數(shù)學(xué)競賽專題之韋達(dá)定理練習(xí)

1、數(shù)學(xué)競賽專題之韋達(dá)定理練習(xí)一選擇題（共9小題）1下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）Ay=2x+1By=2x+1Cy=x2+2Dy=x22二次函數(shù)y=x2+2x7的函數(shù)值是8，那么對應(yīng)的x的值是（）A3B5C3和5D3和53如果a，b為質(zhì)數(shù)，且a213a+m=0，b213b+m=0，那么的值為（）AB或2CD或24設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根，x1+1，x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩根，則p，q的值分別等于（）A1，3B1，3C1，3D1，35在RtABC中，C=90°，a、b、c分別是A、B、C的對邊，a、b是關(guān)于x的方程x27x+c+7=0的兩根，那么A

2、B邊上的中線長是（）ABC5D26方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根x1、x2，則的值是（）A1BlCD7兩個質(zhì)數(shù)a、b恰好是整系數(shù)方程x299x+m=0的兩個根，則的值是（）A9413BCD8設(shè)方程有一個正根x1，一個負(fù)根x2，則以|x1|、|x2|為根的一元二次方程為（）Ax23xm2=0Bx2+3xm2=0CD9若方程（x1）（x22x+m）=0的三根是一個三角形三邊的長，則實數(shù)m的取值范圍是（）A0m1BmCm1Dm1二填空題（共7小題）10已知、是方程x2x1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式2+（22）的值為_11（1）已知x1和x2為一元二次方程2x22x+3m1=0的兩個實根

3、，并x1和x2滿足不等式，則實數(shù)m取值范圍是_；（2）已知關(guān)于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m7=0有兩個負(fù)數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是_12已知、是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩個不相等的實數(shù)根，且322+3=0，求證：p=0，q013 CD是RtABC斜邊上的高線，AD、BD是方程x26x+4=0的兩根，則ABC的面積為_14已知方程x2+px+q=0的兩根均為正整數(shù)，且p+q=28，那么這個方程兩根為_15已知、是方程x2x1=0的兩個根，則4+3的值為_16ABC的一邊為5，另外兩邊的長恰好是方程2x212x+m=0的兩個根，則m的取值范圍_三解答題（共5小題）17已知關(guān)于

4、x的方程（1）求證：無論m取什么實數(shù)，這個方程總有兩個相異的實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|=|x1|+2，求m的值及相應(yīng)的x1、x218設(shè)x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m2=0的兩個實根，當(dāng)m為何值時，x12+x22有最小值，并求這個最小值19已知關(guān)于x的方程x2（k+1）x+k2+1=0（1）k取什么值時，方程有兩個實數(shù)根；（2）如果方程的兩個實數(shù)根x1、x2滿足|x1|=x2，求k的值20設(shè)m是不小于1的實數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值21設(shè)a、b

5、、c為三個不同的實數(shù)，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一個相同的實數(shù)根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一個相同的實數(shù)根，試求a+b+c的值數(shù)學(xué)競賽專題之韋達(dá)定理練習(xí)參考答案與試題解析一選擇題（共9小題）1下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）Ay=2x+1By=2x+1Cy=x2+2Dy=x2解答：解：A、y=2x+1，是一次函數(shù)，故此選項錯誤；B、y=2x+1，是一次函數(shù)，故此選項錯誤；C、y=x2+2是二次函數(shù)，故此選項正確；D、y=x2，是一次函數(shù)，故此選項錯誤故選：C2二次函數(shù)y=x2+2x7的函數(shù)值是8，那么對應(yīng)的x的值是（）A3B5C3和5D3和5解答：解：

6、根據(jù)題意，得x2+2x7=8，即x2+2x15=0，解得x=3或5，故選D3如果a，b為質(zhì)數(shù)，且a213a+m=0，b213b+m=0，那么的值為（）AB或2CD或2解答：解：（1）若a=b，則=2；（2）若ab，設(shè)a，b為方程x213x+m=0的兩個根a+b=13a，b為質(zhì)數(shù)，a=11，b=2或a=2，b=11，=故選B4設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根，x1+1，x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩根，則p，q的值分別等于（）A1，3B1，3C1，3D1，3解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2=p，x1x2=q；x1+1+x2+1=q，（x1+1）（x2+1

7、）=p，即x1+x2+x1x2+1=p將x1+x2=p，x1x2=q代入整理，得解得故選C5在RtABC中，C=90°，a、b、c分別是A、B、C的對邊，a、b是關(guān)于x的方程x27x+c+7=0的兩根，那么AB邊上的中線長是（）ABC5D2解答：解：a、b是關(guān)于x的方程x27x+c+7=0的兩根，根與系數(shù)的關(guān)系可知：a+b=7，ab=c+7；由直角三角形的三邊關(guān)系可知：a2+b2=c2，則（a+b）22ab=c2，即492（c+7）=c2，解得c=5或7（舍去），再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得：中線長為答案：AB邊上的中線長是故選B6方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根x1、

8、x2，則的值是（）A1BlCD解答：解：根據(jù)x2+px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根x1、x2，x1+x2=p，x1x2=1997，x1、x2是兩個正整數(shù)根，x1=1，x2=1997，或x1=1997，x2=1，x1+x2=1998，p=1998，=，=故選C7兩個質(zhì)數(shù)a、b恰好是整系數(shù)方程x299x+m=0的兩個根，則的值是（）A9413BCD解答：解：a、b是整系數(shù)方程x299x+m=0的兩個根，a+b=99，ab=m，=+=，a、b為質(zhì)數(shù)，a=2，b=97，或a=97，b=2，m=2×97=194，=，故選B8設(shè)方程有一個正根x1，一個負(fù)根x2，則以|x1|、|x2|為根的一元

9、二次方程為（）Ax23xm2=0Bx2+3xm2=0CD解答：解：A|x1|+|x2|=30，但|x1|x2|=m2不能確定它的正負(fù)，不能選AB|x1|+|x2|=30，不能選BC|x1|+|x2|=0，但|x1|x2|=20，不能選CD|x1|+|x2|=0，|x1|x2|=20，選D故選D9若方程（x1）（x22x+m）=0的三根是一個三角形三邊的長，則實數(shù)m的取值范圍是（）A0m1BmCm1Dm1解答：解：方程（x1）（x22x+m）=0的有三根，x1=1，x22x+m=0有根，方程x22x+m=0的=44m0，得m1又原方程有三根，且為三角形的三邊和長有x2+x3x1=1，|x2x3|

10、x1=1，而x2+x3=21已成立；當(dāng)|x2x3|1時，兩邊平方得：（x2+x3）24x2x31即：44m1解得，mm1故選C二填空題（共7小題）10已知、是方程x2x1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式2+（22）的值為0解答：解：、是方程x2x1=0的兩個實數(shù)根，+=1，=1，21=0，21=0，2=+1，2=+12+（22）=+1+（+12）=+11=0故答案為：011（1）已知x1和x2為一元二次方程2x22x+3m1=0的兩個實根，并x1和x2滿足不等式，則實數(shù)m取值范圍是m；（2）已知關(guān)于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m7=0有兩個負(fù)數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是m7解答：解：（1）

11、方程2x22x+3m1=0有兩個實數(shù)根，=（2）24×2（3m1）0，解得m由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=1，x1x2=，1，解得mm；（2）關(guān)于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m7=0有兩個負(fù)數(shù)根，解得m7又=（m+1）24×8（m7）=m230m+225=（m15）20，實數(shù)m的取值范圍是m7故答案為m；m712已知、是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩個不相等的實數(shù)根，且322+3=0，求證：p=0，q0解答：證明：、是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩個不相等的實數(shù)根，+=p，=q；322+3=0，322+3=（）2（+）=0；、是關(guān)于x的方程x2+px+q

12、=0的兩個不相等的實數(shù)根，0，+=p=0，=p24q0；p=0，4q0，q013 CD是RtABC斜邊上的高線，AD、BD是方程x26x+4=0的兩根，則ABC的面積為6解答：解：AD、BD是方程x26x+4=0的兩根，AD+BD=6，ADBD=4，ACB=90°，CDAB于D，DBCDCA，=，CD2=ADBD，CD=2，SABC=×（AD+BD）×CD=6故填：614已知方程x2+px+q=0的兩根均為正整數(shù)，且p+q=28，那么這個方程兩根為x1=30，x2=2解答：解：設(shè)x1，x2是方程的兩個根，則x1+x2=p，x1x2=q，得：p+q=28，x1x2x

13、1x2=28，x1x2x1x2+1=28+1，x1（x21）（x21）=29，即（x11）（x21）=29，兩根均為正整數(shù)，x11=1，x21=29或x11=29，x21=1，方程的兩個根是：x1=2，x2=30或x1=30，x2=2故答案為：x1=30，x2=215已知、是方程x2x1=0的兩個根，則4+3的值為5解答：解：、是方程x2x1=0的兩個根，2=+1，+=1，=1，4+3=（+1）2+3（1）=2+2+1+33=+1+2+43=5故答案為：516ABC的一邊為5，另外兩邊的長恰好是方程2x212x+m=0的兩個根，則m的取值范圍m18解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=6

14、，x1x2=，又有三角形的三邊關(guān)系可得：|x1x2|5，則（x1x2）225，即（x1+x2）24x1x225，解得：m；既然方程有兩個實根，則0，解得m18故本題答案為：m18三解答題（共5小題）17已知關(guān)于x的方程（1）求證：無論m取什么實數(shù)，這個方程總有兩個相異的實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|=|x1|+2，求m的值及相應(yīng)的x1、x2解答：解：（1）a=1，b=（m2），c=，=b24ac=（m2）24×1×（）=2m24m+4=2（m1）2+20，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）a=1，b=（m2），c=，x1+x2=m2，方程總有兩個

15、的實數(shù)根x1x2=0，x1與x2異號或有一個為0，由|x2|=|x1|+2，|x2|x1|=2，當(dāng)x10，x20時，x2x1=2，即（m2）=2，解得m=0，此時，方程為x2+2x=0，解得x1=0，x2=2；當(dāng)x10，x20時，x2+x1=m2=2，解得m=4，當(dāng)m=4時，x22x4=0，x1=1，x2=1+18設(shè)x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m2=0的兩個實根，當(dāng)m為何值時，x12+x22有最小值，并求這個最小值解答：解：x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m2=0的兩個實根，=（4m）24×2×（2m2+3m2）0，可得m，又x1+x2=2m，x1x2=

16、，x12+x22=2+=2+，m，m0，當(dāng)m=時，x12+x22取得最小值為2×+=19已知關(guān)于x的方程x2（k+1）x+k2+1=0（1）k取什么值時，方程有兩個實數(shù)根；（2）如果方程的兩個實數(shù)根x1、x2滿足|x1|=x2，求k的值解答：解：（1）=（k+1）24（k2+1）=2k3，0，即2k30，k，當(dāng)k時，方程有兩個實數(shù)根；（2）由|x1|=x2，當(dāng)x10時，得x1=x2，方程有兩個相等實數(shù)根，=0，即2k3=0，k=又當(dāng)k=時，有x1=x2=0k=符合條件；當(dāng)x10時，得x2=x1，x1+x2=0由根與系數(shù)關(guān)系得k+1=0，k=1，由（1）知，與k矛盾，k=1（舍去），綜上可得，k=20設(shè)m是不小于1的實數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值解答：解：方程有兩個不相等的實數(shù)根，=b24ac=4（m2）24（m23m+3）=4m+40，m1，結(jié)合題意知：1m1（1）x12+x22=（x1+x2）22x1x2=4（m2）22（m23m+3）=2m210m+10=6，1m1，；（2）=（1m1）當(dāng)m=1時，式子取最大值為1021設(shè)a、b、c為三個不同的實數(shù)，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一個相同的實