整式乘法例題講解

1、14.1整式的乘法1同底數(shù)冪的乘法(1)法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加(2)符號表示：amanamn(m，n都是正整數(shù))(3)拓展：當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有同樣的性質(zhì)，即amanaramnr(m，n，r都是正整數(shù))法則可逆用，即amnaman(m，n都是正整數(shù))談重點(diǎn) 同底數(shù)冪的特征“同底數(shù)冪”是指底數(shù)相同的冪，等號左邊符合幾個(gè)同底數(shù)冪相乘，等號右邊，即結(jié)果為一個(gè)冪注意不要忽視指數(shù)為1的因式【例1】 計(jì)算：(1)103106；(2)(2)5(2)2；(3)an2an1a；(4)(xy)2(xy)3.分析：(1)中的兩個(gè)冪的底數(shù)是10；(2)中的兩個(gè)底數(shù)都是2；(3)中的三

2、個(gè)冪的底數(shù)都是a；這三道題可以直接用同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算(4)要把xy看作一個(gè)整體，再運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則解：(1)1031061036109；(2)(2)5(2)2(2)5227；(3)an2an1aan2n11a2n4；(4)(xy)2(xy)3(xy)23(xy)5.2冪的乘方(1)法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘(2)符號表示：(am)namn(m，n都是正整數(shù))(3)拓展：法則可推廣為(am)npamnp(m，n，p都是正整數(shù))法則可逆用：amn(am)n(an)m(m，n都是正整數(shù))警誤區(qū) 冪的乘方的理解不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆冪的乘方運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算(底

3、數(shù)不變)；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算(底數(shù)不變)【例2】 計(jì)算：(1)(102)3；(2)(am)3；(3)(x)32；(4)(yx)42.分析：解決本題的關(guān)鍵是要分清底數(shù)、指數(shù)是什么，然后再運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算，如(2)中的底數(shù)是a，(3)中的底數(shù)是x，(4)中的底數(shù)是yx.解：(1)(102)31023106；(2)(am)3a3m；(3)(x)32(x)32x6；(4)(yx)42(yx)42(yx)8.3.積的乘方(1)法則：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘(2)符號表示：(ab)nanbn(n為正整數(shù))(3)拓展：三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)的乘積，也適用這一法

4、則，如：(abc)nanbncn.a，b，c可以是任意數(shù)，也可以是冪的形式法則可逆用：anbn(ab)n.(n為正整數(shù))警誤區(qū) 積的乘方的易錯(cuò)點(diǎn)運(yùn)用積的乘方法則易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：(1)漏乘因式；(2)當(dāng)每個(gè)因式再乘方時(shí)，應(yīng)該用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)相乘，而結(jié)果算式為指數(shù)相加；(3)系數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤【例3】 計(jì)算：(1)(xy)3；(2)(x2y)2；(3)(2102)2；(4)(ab2)2.解：(1)(xy)3(1)3x3y3x3y3；(2)(x2y)2(x2)2y2x4y2；(3)(2102)222(102)24104；(4)(ab2)2()2a2(b2)2a2b4.4單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則：單項(xiàng)

5、式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式談重點(diǎn) 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式要注意的三點(diǎn)運(yùn)用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘時(shí)要注意：(1)在計(jì)算時(shí)，應(yīng)先確定積的符號；(2)注意按運(yùn)算順序進(jìn)行；(3)不要丟掉只有一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母【例4】 下列計(jì)算正確的是()A3x32x2y6x5B2a23a36a5C(2x)3(5x2y)10x5yD(2xy)(3x2y)6x3y解析：A結(jié)果漏掉了字母“y”，C結(jié)果應(yīng)為40x5y，D結(jié)果應(yīng)為6x3y2.答案：B5單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加即m(a

6、bc)mambmc.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則的理解單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，其實(shí)質(zhì)就是乘法分配律的應(yīng)用，將單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，再轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相乘所以熟練掌握同底數(shù)冪乘法和單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，是學(xué)好單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的基礎(chǔ)和關(guān)鍵單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，運(yùn)算時(shí)可以此來檢驗(yàn)運(yùn)算中是否漏乘【例5】 計(jì)算：(1)(3ab)(2a2bab2)；(2)x(x2)2x(x1)3x(x5)解：(1)(3ab)(2a2bab2)(3ab)(2a2b)(3ab)(ab)(3ab)26a3b23a2b26ab；(2)x(x2)2x(x1)3x(x5)xxx(2)(2

7、x)x(2x)1(3x)x(3x)(5)4x211x.6多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加即(ab)(mn)amanbmbn.警誤區(qū) 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的注意點(diǎn)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；(2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積；(3)相乘后，若有同類項(xiàng)應(yīng)該合并【例6】 計(jì)算：(1)(5a2b)(2ab)；(2)(a2a1)(a1)解：(1)(5a2b)(2ab)5a2a5ab2b2a2bb10a25ab4ab2b210

8、a2ab2b2；(2)(a2a1)(a1)a2aa21aaa11a1a3a2a2aa1a31.7.同底數(shù)冪的除法(1)法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減(2)符號表示amanamn(a0，m，n都是正整數(shù)，并且mn)(3)注意應(yīng)用法則時(shí)，必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么，然后按同底數(shù)冪相除的法則計(jì)算；運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算順序，同時(shí)還要注意指數(shù)為“1”的情況，如：m5mm51，而不是m5mm50.(4)0次冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即a01(a0)談重點(diǎn) 同底數(shù)冪的除法法則的理解運(yùn)用同底數(shù)冪相除應(yīng)注意：(1)適用范圍：兩個(gè)冪的底數(shù)相同，且是相除的關(guān)系，被除式的指數(shù)大于或等于除式的指數(shù)，且底

9、數(shù)不能為0；(2)底數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；(3)該法則對于三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪相除仍然成立【例7】 計(jì)算：(1)a4a2；(2)(x)5x3；(3)xn3xn；(4)(x1)4(x1)解：(1)a4a2a42a2；(2)(x)5x3x5x3x53x2；(3)xn3xnxn3nx3；(4)(x1)4(x1)(x1)41(x1)3.8單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式(1)法則單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式(2)步驟系數(shù)相除；同底數(shù)冪相除；對于只在被除式里含有的字母的處理(連同指數(shù)作為商的一個(gè)因式)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果

10、仍為單項(xiàng)式【例8】 計(jì)算：(1)(0.5a2bc2)(ac2)；(2)(6108)(3105)；(3)(6x2y3)2(3xy2)2.解：(1)(0.5a2bc2)(ac2)()()a21bc22ab；(2)(6108)(3105)(63)10852103；(3)(6x2y3)2(3xy2)236x4y69x2y4(369)x42y644x2y2.9多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式(1)法則多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加(2)注意多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式來解決；運(yùn)算時(shí)不能漏項(xiàng)；運(yùn)算時(shí)注意符號的變化警誤區(qū) 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的注意點(diǎn)(1)要注意商的符號，應(yīng)弄

11、清多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的符號，相除時(shí)要帶著符號與單項(xiàng)式相除；(2)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可以用其進(jìn)行檢驗(yàn)【例9】 計(jì)算：(1)(6c2dc3d3)(2c2d)；(2)(24m3n16m2n2mn3)(8m)解：(1)(6c2dc3d3)(2c2d)(6c2d)(2c2d)(c3d3)(2c2d)3cd2；(2)(24m3n16m2n2mn3)(8m)(24m3n)(8m)(16m2n2)(8m)(mn3)(8m)3m2n2mn2n3.10整式乘法中的化簡求值整式乘法運(yùn)算中的化簡求值題的主要步驟有：(1)按照題目規(guī)定的運(yùn)算順序，對原式進(jìn)行化簡；

12、(2)將對應(yīng)的字母數(shù)值代入化簡后的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算；(3)注意代入時(shí)，不要代錯(cuò)，在求值時(shí)，式子的運(yùn)算符號和順序都不變11冪的運(yùn)算法則的逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算法則是以等式形式出現(xiàn)的，受思維定勢的影響，習(xí)慣于從左邊到右邊運(yùn)用它，而忽視從右邊到左邊的應(yīng)用，即逆向運(yùn)用運(yùn)算法則其實(shí)，有些問題如果逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，解題會更加簡捷(1)amnaman(m，n都是正整數(shù))(2)amn(am)n(m，n都是正整數(shù))(3)anbn(ab)n(n為正整數(shù))12整式的混合運(yùn)算在學(xué)習(xí)了整式的加減、乘除，乘法公式以后，就可以進(jìn)行整式的混合運(yùn)算了整式的混合運(yùn)算用到的知識點(diǎn)比較多，除了整式加減、乘除，乘法公式，還要用到去括號、乘法

13、分配律等談重點(diǎn) 整式的混合運(yùn)算的認(rèn)識進(jìn)行整式的混合運(yùn)算首先要注意弄清運(yùn)算順序，先算什么再算什么，然后注意每一步運(yùn)算所用到的法則、公式等要準(zhǔn)確無誤【例10】 當(dāng)y時(shí)，求代數(shù)式y(tǒng)(y26y9)y(y28y15)2y(3y)的值解：y(y26y9)y(y28y15)2y(3y)y36y29yy38y215y6y2y230y，當(dāng)y時(shí)，原式30y30()5.【例111】 計(jì)算：()2 014(3)2 014.解：()2 014(3)2 014()2 014(1)2 0141.【例112】 已知：3m6,9n2，求32m4n的值解：32m4n32m34n(3m)2(32n)2(3m)2(9n)262223

14、64144.【例12】 先化簡，再求值：(xy)(xy)(xy)22y(xy)(2y)，其中，x，y2.解：原式x2y2(x22xyy2)2xy2y2(2y)(x2y2x22xyy22xy2y2)(2y)(4y24xy)(2y)2y2x，當(dāng)x，y2時(shí)，原式2y2x222()4(1)5.13整式乘法中的開放型問題結(jié)論開放與探索：給出問題的條件，根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要進(jìn)行推斷，甚至探求條件在變化中的結(jié)論，這些問題都是結(jié)論開放性問題它要求充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類題主要考查我們的發(fā)散性思維和所學(xué)基本知識的應(yīng)用能力14與整式除法有關(guān)的求值問題這類與整式的除法有關(guān)的求值問題，采用傳統(tǒng)的方法很難求解，此時(shí)需根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活變形采用整體代入法求解首先應(yīng)認(rèn)真觀察題目的特點(diǎn)，或者先將求值的式子化簡再求值，或者同時(shí)將已知式和求值式化簡【例13】 若a，b，k均為整數(shù)且滿足等式(xa)(xb)x2kx36，寫出兩個(gè)符合條件的k的值解：因?yàn)?xa)(xb)x2kx36，所以x2(ab)xabx2kx36，根據(jù)等式的對應(yīng)項(xiàng)的系