軍飲馬二，造橋遺址“建馬點工【涉及知識“兩點之

2、間線段篇短 “垂線段最短二 ''三角形三邊關系, “軸對稱平移二【出題背景】角.三角形、菱形、矩形，正方形、相形，圓、坐標軸、拋物線等.【解題思路】找對稱點實現.折直，近兩年出現一三折線節(jié).直等變式問地考查,十二個基本問題】【問題1】作法圖形原理 /*fl在直線/上求一點?，使乃卜/%值最小.連乂兒與/交點即為憶A兩點之間線段最短.用+JA最小值為乂人【問題”“將軍飲馬y作法u»原理4林 燈作用關于/的對禰點“'連一4與，交點 即為此逋簡單初中生A 乂理兩點之間線段最短，PAPB最小他為A8在直線/上求一點/ 使+/有值最小.【問題3】作法圖形原理在直線上分別

3、求點、A/、N,使 AMN 的周長最小.分別作點P關于兩直 線的對稱點P '和P 1; 連產，/一;與兩直線交 點即為M 簡單 初中生【問題4】在直線小上分別求點M. N,使四邊形PQMV的周長最小.【問題S】，造橋選址分別作點。、。關于 直線。，4的對稱點 Q'和尸連。/；與 兩直線交點即為A/, N.兩點之間線段最短.PM+MN+PN的最小值為線段/>/''的長.原理兩點之間線段最短.四邊形PQWN周長的 最小值為線段P'P” 的長.作法直線7 ，在"八萬, 上分別求點M、N,使 MN ± m ,且 AM+MN+BN的值最

4、小.將點A向下平移MN 的長度單位得A 1,連 力力，交于點M過N 作NM【m于M.原理兩點之間線段最短.AM74N+RN的最小 值為A'B+MN.【問題6】作法A JM a .V在直線/上求兩點A八 N （ M在左），使 AfN=a , 并使 AM+MN+NB的值最 小.將點A向右平移。個 長度單位得力作/ 1 關于/的對稱點力；連 A力，交直線/于點M 將、點向左平移“個 單位得M.【問題7】作法乙在/】上求點，在上 求點從使抄值 最小.作點P關于。的對稱 點。'，作于仇 交乙于4.【問題8】作法4 MHA為。上一定點，6為 12上一定點，在乙上求 點M在乙上求點N, 使A

5、M+MN+NB的值 最小.作點彳關于，的對稱 .點4 作點6關于乙的對稱點'，連力7?,交“于M,交，于M圖形原理A*W: .加 * / AH兩點之間線段最短. AM+MN+RN的最小 值為力”B+MN.圖形原理/1 乙點到直線，垂線段最 短./%+川，的最小值為線 段？'6的長.IB形B' / /.A9兩點之間線段最短. AM+MN+NB的最小 值為線段的長.【問題9作法圖形原理B /在直線/上求一點八 使/” /訓的值最小.連4從作力力的中垂 線與直線/的交點即 為P.V>b .:P垂直平分上的點到線 段兩端點的距離相 等.【問題10作法4B /在直線/上求一

6、點匕 使PA-網的值大.作直線，8,與直線/ 的交點即為.【問題11作法i /B在直線/上求一點匕 使/*-/第的值最大.作B關于1的對稱點 R'作直線力，;與/ 交點即為P.【問題12“費馬點r作法/ABC中每一內角都 小于120°,在MBC 內求一點P ,使 /M+P8+K值最小.所求點為“費馬點”， 即滿足/4/%=/BPC= NAPC= 120°.以4夙力C為 邊向外作等邊力/入 “CE,連（7）、BE 相 交于P,點P即為所 求.圖形原理A /P三角形任意兩邊之差小于第三邊.心一柄9從|/-4的最大值=AB.圖形原理A :/-P n三角形任意兩邊之差 小于

7、第三邊.|/”一/叫93|/力-/到最大值=AB *.圖形原理BC兩點之間線段最短.以+W+/Y'最小值=CD.【例題及解析】例 1 如圖 1.在直角梯形 ABCD 中，ZABC=90°, ADBC, AD=4, AB=5, BC=6, 點P是AB上一個動點.當PC+PD的和最小時，PB的長為()(A)l (B)2(C)2.5(D)3ffl 1分析 此題首先要確定P點的位置，可以延長CB (或DA)的一倍，即CB = BM,再連接 MD交AB于點P(大家可以思考一下P點的正確性與合理性可運用兩點之間，線段最短 這一性質).我們可以通過aMPBsDPA,從而求出PB的長，故選D

8、.例2 如圖2, ZiABC中，AB = AC=I3, BC=IO, AD是BC邊上的中線，F為AD上的動 點，E為AC邊上的動點，則CE+EF的最小值為.圖2分析 顯然，本題需要確定兩個動點E和F,那么，怎樣確定這兩個點呢？我們可以過點B 作BE_LAC交AD于點F,從而確定了 E和F點(大家可以用從直線外一點與直線上所有點 的連線中，垂線段最短來加以說明).此時,CF + EF = BE.用義皿=YAD BC = yBE YC,構造方程,求出=詈.即+ 的最小值為轡.例3如圖3,已知平面直角坐標系中，A (2, 一3), B(4, -I).(1)若點P(x, 0)是x軸上的一個動點，當AP

9、AB的周長最短時，求x的值；(2)若C、D是x軸上的兩個動點，且D(a, 0), CD=3,當四邊形ABCD的周長最短時, 求a的值；(3)設M, N分別為x軸、y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M(m, 0)和N(0, n).使得四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出m, n的值.若不存在，請說明理由.分析與解(1)如圖3,找出A (或B)關于x軸的對稱點Ai,連結A3交x軸于點P.設直線AiB的解析式為y=kix + bi.將Ai(2, 3)、B (4, - 1)代入，得產 + % = 3, 14k 4=-I.解之得1UB = 7.故 y = _ 2” + 7,如圖4,過A點作x軸的平行線

10、，并截取AAi = 3.畫點Ai關于x軸的對稱點Aj連結A出交x軸于點C,再在x軸上截取CD = 3,可得周長最短的四邊形ABCD (大家也可以利用兩點之間，線段最短，來證明最短周長的正確性).由題意，可知4(5,3).設-8的直線可析式為 y =«- bt.將4(5.3)、4(4, -1)代入，得產 % =3, U + & = - 1.解之得% ",% = - 17.故y = 4一 17.當 y = 0 時 T = g- 3444(3)如圖5,我們可以先分別找出A、B關于y油和x軸的對稱點Ai和小，再連結AW1，分別交x軸和y軸于點M與N,此時，四邊形ABMN的周長是最短的(同樣, 可以用兩點之間，線段最短來加以證明).設AiBi的直線解析式為y=%x + b3將4(-2. -3),用(4.1)代入,得產,，-1, 1-2%.與=-3,出 25故二鏟一t當* = 0 時,N _當y * 0時，a m參所以,m,n的值分別為-/.例4如圖6,四邊形ABCD是正方形，M是對角線BD上的任意一點.(I)當點M在何處時，AM+CM的值最?。?2)當點M在何處時，AM + BM + CM的值最?。坎⒄f明理由.分析(1)(如圖6,顯然，連結AC與BD的交點即為M點(可利用兩點之間，線段最短來證明).(2)如圖7,以AB為邊在正方形外畫等邊三角形ABE,連