直線中的對(duì)稱

1、直線中對(duì)稱問題歸類解析直線中的對(duì)稱問題主要有：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；直線關(guān)于直線對(duì)稱。下面談?wù)劯?類對(duì)稱問題的具體求解方法。1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱例1已知點(diǎn)A (- 2, 3)，求關(guān)于點(diǎn)P (1 , 1)的對(duì)稱點(diǎn)B ( Xo,yo )。-2 + X0210/.2'解得x0 = 4,Jo = -1分析：利用點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的幾何特性，直接應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。解：設(shè)點(diǎn)A (-2, 3)關(guān)于點(diǎn)P (1,1)的對(duì)稱點(diǎn)為B ( xo，yo )，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 所以點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P (1, 1)的對(duì)稱點(diǎn)為 B (4, - 1)。評(píng)注：禾U用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解完之后，要返回去驗(yàn)證，以

2、確保答案的準(zhǔn)確性。2、直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱例2求直線3x -y -4 =0關(guān)于點(diǎn)P (2,- 1)對(duì)稱的直線I的方程。分析：由已知條件可得出所求直線與已知直線平行，所以可設(shè)所求直線方程為3x - y b = °。解：由直線I與3x - y -4=0平行，故設(shè)直線I方程為3x - y b = °。|6 1 4| _|6 1 - b|由已知可得，點(diǎn)P到兩條直線距離相等，得 32 132 1解得b=10，或b=-4 (舍)。則直線I的方程為3x-y-10=0.評(píng)注：充分利用直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的特性：對(duì)稱直線與已知直線平行且點(diǎn)P到兩條直線的距離相等。幾何圖形特性的靈活運(yùn)用，可為解題尋找一些

3、簡(jiǎn)捷途徑。此題還可在直線3x - y - 4 =0上取兩個(gè)特殊點(diǎn)，并分別求其關(guān)于點(diǎn)P (2,-1)的對(duì)稱點(diǎn)，這兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的連線即為所求直線。3、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱例3求點(diǎn)A (2, 2)關(guān)于直線2x -4y 9 =0的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)。利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)求解。解法1 (利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法)：設(shè)點(diǎn)A (2, 2 )關(guān)于直線2x-4y*9=0的對(duì)稱點(diǎn)為a'( x0，y0 )，則直線AA'與已 知直線垂直，故可設(shè)直線 AA'方程為4x 2y弋=0，把a(bǔ) (2, 2)坐標(biāo)代入，可求得 c = -12。直線aa'方程為2x，y -6=0。：2x4y+9=0,(3 3 !由方程組

4、Zx +y -6=0解得aa'中點(diǎn)M f丿。X。+2 _3 y。+2 _3由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得22， 2 ，解得x0 "，y0 =4.所求的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4)。評(píng)注：解題時(shí)，有時(shí)可先通過求中間量，再利用中間量求解結(jié)果。分析：設(shè)B (a, b)是A (2, 2)關(guān)于直線2x -4y - 9 = 0的對(duì)稱點(diǎn)，則直線 AB與I垂直，線段 AB中點(diǎn)在直線 2x4y 9 =0上。解法2 (相關(guān)點(diǎn)法)：設(shè)B (a, b。是A (2, 2。關(guān)于直線 “ - 4y 0的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)直線 AB與I垂直，線段 AB中點(diǎn)在直線2x _4y 9 =0上,刁b -2彳=一1,9 =0,2 a2 c

5、a +2, b +2則有22解得 a 二1, b =4所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(評(píng)注：中點(diǎn)在2x -4y 9 =0上；所求點(diǎn)與已知點(diǎn)的連線與2x 4y - 9=0垂直。4、直線關(guān)于直線的對(duì)稱例4 求直線li：xy2=°關(guān)于直線l2：3x_y3=0對(duì)稱的直線|的方程。分析：設(shè)所求直線I上任一點(diǎn)為 程進(jìn)行求解。p( x,y利用“相關(guān)點(diǎn)法”求其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，并將其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入直線|i方解：設(shè)所求直線|上任意一點(diǎn)P3 匕 _4+3=0,2 2 2則x _xi解得又因?yàn)辄c(diǎn)Q在|i上運(yùn)動(dòng)，則xi -yi-4x3y -9_3x 4y 3_2=。(x；y ')( P“2)關(guān)于 |2 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q

6、( xi,yi)，4x 3y'：9Xi53x" +4y " +3 yi 二一2和。55，解得評(píng)注：直線關(guān)于直線對(duì)稱實(shí)質(zhì)是點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱。7x ' y ' 22 =0。即直線|的方程為7x y 20。此題還可在直線|i上任取一點(diǎn)(非兩直線交點(diǎn))并求其關(guān)于直線|2的對(duì)稱點(diǎn)，則該對(duì)稱點(diǎn)與兩直線交點(diǎn)的連線便是所求對(duì)稱直線。直線中的對(duì)稱問題習(xí)題題組訓(xùn)練一例i已知點(diǎn)A(5, 8), B(4, i),試求A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo).例2已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一 4, 4),直線L的方程為3x+y-2=O.求點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A，的坐標(biāo).例3求直線3x-y-4=O

7、關(guān)于點(diǎn)P(2, -i)對(duì)稱的直線L的方程.例4求直線2x+y 4=0關(guān)于直線|： 3x+4y-仁0對(duì)稱的直線的方程知識(shí)點(diǎn)歸納 i、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對(duì)稱的問題是線段中點(diǎn) 坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題設(shè)P (x0, y0)關(guān)于點(diǎn)A (a, b)的對(duì)稱點(diǎn)為 P'特別地，P (x0, y0)關(guān)于原點(diǎn)0( 0, 0)的對(duì)稱點(diǎn)為 P'2、點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問題由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組， 就可求出對(duì)頂點(diǎn)的坐標(biāo)一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P(x0, y0)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P'

8、; (x',y'),則有可求出x'、y'3、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常見結(jié)論：(門點(diǎn)(x, y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為;(2)點(diǎn)(x, y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為；(3) 點(diǎn)(x, y)(4) 點(diǎn)(x, y)(5) 點(diǎn)(x, y)(6) 點(diǎn)(x, y)(7) 點(diǎn)(x, y)(8) 點(diǎn)(x, y) 題組訓(xùn)練二關(guān)于直線 關(guān)于直線 關(guān)于直線 關(guān)于直線 關(guān)于直線 關(guān)于直線x- y=0的對(duì)稱點(diǎn)為 x+y=O的對(duì)稱點(diǎn)為 x=a的對(duì)稱點(diǎn)為 y=b的對(duì)稱點(diǎn)為 y=x+b的對(duì)稱點(diǎn)為 y= x+b的對(duì)稱點(diǎn)為 例5光線從點(diǎn)A ( 3, 4)發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過 y軸反射，光線經(jīng)過點(diǎn) B (

9、2, 6),求射入y軸后的反射 線的方程例6已知兩點(diǎn) A (2, 3)、B (4, 1),直線I: x+2y 2=0,在直線I上求一點(diǎn)P (1 )使|PA|+|PB|最?。?(2)使 |PA| - |PB| 最大.例7直線y=2x是厶ABC中/ C的平分線所在的直線，若A、B坐標(biāo)分別為A ( 4, 2)、B ( 3, 1),求點(diǎn)C的坐標(biāo)。練習(xí)： 1、已知點(diǎn)M (a, b)與N關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，則 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為A. (a, b)B. (b, a)C. ( a, b)D. ( b, a)2、已知直線l1: x+my+5=0和直線l2 : x

10、+ny+p=O，則11、l2關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是A. m5=np B.p= 5C.m= n 且 p= 5 D.m 1 = n1 且 p= 53、 直線y=3x 4關(guān)于點(diǎn)P(2,1)對(duì)稱的直線L的方程是4、點(diǎn)A (4, 5)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為B ( 2, 7),則I的方程為5、與直線x+2y仁0關(guān)于點(diǎn)(1, 1)對(duì)稱的直線方程為6、 直線2x y 4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn) A (4, 1 )、B (3 , 4)的距離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是7、 光線通過A(-2, 4)，經(jīng)直線2x-y-7=O反射，若反射線通過點(diǎn) B(5, 8),求入射線和反射線所在直線的方程.& 已知點(diǎn) M (3, 5),在直線l: x 2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn) P和0,使厶MPQ的周長最小9、已知 ABC的一條內(nèi)角平分線 CD所在直線方程是2x+y-仁O,兩個(gè)頂點(diǎn)是 A(1, 2) , B(-