數(shù)學(xué)建模——汽車租賃問題

1、一家汽車租賃公司在3個(gè)相鄰的城市運(yùn)營，為方便顧客起見公司承諾，在一個(gè)城市租賃的汽車可以在任意一個(gè)城市歸還。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)和市場(chǎng)調(diào)查，一個(gè)租賃期內(nèi)在市租賃的汽車在市歸還的比例分別為0.6,0.3,0.1;在市租賃的汽車歸還比例0.2,0.7,0.1;市租賃的歸還比例分別為0.1,0.3,0.6。若公司開業(yè)時(shí)將600輛汽車平均分配到3個(gè)城市，建立運(yùn)營過程中汽車數(shù)量在3個(gè)城市間轉(zhuǎn)移的模型，并討論時(shí)間充分長以后的變化趨勢(shì)。二、模型假設(shè)1.假設(shè)在每個(gè)租賃期開始能把汽車都租出去，并都在租賃期末歸還；2.假設(shè)一個(gè)租賃期為一年；3.假設(shè)在每個(gè)租賃期該租賃公司都有600輛汽車可供租賃。三、符號(hào)說明：租賃期（k=0

2、,1,2,3）：年數(shù)：第k個(gè)租賃期市的汽車數(shù)量：第k個(gè)租賃期市的汽車數(shù)量：第k個(gè)租賃期市的汽車數(shù)量：刻畫汽車在三市歸還比例的矩陣：第一年三市擁有的汽車數(shù)量的矩陣：第年三市擁有的汽車數(shù)量矩陣四、模型分析該問題是差分方程下的一個(gè)簡單問題，根據(jù)題目中給出的初始條件和三個(gè)城市的歸還比例，可以列出差分方程的模型公式，便可清晰的看出每個(gè)租賃期三個(gè)城市的汽車數(shù)量與下一個(gè)租賃期三個(gè)城市汽車數(shù)量之間的關(guān)系。建模過程中可直接選擇10年后或是20年之間的汽車變化情況，得出具體的模型，大致如下：從圖中我們可以清晰的看出，大概在8年以后，三個(gè)城市的汽車數(shù)量基本趨于穩(wěn)定，是一個(gè)定值，而這三個(gè)城市歸還比例之和為：A市為0.

3、9，B市為1.3，C市為0.8，易得出n年以后B市的汽車數(shù)量最高，其次是A市，然后是C市，這與我們得出的模型與結(jié)論基本相同，即可得出該模型是正確的。而當(dāng)初始值不同時(shí)，每個(gè)城市的歸還比例是不會(huì)隨之改變的，所以在時(shí)間充分長以后三市所擁有的汽車數(shù)量都是趨近于180,300,120.五、模型及其求解記第個(gè)租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量分別為 (也是第k+1個(gè)租賃期開始各個(gè)城市租出去的汽車數(shù)量），很容易寫出第k+1個(gè)租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量(k=0,1,2,3)由題意可得初始三市的汽車數(shù)量為200,200,200，在三市租賃的汽車在A市歸還的比例為0.6,0.2,0.1，由此可得差分方程為：同

4、理可得在B市的歸還的差分方程為：在C市的歸還的差分方程為：綜上所述，我們建立一階差分方程模型為：用矩陣表示用matlab編程，計(jì)算x(k),觀察n年以后的3個(gè)城市的汽車數(shù)量變化情況，見附錄一。如果直接看10年或者30年發(fā)展趨勢(shì)，可以直接在命令窗口（commond window）作，而不是必須編一個(gè)函數(shù)，程序、運(yùn)行結(jié)果見附錄二。求出10年間每年三個(gè)城市擁有的汽車數(shù)量，如下表;初始值第一年第二年第三年第四年第五年A200180176176178179B200260284294297299C200160140130125123第六年第七年第八年第九年第十年A179180180180180B30030

5、0300300300C121121120120120時(shí)，三市汽車數(shù)量變化趨勢(shì)圖如下由上圖可以看到時(shí)間充分長以后3個(gè)城市汽車數(shù)量趨于180，300，120可以考察這個(gè)結(jié)果與初始條件是否有關(guān)若最開始600輛汽車都在A市，可以看到變化時(shí)間充分長以后，各城市汽車數(shù)量如下表初始值第一年第二年第三年第四年第五年A600360258214195187B0281292297299300C06090105113116第六年第七年第八年第九年第十年A183181181180180B300300300300300C118116118119120初始值為600,0,0是模型如下圖，程序、運(yùn)行結(jié)果見附錄二六、模型的檢驗(yàn)

6、根據(jù)題中三個(gè)城市的歸還比例，由分析中中可得出B市的數(shù)量最多，其次是A市，C市最少。當(dāng)初始值為200,200,200時(shí)，其模型與運(yùn)行結(jié)果基本與預(yù)想的相差不大。當(dāng)初始值為600，0,0時(shí)，因其比例固定不變，所以相當(dāng)長時(shí)間以后，三市的汽車數(shù)量基本趨于穩(wěn)定且數(shù)值與初始值為200,200,200時(shí)相同，可進(jìn)一步得出結(jié)論：相當(dāng)長時(shí)間以后，A,B,C三市的汽車數(shù)量基本趨于穩(wěn)定。參考文獻(xiàn)1王小才.差分方程建模專題講座ppt課件2 趙靜.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn).北京：高等教育出版社,2008附錄一function x=czqc(n)A=0.6 0.2 0.1;0.3 0.7 0.3;0.1 0.1 0.6;x(

7、:,1)=200 200 200'for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end附錄二程序代碼：clcclear all;A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;n=10;x(:,1)=200,200,200'%x(:,1)=600,0,0'for k=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);endround(x)k=0:n;plot(k,x)gridgtext('x1(k)'),gtext('x2(k)'),gtext('x3(k)')運(yùn)行結(jié)果：1、三個(gè)城市初始汽車數(shù)量為200,200,200時(shí)，10年之內(nèi)三個(gè)城市每年的汽車數(shù)量：ans = 200 180 176 176 178 179 179 180 180 180 180 200 260 284 294 297 299 300 300 300 300 300 200 160 140 130 125 123 121 121 120 120 1202、三個(gè)城市初始汽車數(shù)量為600,0,0時(shí)，10年之內(nèi)三個(gè)城市每年的汽車數(shù)量：ans = 600