數(shù)值分析報告課后問題詳解

1、第一章緒論本章的學習要求(1) 會求有效數(shù)字。(2) 會求函數(shù)的誤差及誤差限。(3) 能根據(jù)要求進行誤差分析。二本章應(yīng)掌握的重點公式(1) 絕對誤差：設(shè) x為精確值，x為x的一個近似值，稱 e：=x”-X為x的絕對誤差。(2)相對誤差:(3)絕對誤差限:e*(4)相對誤差限:x x(5) 元函數(shù)的絕對誤差限：設(shè)一元函數(shù)(6)元函數(shù)的相對誤差限:(7)二元函數(shù)的絕對誤差限:設(shè)一元函數(shù) f x, y二0,則；1疋y丿；y 。(8)二元函數(shù)的相對誤差限:三本章習題解析1.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，（1）試指出它們有幾位有效數(shù)字，（2）分別X 片估計A及A2=的相對誤差限。Xi =1.10

2、21,X2 =0.031,X3 =3856x4 =56.430解：（1） X1有5位有效數(shù)字，X2有2位有效數(shù)字，X3有4位有效數(shù)字，X4有5位有效 數(shù)字。（2）A =曲2禺凸=x2x3，夬訂x3,芻訂x2,由題可知：A”為A的近似值，X1 , X2 X 分別為X1, X2,X3近似值。1X1 X2 X3次1次2次3= 0.215x2 x3110 x/x/-10“ x1x/ 110JIL2224=生,則有臭二1,芻同理有 A為 A的近似值，X2”，X4”為X2，X/；：X2 X4 ：該4（兀）'X4的近似值，代入相對誤差限公式:* 欽A；）£A2 &X4|A.CX2

3、7X=4"予"X4亠=1052.正方形的邊長大約為 100cm，怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2 ?解：設(shè)正方形的邊長為X，則面積為s =x2，dT2x，在這里設(shè)X為邊長的近似值，面積的近似值：由題可知:Idx丿即：2x” ； x空1推出:1x 試 0.005cm。3.解:測得某房間長約L”=4.32m,寬約為d =3.12m，且長與寬的誤差限均為0.01m，試問房間面積S=Ld的誤差限和相對誤差限分別為多少？/SFs設(shè)s=ld則有： =d ,蘭=1。在這里I； d ，S分別為I , d，s的近似值: £cd4.l"-相對誤差限為：；r S”二F列

4、公式如何計算才比較準確:d ”；|； d =3.12 0.01 4.32 0.01 =0.0744cm2S0.0744.0.0055。4.32 3.12(1)當x的絕對值充分小時，計算2xe山；2 ，(2) 當N的絕對值充分大時，計算(3) 當x的絕對值充分大時，計算解:(1 )當 XT 0時,2xe -12-2x2xe -1 e 14xe -1“ xx 3x_xe e -e2x X$Xx.xx_x,L2 e 12ee e 2e e ex 2x-2x(2)當Nt處時,3x_x.e e e e e12dx = argtgx1 X2N 1= argtg(N +1 )_argtgN N1(3)當 X

5、 T5.列 .滿足遞推關(guān)系yn =10 yn1 -1, n=1,2,，若y0=、21.41，計算到y(tǒng)10時誤差有多大？這個計算數(shù)值穩(wěn)定嗎?，則有:解：已知準確值y° = J2，近似值y° =1.41，設(shè)他們的誤差為&=y1 y, =(100-1)弋1°丫0=100一丫0譏0匚2 =yy2= (10y1-門-(敗-) = 100y°-y°以此類推所以0 =叫-1)"110=100； 010=10 y。-y°=io100=1010|血-匸41蘭10驚漢1010 1-21 82 ；0 106.計算f =(J?-1 6，取J

6、2常1.4 ,直接計算和用13來計算，哪一個最好?(3+2血)解：依題意構(gòu)造函數(shù) f x = x1 ”，貝y f1 x =65x -1，由絕對誤差公式7.解:8.(廣)=f (xF(x=6x(1.4 1 打血1.4=6 0.0124 - 10J =0.00307222求二次方程x -16x+仁0的較小正根，要求有 3位有效數(shù)字。由求根公式：x二一16 4。所以。 x1=8+J63, x2=8-J63對比可知:較小的根為x2=863，由相近數(shù)相減原理則有:： 8. 63 8 - ： 63x2 =8 - 63 =0.0627863如果利用四位函數(shù)表計算 1 - cos20,試用不同方法計算并比較結(jié)

7、果的誤差。解:1 - COS20 ： 1 - 0.994 =0.006.2 0 2“ 衛(wèi) Sin 20.03491 -cos201+cos2 1.9946.092 10*9.設(shè)x的相對誤差限為S，求x100的相對誤差限。解:由題意可知：設(shè) f x =x100, 則有f' (x尸100X99在這里設(shè)為X的近似值，f的近似值，由已知 x的相對誤差限為、：。所以：；f”f1 x ; x 100 x宀一99J 100(X兀)E(xj ioog(xT'=1006110.已知三角形面積S=absinc其中c為弧度,滿足0<c<，且a,b,c,的誤差分別為2a, ：b,-c。證明

8、面積誤差 s滿足 一.：bb ：cSs衛(wèi)a| +|Ab| +Sa1 1解：由誤差定義：.希<cscc：s 1abcosc，代入上式可得:c 2兩邊同除以s可得:|- .c，又因為：=-bsinc，sca 2:b1asinc2As <1bsin c|Aa| +1 a sin c|Ab +1一 ab cosc2221bs inc| 丄 absi n( 21 .asinc2丄 abs inc 2Ababcosc2-abs inc2約分可得:成立。江因為：0<c< 則有：tgc>c>0.，所以命題第二章插值法本章的學習要求(1 )會用拉格朗日插值和牛頓插值求低階插值

9、多項式。(2) 會應(yīng)用插值余項求節(jié)點數(shù)。(3) 會應(yīng)用均差的性質(zhì)。本章應(yīng)掌握的重點公式()線性插值：L1 x = l0 x y0 l1 x y1。(2)拋物插值：L1 x = l0 x y0 li x y! l2 x y2。n(3) n 次插值：Ln xlk x yk。k J0、f鋼(4) 拉格朗日插值余項：Rn x = f x；-Ln x =n 1 x 。n +1!(5) 牛頓插值公式：NX = fxof k,xi! X-Xof儀0必Xn X-XoX-XiX-Xn4。(6)(7)Xo,Xi,XnLaXXo XXiXXj X Xj.iX Xn(8)牛頓插值余項：Rn x = f X - Nn

10、X 二 fxo, Xi Xn ! 'n 1 X 。X3 =3, y3 =26則Ls x %x m yx y，按照習題1求出插值基三本章習題解析1.給定(X, f(x)的一系列離散點(1, 0), ( 2, 5), (3, 6), (4, 3),試求 Lagrange 插值多項試。解：設(shè)所求插值多項式為 p x =L3 X =|0 X y 11 X y l 2 X y，且已知：Xo =1， y° = 0, X1 =2，y1 = -5，X2 =3，= -6, X3 =4，y3 =3，代入插值基函數(shù)公式：可得：(x X1 X X X2)(x X3)(X 試用Newton插值公式求一

11、個三次插值多項式n3 X，并由此求f 0.5的近似值。 丫 x 3)( X 4 )0 x=X。X1 X。X2 X0 X312解：(1) n = 3，取 0.5 附近的 4 個點為宜。故取，x0 =0, y0 - -7, x1 =1, % - Y, x2 =2, y2 = 5 ,(X-X0XX-X2)(x-X3)=(x "x-3XX-4)1 1 X (X1 X0 XX1 X2 )(X1 X3),X(X-X0XX-X1)(x-X3)(X-1)(x-2"-4)1 2 X - =(X2X0 XX2 X1 )(X2 X3 )(2心-1 )化簡代入p x得：p x =x3-4x22.若

12、 f X =2x6 -3x5 X3 1，求 f 3131 川36 , f 30,3|37 。解：由f 6 x =2 6!，所以：f 6=2 6!, f 7 x=f 7=0.由均差的性質(zhì)(三)可知：f 心1 川36 二唁二晉=2，f 3。,31 川37 = + 03.給定函數(shù)表Xi012345f (X)-7-452665128(1) 試用Lagrange插值法求一個三次插值多項式l3 X，并由此求f 0.5的近似值。-7 - -5.875函數(shù)。代入l3 x。可得：l3 x =x3 27,所以:(2)設(shè)牛頓插值多項式為Ns x 二 fX。fLx。xix-x。fL x。xiX2x-x。x-xifLX

13、oXX2，X3 X-Xo X_xi X_X2，列差商表:yi一階插商二階插商三階插商0-7i-4325933262i6i所以：N3 X - -7 3 x -03 x0 x1 x0 x1 x 2 ；=x3 2x -7 =-5.875n kk4. 設(shè)Xj為互異節(jié)點(j=o,i,2,n)求證：' Xj|j x三X ， k =0,1,2,n其中 j x為 j An次插值基函數(shù)。證明：根據(jù)題意：設(shè)f x = X，所以有 y j = f x j = x j，nnn結(jié)合上式所以有：7 X：lj X八f Xj|j X八|j x yj = Ln Xj，j 0j =0j ：0由余項定理可知：fgALJxj

14、Rdxj)，且由定理二可知，當0 一 j 一 n時，尺Xj i=0所以就有f Xj = Ln xj = Xjk。nkk在這里令變量Xj =x，所以命題：7 Xj|j x三x，成立。j=0八5.設(shè) f x 三 c2 a,b .且 f a = f b = 0 ,求證:證明：由題可知：X0 = a,y0 =0 ,洛二b, % =0，故可構(gòu)造線性插值多項式即為下式：Li X =|0 X f X0 li x f Xi，記為("式，因為 f x=Li XRi x，記為(2)式，其中 R x = f 2!X-a x-b，記為(3)式，將(i) (3)代入(2)整理：II“ x _bx - aff

15、(x FLi (X )+Ri(x F忑 f(a )+右 f (b )+Ri =(xa xb )所以:IIff X = 2!II入，可推出：| f（x£2!4lfHx_b 2max x-a x_bt 2f （巴 fb_ai2再放縮得max f （x $蘭一（b a ）這里取max f h （xag邁n _1k0,0 乞 k 乞 n 2an，k= n"6.若f x=anXn an-有n個不同實零點XX2,川Xn,證明：證明：由題可知：f x有n個不同實零點，故 f X還可以表示成根形式的多項式，即:Xjf' Xjf X 二an X-Xi X-X2 HI X-Xn ；由導

16、數(shù)的定義可知："收xjf（X ）=唄廠廠唄乩八"XX2x-X2 X-Xj1X-Xn= anXj Xi Xj X2 Xj XjXj Xji Xj Xn在此設(shè)：x i 二 xk -kXjIf Xj丄 jjXian y Xj XiXj Xm Xj X x； Xnn，記為（1）式當k二n1時，A©z（x ） = （n 1 ），則（1）變?yōu)橐唬?ax當0乞k乞n-2，則（1）式變?yōu)?,綜上所述：nxk0,0 -k -n-2Xj 1j 土an ,k 二 n -1f xan7.給定函數(shù)表Xi-2-10123f （Xj ）-5111725已知以上數(shù)據(jù)取自一個多項式，試確定這個多項

17、式的次數(shù)；并求出這個多項式。解：用牛頓法：NX 二 fX。 f區(qū)0必 1 X X。f|_Xo，Xi，X2, X XoX Xi+f I.Xo，X1,X2，X3，X4，xJ Xo X-N X-X2 X-X3 X-X4 ，列插商表:Xif區(qū)）一階插商二階插商三階插商四階插商五階插商-2-5-116o1o-311oo127631o3251861oo3N X i； = 5 6(x 2) -3(x 2)(x 1) (x 2)(x 1)(x-0) = x -x 1，為三次。8. 對函數(shù)f x，g X及任意常數(shù)a,b,證明：af x bg x X o, Xi, Xn 】=af Ro, Xi, Xn 】*bg

18、IXo,Xi, 人。證明：由高等數(shù)學的知識，我們構(gòu)造函數(shù)F X=af x bg x，于是就有下式成立:F Xjaf x bg x jxo,X1, xJ-F x心為，焉】naf Xj bg Xjj- Xj -Xo XjX1XjXj 丄 XjXj1XjXnnj- Xj -Xo XjX1XjXj 丄 XjXj1XjXn由分式法則:f Xjnb-j=og Xjna-j - Xj-XoXjX1XjXj1XjXj1XjXnV XjXoXjX1XjXj 丄 XjXj 1XjXn=af Lxo ,X1Xn 1 bg &o,X1，Xn ，所以命題成立。10.給定函數(shù)表Xio.o0.20.40.60.8f

19、 (Xi )1.000001.221401.491821.822122.22554試分別用Newt on前插值公式和 Newton后插值公式計算 f 0.05的近似值。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，分別代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得f 0.05 =1.05126.11.若要給出f x =cosx，X壬f,號的一張按等距步長h分布的函數(shù)表,并按線性插值計算任何 0 '的 cosx的值。問當h取多大才能保證其截斷誤差的絕對值不超過IL 2分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給

20、出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行解答，代入余項公式，即可求出h < 0.02。12. 設(shè)f X c2n 2 la, b 1,采用Lagrange插值余項的證明方法，證明：埃爾米特插值余項R X 汙 f X - H2n 1 x 二2n2n 2 !分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行解答，將定理 2代入余項公式即可求得，在此不做說明。13. 求不超過3次的多項式H x，使其滿足H -1 =9, H 在邊界條件fI 0i=0.2 , fI 3=1下求三次樣條插值函數(shù)S X ； 在邊界條件f " (0 )=-0.3 , f

21、9;' (3 )=3.3下求三次樣條插值函數(shù) S(X )。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 -1 =15, H 1 =1，H 1 - -1。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，設(shè)所求多項式為：h x =a0 a1x a3x2 a3x3，代入條件，即可求得：H x = x3 - 4x2 4x。14.求不超過4次的多項式p X，使其滿足 P 0 = P' 0=0, P1二1=1,P 2=1。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的

22、同學可自行解答，設(shè)所求多項式為分析 p x = a0 ' a1x a2x2 a3x3 a4x4, 代入條件，即可求得： p x ju1 x2 x -3 2。15.給定函數(shù)表Xi0123f（X ）00.521.5的同學可自行解答，代入樣條插值函數(shù)公式，即可求得，在此不做說明。'0.48x? 0.18x2 +0.2x,xE b,l 結(jié)果為：(1)s(x) = J _1.04(x1 $+1.25(x1 j+1.28(x1 )+0.5,x迂【1,2】0.68 x2 1.86 x20.68 x22.0,x：=l2,30.5x -0.15x +0.15x, x壬 10,1|32(2)sx

23、- -1.2 x 11.35 x11.35 x 10.5, 1.1,21.3 x-2-2.25 X-20.45 x-22,x：=2,3第三章函數(shù)逼近及最小二乘法一本章的學習要求(1) 會用最小二乘法求擬合曲線。(2) 會將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)。二本章應(yīng)掌握的重點公式線性曲線擬合公式：nn=0 八0 t0 ti， -0 -八、°titi ， i =07n八1 ti 1 ti，i £nn、°，f = .° ti V、，ti yyi=Q三本章習題解析1. 設(shè)© °(X )沖jx )n4(X 是區(qū)間0,1上帶權(quán)P (X)=X的最高項系數(shù)為

24、1的正交多1項式序列，其中' ° x =1，求.° x' k x dx及行x和“ 2 x。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分,考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為:x kXdx- 2，k"；存；10,心032 x =x2-6x 3。25102.判斷函數(shù)仁x =1，1 x =x,，'22 X =X，在I-1,1上帶權(quán)l(xiāng)x =1正交，并求 3(x )使其在-1，1上帶權(quán) P(x)=1 與化(x),© Jx ),© 2(x )正交。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做

25、任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行解答，在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為：X3 - 3x。53. 證明：若函數(shù)組© o（x）,©X n）是在a,b上帶權(quán)P（x）正交的函數(shù)組，貝U *o（x）*i（x）"血1（X ）必然是線性無關(guān)的函數(shù)組。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行證明。4. 已知點列 X。= -2 , X"）- -1 , x2 = 0 , x3 = 1 , x4 = 2 及權(quán)函數(shù)心 = 0.5,心Xi = X2 = X3 =1,門X4 =1.5，利用公式（47）和（4 8）構(gòu)造對應(yīng)

26、的正交多 項式 Po X , Pi X , P2 X。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為：p x：=1 , Pl X =x -2P2X 八丄 XZ 一46。1155155.已知數(shù)據(jù)表Xi01234yi1.003.856.509.3512.05求擬合這些數(shù)據(jù)的直線方程。解：設(shè)所要擬合的直線方程為： y qx ,這里m = 4 , n = 1 , '0 x =1,1 x= x ,44r 0込 9o（Xi p o（Xi）=5，仲 o*X* 1忙燉 朋 o（x1（Xi A10， i=0i=044仲1）=瓦化

27、儀九儀戶30 , ® of）=E灼i°o（Xi）yi =32.75，'i z0'i=0Xi y =93.1，所以可得到以下方程組：510 ao二32.75 1 i 衛(wèi) i 1 Xii1（1030 a1IL93.1解得：ao =1.03，3 =2.76，所以所求方程為 y =1.03 2.76x。6.已知數(shù)據(jù)表Xi12345678yi33455667求擬合這些數(shù)據(jù)的直線方程。解:設(shè)所要擬合的直線方程為：y二ao a1X，這里m = 7，n=1， 0 X = 1， X = X，77；0 八 廠 0 Xi 0 Xi =8， 1 八 10 八 0 Xi1 Xi =3

28、6，i =0i=0770化）=遲種1儀怏1儀）=285，（° °戶遲灼少0（x M =41，8, %36, 285 J ai216 一i _0£7 f 八.，廠Xi y =216，所以可得到以下方程組：1,i _01i解得：a。=2.22 , a =0.95，所以所求方程為：y = 2.22 0.95x。7.某發(fā)射源的發(fā)射強度公式為I =loe，現(xiàn)測得|與t的一組數(shù)據(jù)如下表ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56試用最小二乘法根據(jù)以上數(shù)據(jù)確定參數(shù)|0和：.的值。解：先將I =loe"線性化

29、，即兩邊取以10為底的對數(shù)，變?yōu)镮g'lg1。a|g；，設(shè)yTgt AoTg"0， A=a|ge，所以上式變?yōu)槎?.人必。這里m = 7，n=1，7°0（x 尸，° 1（X）=X，代入公式得：（$ 0® 0）=遲 3 仲 0&i W 0（Xi）=8，1甘77（*0*X*1* 0 淬化（Xi * 1（Xi ）=3.5，伸 1* 1 戶遲數(shù) 1（ Xi W 1（Xi 戶203，11i777仲0）=£國咒儀） = 0.8638，1,f 二i 1 Xi yi = 0.08062，所以可得到以下方程組 8, 3.5 1也=0.8638

30、,解得:代解008777，3.5,2.03肌 一 0.08062一A ： -0.04618，相應(yīng)的 10 : 5.64, a : 2.89。8.試用最小二乘法根據(jù)以下數(shù)據(jù)表Xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46求y =aebx的最小二乘擬合曲線。解：先將y二aebx線性化，即兩邊取以10為底的對數(shù)，變?yōu)閘g y = lg blge x，設(shè)y = lg y，A0 = lg -'，A = blge，所以原式變?yōu)椋貉?二 & Ax。這里 m = 4，n =1， " o =1，4嘰(X)=X，代入公式得忡?；瘧羲妥浦?(x0(

31、x)=5，i £44廠；0 二0 xi 1 Xi =7.5，Xi 1 Xi -11.875，47( 0 f )=瓦 4 o(Xi M =33.33，仲 J )=瓦蛍 QXi " =51.2275，'i qi _Q所以可以得到以下方程組:A =1.972，代回求得,5,7.5 | A。= ( 33.33 1，解得:代=3.708 ,7.5,11.875 IA151.2275a = 3.071, b = 0.5056,故方程為 y = 3.071eQ.5Q56X。9.用最小二乘法求形如 y=abx2的經(jīng)驗公式，使它擬合以下數(shù)據(jù)。Xi1925313844yi19.032.

32、349.073.397.8解：先將y二a bX2線性化，設(shè) X =X2，則原式變?yōu)?y二a bX，這里m =4，n =1，4°0(x尸，* 1(x) = x，代入公式得3。忙)=送弦0(Xip0(Xi )=5，'i蘭44H*。產(chǎn)遲3丸仗戶5327，$ )=送國0(Xi丸(Xi戶7277699，i =0i z044仲 °f )=瓦國化(Xi)yi=271.4，(* 2)* 化(X 化(Xi )=369321.5，i =0，7所以可以得到以下方程組: 5 ,5327a= 271.4【5327,7277699也一出69321.5_解得：a =0.05004，b = 0.9

33、7258，所求方程為：y =0.97258 0.05004x2。第四章數(shù)值積分和數(shù)值微分本章的學習要求(1) 會求各種插值型求積公式。(2) 會應(yīng)用求積公式分析代數(shù)精度。(3) 掌握梯形公式，辛甫生公式及其誤差余項。(4) 掌握復化梯形公式，復化辛甫生公式及其誤差余項。二本章應(yīng)掌握的重點公式(1)梯形公式：bb _ a _a f X dX ：£ ILf 3f b 。(2)辛甫生公式：a f XdX "§ f a 4f 2f b。(3)復化梯形公式："(4)復化辛甫生公式:(5)梯形公式的誤差余項：RT x =(6)復化梯形公式的誤差余項:丿(ba 3?！?/p>

34、(a, b) 12口 h2f"。12a,b(1 )本章習題解析1.用復化梯形公式和復化Simps on公式計算下列積分。H .x,取 n=8 ； (2) J6j4sin2xdx，取 n =6解：(1)代入復化梯形公式可得T8專f 0Xkf 1 =0-1114024,=1.03562，65代入梯復化形公式可得：T.f 0-. f x6f72k=t同理，分別代入復化 Simpson公式可得：S8 =0.1115724， & =1.03577。(1)J xdx ：Aof -hA1f oA2f h(2)1o f X dx ：Aof o Af X1 A2f 1(3)2h2xdxAof

35、比 AJ o A2f h(4)hxdx：Aof " Af X12.確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出所構(gòu)造的求積公式所具 有的代數(shù)精度。h解：(1 )設(shè)f x =1，x，x2，求積公式準確成立， 代入(1 )式可得:2h = Ao+A+A2o=Ao h+A2 h232巧 h =(A° + A2)h14解得：氏二Ah, A h，33h14xdx： f -h -h f 0 h f h，1 一.34對于f X二X，代入上式驗證，左邊=右邊，繼續(xù)令f X = X，代入上式驗證, 左邊=右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有3次代數(shù)精度。代入原式整理得:(2)設(shè)f Xi；

36、 = 1，x，x2，求積公式準確成立，代入(2 )式可得:(ro+A+A?1 ."2 =Ao x A21 2 g = Ax +2A212解得：Ao 二A2 二，A，63代入原式整理得:1o f x dx :6f0 2 f2 ¥f1，對于f X =X3，代入上式驗證，左邊=右邊，繼續(xù)令f X = X4，代入上式驗證，左邊=右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有3次代數(shù)精度。(4h = Ao 十幾 + A2(3)設(shè)f (x) = 1，x，x，求積公式準確成立，代入(3)式可得：o = Ao 'h+代hh'Ao+A? )h2I 3解得：Ao2h848代入原式整理得: f x

37、dx ：護 f -h -h f x 勺人 f h ,對于f x = x3，代入上式驗證，左邊4=右邊，繼續(xù)令f X二X，代入上式驗證,左邊=右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有3次代數(shù)精度。（4）設(shè)f X =1，x，求積公式準確成立，代入（4）式可得 2h = A0 A/"Aoh + Ax!解得：-3，Ao今，心h代入原式整理得："fxdx ： hf -h3hf -，223_ ,23對于f X二X，代入上式驗證，左邊=右邊。繼續(xù)令 f X二X，代入上式驗證， 左邊=右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有3次代數(shù)精度。1 1 13. 證明：（f （x d- _f（o）+ f 0 fl-：1 f

38、 1 h f 1 （0 具有 3 次代數(shù)精度。證明：當f x =1時，11左邊=1，右邊=一 1 v 一 0 -0 =1，左邊=右邊。2 12當f X =x時，左邊=-，右邊=1 0 -1 ,丄1 _1丨_ 1，左邊=右邊。2 2 12 2當f x = x2時，1111左邊=-，右邊=一0 1一（2-0=-，左邊=右邊。3 2123當f x =x3時，11左邊=一， 右邊=一，左邊=右邊。4 4當f x = x4時，11左邊=-，右邊=-，左邊=右邊。5 6故所求積公式具有 3次代數(shù)精度。4. 用復化Simpson公式Sn計算積分 2sin xdx，要使誤差不超過 -10，問應(yīng)將區(qū)間PO0,二

39、分為多少等份？若改用復化梯形公式時，要達到同樣精度問應(yīng)將區(qū)間 _ 2為多少等份?解:復化Simpson公式的余項的絕對值為:WI由此可將原問題轉(zhuǎn)化為Rs需maxsi nx4n丿o空呼同理若應(yīng)用復化梯形公式，則有-0 fb -a122. IIJI5"92w07 4 10 衛(wèi)解得：n 6。2n丿。蘭看max sinx 弓 10目解得：n - 255。o.用215.求積公式o f xdx：、A0f 0A1f 1A2fI 0，已知其余項表達式為R f二kf。試確定求積公式中的待定參數(shù)A。，A，A2，使其代數(shù)精度盡量高，并指出求積公式所具有的代數(shù)精度及余項表達式。解:設(shè) f X=1，x，x2求

40、積公式準確成立，代入原式可得:仁 A。A A?1盯0 A A?1rA1解得:2 1 1A3，Ap A 飛，所以原式變?yōu)?dxX丄3+ O fO11當f x =x3時，代入原式，左邊二一，右邊二，左邊=右邊，43IIIIII彳-1二k f 匚且f x =3! =6，所以求得k ，372由題意知誤差為丄.431f111為所求，上式求積公式具有3次代數(shù)精度。6.解:3_若用復化Simps on公式計算ex si n xdx，要使誤差不超過10，問需要計算多少個節(jié)點上的函數(shù)值?f1 x - -4exsinx ,在這里取復化Simps on公式余項的絕對值口 h 4180 2進行放縮得：Rs('

41、1 I max 4exsin x <10，解得：n 王 26。' v 180 1 n 丿1空代入已知條件得:Rsf 二3 -124180 2n4e_sin 亡7.推導下列三種矩形求積公式，其中"-i：a,bb1 I2(1) a f xdx = ba f a 2 f bab1 I2(2) a f xdx 二 ba f b _2f b-a(3) a f xdx 二 ba f 2 2/"ba 3證明：(1)將f x在f a處展開成一階泰勒公式，即： f x = f a fx-a上式兩邊在 la,b 1 積分，得：& f x dx = & f a dx

42、 亠 i f1 ： xa dxb I .=f a b-a a f x-adx，bb這里我們應(yīng)用廣義積分中值定理：.f X g X dx二gL門f X dx， a,b，aab -Ib于是上式中第二項就化簡為如下形式：f1 x-a dx二f-L x-a dx，aaa,b，bd2積分整理得到：a f (xpx=(b a )f (a )+丄 f1 ( b a )。a2(2) 將f x在f b處展開成一階泰勒公式，即：f x = f b fx-b上式兩邊在 la,b 1 積分，得：f x dx f b dx f1 I x-b dxaaab -=f b b -a i 亠！ f ii x -b dx，a上式

43、中第二項應(yīng)用廣義積分中值定理化簡代入即可得：b1 I2a f x d'b-a f b -f b-a 。a2a + b (3) 將f(x 在 f處展開成二階泰勒公式，即：I 2丿上式兩邊在a,b 積分得:bX dx = .abb由廣義積分中值定理a f x g x dx二g i f x dx，"三i a, b ,代入上式第三項化簡，然后對上式整體積分即可得：f xdx 二 ba f 晉 24fH b。38.對積分°f x dx構(gòu)造一個至少具有三次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式。 解：將0,3 三等分，即取節(jié)點 0, 1, 2，3構(gòu)造求積公式：3230 f X dx 二 Aof

44、0Aif1A2f2Aaf3，令 f x=1，x，x，X 求積公式準確成立，代入公式得:3 二 A0+A1+A2+A39廠o+A+2A2+3A32解得:273=0 + A+4A2+9A381-=A8A27Aa3A89 A飛9A飛3A-89.所以所構(gòu)造的求積公式至少具有三次代數(shù)精度，即：33993 )8i 2用高斯-勒讓德求積公式，取 n=2計算定積分 0 x2exdx。39930 f xdx f 0 f 1 f 2 f 3。8 8 8 8分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，代入高斯勒讓德求積公式:bnJaQ（xdx=E AxQ（Xk

45、）即可求出:ak=0x2exdx =0.7119418。10.用龍貝格求積公式計算定積分031解：代入復化梯形遞推化公式，求得:dx。x-3?1_f 1 f 3 W，1丄 3 _1丁2寸1 丁f 1.5 =4，3T41ST乞4 X，1匕 f 3f 9f 15f 21.597|82148 IL,88883154112_41_52411898SgT2 - 3Ti=S2 - 3T4- 27 S4 -空 T8 - 3- 94516179616128548C1 =15S2 55 S=405 ' C2 _15S4 一 15S2 一 14仃5 ':2.01473867。6311799212R

46、1 _64C2 _64C1 _ 89302511.若f11 x 0 ,證明用梯形公式計算積分ba f x dx所得的結(jié)果比準確值大，并說明其幾何意義。3b-a 11證明：已知梯形公式為| _ln=Rr f ， 由已知f 11 (x)>o及余項公式RT(f)=_2一a丿f ( E )<0，也就是I - ln£ 0即In I造成結(jié)果比準確值大。幾何意義：由f" X 0可知曲線為向下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。第五章常微分方程的數(shù)值解法本章的學習要求(1) 能夠熟練的應(yīng)用歐拉公式求初值問題。(2) 掌握龍格庫塔方法。本章應(yīng)掌握的重點公式("歐拉公式：y

47、nyn hf Xn$n。(2) 后退的歐拉公式：«yn hf Xn1,yn 1。(3) 梯形公式：廣 yn 專 J ( XnJn )+ f ( Xn利 yn J。三本章習題解析1.對初值問題 y 0，在Q1 1區(qū)間內(nèi)取步長h =0.1，分別用歐拉公式、 y(0)=1公式及經(jīng)典的四階 Runge-Kutta公式作數(shù)值計算。改進的歐拉解：(1)由歐拉公式可知:yn 廣 yn hf Xnjn 和nTn =09丫.(2)由改進的歐拉公式可知:yry/hf（Xn，yn）Vc=yn+hf（Xn，yp）ym 冷 yp yc將已知代入化簡可得:yryn Q.1y. =°.9yn，y廣yn-

48、y ”91yn，1yn 1 匚 °.9yn gyn =Q.9Q5yn。(3)由經(jīng)典的四階 Runge-Kutta公式可知:kl=f Xn，yn(h h k2=f Xn 2，yn 2klr( h h ) k3 = f Xn yn 才2公式為：yn + = yn +£(人 +2k? +2ks + k4 )記為(1),所以有：k-yn ,k廠f Xn h，yn hk3k2=-yn0.05yn,k-yn0.05yn-0.0025 yn,k4 = -yn - °.1 fyn 0.05yn - 0.0025yn ,1代入到(1)得：yn1. = yn5.70975 =0.90

49、48375yn 。602.用歐拉公式解初值問題4-dyuax ' bi<dx，證明其整體截斷誤差為y(Xn)_y =anh2。y 0 =0n n 2證明：將已知代入歐拉公式Y(jié)nYn 十 Xn'Yn，化簡為 Yn 廣n ' h n ' b，展開得：y十二丫 +haxn+hb，應(yīng)用遞推關(guān)系可得:yn 二 ynJhaXnjhb，以此類推：y3=y2 hax2，hb，yy/ haXi hb，y廣 y0 haX0 hb，然后迭代得：y J(n Tah2+ nbh , n 2由題可知，對原定解問題積分得：y x =-1 ax2 bx，故可得 y Xn =*axn2 bnh，所以有y Xn _yn十h2成立。3.用歐拉公式計算積分2Xet dt 在 X=0.5，1，1.5，2 點的近似值。02IX2解：設(shè)f xetdt，則f x二e ,且f 0 =0，故原問題轉(zhuǎn)化為f x "e的定.f 0 =0解條件在Xo =0， x 0.5， X2=1，X3=1.5， X4 = 2時的定解冋題。由歐拉公式y(tǒng)n廣X