直線和圓的位置關(guān)系拔高練習(xí)與解析

1、直線和圓的位置關(guān)系拔高練習(xí)及解析一 解答題(共30小題)1 如圖，已知等腰直角三角形 ABC，點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B，C重合)，PE是厶ABP的外 接圓。O的直徑.(1) 求證： APE是等腰直角三角形；(2) 若。O的直徑為2，求PC2+PB2的值.2 .如圖，已知 AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O 上, CD是。O的切線，AD丄CD于點(diǎn)D，E是AB延 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE交。O于點(diǎn)F，連接0C、AC .(1) 求證：AC平分/ DAO .(2) 若/ DAO=105 / E=30 求/ OCE的度數(shù)； 若。O的半徑為2頁月，求線段EF的長(zhǎng).3 .如圖，在 ABC中，AB=AC，以AB為直徑的

2、。O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作。O的切線DE，交AC于點(diǎn)E，AC的反向延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)F .(1) 求證：DE丄AC;(2) 若DE+EA=8 , OO的半徑為10 ,求AF的長(zhǎng)度.4 .如圖，在 Rt ABC中，/ C=Rt /,以BC為直徑的O O交AB于點(diǎn)D，切線DE交AC于點(diǎn)E .(1 )求證：/ A= / ADE ;(2)若 AD=16 , DE=10 , 求 BC 的長(zhǎng).5 .如圖，AB是O O的弦，BC切O O于點(diǎn)B , AD丄BC ,垂足為D , OA是O O的半徑，且 OA=3 .(1) 求證：AB平分/ OAD ;(2) 若點(diǎn)E是優(yōu)弧両上一點(diǎn)，且/ AEB=60 求扇形OAB的

3、面積.(計(jì)算結(jié)果保留n)6 .如圖，AB是O O的直徑，AC是上半圓的弦，過點(diǎn)C作O O的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過 點(diǎn)A作切線DE的垂線，垂足為D，且與O O交于點(diǎn)F,設(shè)/ DAC，/ CEA的度數(shù)分別是a,(1 )用含a的代數(shù)式表示B,并直接寫出a的取值圍;(2)連接OF與AC交于點(diǎn)0 :當(dāng)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)時(shí)，求a, B的值.7.已知：AB為。O的直徑，AB=2，弦DE=1，直線AD與BE相交于點(diǎn)C,弦DE在。O上運(yùn)動(dòng)且 保持長(zhǎng)度不變0的切線DF交BC于點(diǎn)F .(1)如圖 1，若 DE / AB，求證：CF=EF ;(2 )如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，試判斷CF與BF是否相等，

4、并說明理由.8 .已知，四邊形 ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DE=EC，以AE為直徑的。0與邊CD相切于點(diǎn)D . B點(diǎn)在。0上，連接0B .(1)求證：DE=0E ;是菱形.9 .如圖，AB為。0的直徑，D為EZ的中點(diǎn)，連接 0D交弦AC于點(diǎn)F ,過點(diǎn)D作DE / AC ,交BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：DE是。O的切線;(2)連接CD，若OA=AE=4，求四邊形ACDE的面積.10 .如圖，已知 AB為。O的直徑，AD、BD是。O的弦，BC是。O的切線，切點(diǎn)為B , OC / AD , BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E .(1)求證：DC是。O的切線；(2 )若 AE=1，ED=3，求

5、O O 的半徑.11 .如圖，已知AB是。O的直徑，過O點(diǎn)作OP丄AB，交弦AC于點(diǎn)D，交。O于點(diǎn)E，且使/ PCA=/ ABC .(1)求證：PC是。O的切線;(2)若/ P=60 PC=2，求 PE 的長(zhǎng).DC12 .如圖，。O是厶ABC的外接圓，BC為。O的直徑，點(diǎn)E為厶ABC的心，連接AE并延長(zhǎng)交。O 于D點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至F，使得BD=DF，連接CF、BE .(1) 求證：DB=DE ;(2) 求證：直線CF為。O的切線.13 .如圖，O O中，直徑CD丄弦AB于E，AM丄BC于M，交CD于N，連AD .(1)求證：AD=AN ;(2)若 AB=4L j, ON=1，求O O 的半

6、徑.14 .在Rt ABC中，/ ACB=90 以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑，作。A交AB于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的平行線EF交。A于點(diǎn)F，連接AF、BF，DF .(1)求證：BF丄AF ;(2)當(dāng)/ CAB等于多少度時(shí)，四邊形 ADEF為菱形？請(qǐng)給予證明.15 .如圖，已知ED為。O的直徑且ED=4，點(diǎn)A (不與E、D重合)為。O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB經(jīng)過點(diǎn)E，且EA=EB , F為。O上一點(diǎn)，/ FEB=90 BF的延長(zhǎng)線交AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) C .(1)求證： EFB ADE ;(2)當(dāng)點(diǎn)A在。O上移動(dòng)時(shí)，直接回答四邊形 FCDE的最大面積為多少.16 如圖，AB是。O的直

7、徑，點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)，作CD丄AB交。O于D，連接AD，將 ACD沿AD翻折至 AC D .(1 )請(qǐng)你判斷CD與。O的位置關(guān)系，并說明理由;(2)過點(diǎn)B作BB 丄C D于B ，交。O于E，若CD=，AC=3，求BE的長(zhǎng).517 .如圖， ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，過點(diǎn)D 作DE丄AC，垂足為點(diǎn)E .(1)判斷DE與。O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(2)過點(diǎn)F作FH丄BC，垂足為點(diǎn)H，若AB=4，則弦FC和弧FC組成的弓形面積 18 .如圖，OA和OB是O O的半徑，并且 OA丄OB，P是OA上任一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交O O于Q，過Q的O O的切線

8、交OA的延長(zhǎng)線于R .求證：RP=RQ .19 .已知O O中，AC為直徑，MA、MB分別切O O于點(diǎn)A、B .(1)如圖，若/ BAC=23 求/ AMB的大小;(II )如圖，過點(diǎn) B作BD / MA，交AC于點(diǎn)E，交O O于點(diǎn)D，若BD=MA，求/ AMB的大小.20 .如圖，OA是OO的半徑，弦CD垂直平分OA于點(diǎn)B，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)P,過點(diǎn)P作O O的切線PE，切點(diǎn)為E，連接AE交CD于點(diǎn)F .(1 )若CD=6，求O O的半徑；(2)若/ A=20 求/ P的度數(shù).21 .如圖，在 ABC中，AB=AC，以AC為直徑作O O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作O O的切線，交AB 于點(diǎn)E，交CA的延

9、長(zhǎng)線于點(diǎn)F .(1)求證：EF丄AB ;(2)若/ C=30 EF=53，求 EB 的長(zhǎng).22 .如圖，。O的弦AD / BC，過點(diǎn)D的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E , AC / DE交BD于點(diǎn)H , DO 及延長(zhǎng)線分別交AC、BC于點(diǎn)G、F .(1)求證：DF垂直平分AC ;(2)若弦AD=10，AC=16，求O O的半徑.23 .如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點(diǎn)，AD垂直于過C點(diǎn)的切線，垂足為D，AB 的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)E .(1)求證：AC平分/ DAB ;(2)若AB=4，B為OE的中點(diǎn)，CF丄AB，垂足為點(diǎn)F,求CF的長(zhǎng).(I )如圖，過點(diǎn)C作。O的切線，與AB的延長(zhǎng)

10、線相交于點(diǎn)P，若/ CAB=32 求/ P的大??；(n )如圖，D為優(yōu)弧ADC上一點(diǎn)，且DO的延長(zhǎng)線經(jīng)過AC的中點(diǎn)E，連接DC與AB相交于點(diǎn)P,若/ CAB=16 求/ DPA的大小.25 如圖，AB是。O的直徑，C是。O是一點(diǎn)，過點(diǎn)B作。O的切線，與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接BC，OE / BC交。O于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)H .(1) 求證：BE平分/ ABC ;(2) 連接 OD，若 BH=BD=2 ，求 OD 的長(zhǎng).26 如圖，在 ABC中，點(diǎn)0在邊AC ，O O與厶ABC的邊AC，AB分別切于C、D兩點(diǎn)，與邊AC交于點(diǎn)E，弦I與AB平行，與DO的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn).(1 )求證：點(diǎn)M是C

11、F的中點(diǎn)；(2) 若E是的中點(diǎn)，連結(jié)DF，DC，試判斷厶DCF的形狀;(3) 在(2)的條件下，若BC=a，求AE的長(zhǎng).27 如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30 以BC為直徑的。O與底邊AB交于點(diǎn)D，DE是。O 的切線，連結(jié)OD，OE(1 )求證：/ DEA=90 (2)若BC=4，寫出求厶OEC的面積的思路.28 .如圖，AB是O O的直徑，PA切O O于A, OP交O O于C ,連接BC .(I )如圖，若/ P=20 求/ BCO的度數(shù);DC，若 OE=CD，求/ P的度29 .已知AB為O O的直徑，C為O O上一點(diǎn)，AB=2AC .(1)如圖，點(diǎn)P是弧BC上一點(diǎn)，求/ APC的大

12、小;(2)如圖，過點(diǎn)C作O O的切線MC，過點(diǎn)B作BD丄MC于點(diǎn)D，BD與O O交于點(diǎn)E，若AB=4，求CE的長(zhǎng).30 .如圖，O O的直徑AB=12cm ，AM和BN是它的兩條切線，DE與O O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn).(I)若/ ADC=122 求/ BCD 的度數(shù)；(U )設(shè)AD=x , BC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.2017年07月25日神州N號(hào)的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一 解答題(共30小題)1 . (2017 ?)如圖，已知等腰直角三角形 ABC，點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B , C重合)，PE是厶ABP的外接圓。O的直徑.(1) 求證： APE是等

13、腰直角三角形；(2) 若。O的直徑為2，求PC2+PB2的值.【分析】(1)只要證明/ AEP= / ABP=45 / PAB=90。即可解決問題；(2 )作PM丄AC于M， PN丄AB于N，則四邊形PMAN是矩形，可得PM=AN，由 PCM， PNB 都是等腰直角三角形，推出 PC=PM，PB=DpN，可得 PC2+PB2=2 (PM2+PN2) =2 (AN2+PN2) =2PA2=PE2=22=4 ;【解答】(1)證明：AB=AC，/ BAC=90 / C= / ABC=45 / AEP= / ABP=45 v PE是直徑，/ PAB=90 / APE= / AEP=45 AP=AE ,

14、 PAE是等腰直角三角形.(2)作PM丄AC于M , PN丄AB于N，則四邊形PMAN是矩形, PM=AN , PCM , PNB都是等腰直角三角形， PC=PM , PB斗護(hù)N , PC【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知 識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考常考題型.2 . (2017 ?)如圖，已知AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O 上, CD是。O的切線，AD丄CD于點(diǎn)D , E 是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE交。O于點(diǎn)F，連接OC、AC . 求證：AC平分/ DAO . 若/ DAO=105 / E=30 求/

15、 OCE的度數(shù)；若。O的半徑為2口，求線段EF的長(zhǎng).+PB2=2 (PM2+PN2) =2 (AN2+PN2) =2PA2=PE2=22=4 .(也可以證明 ACPABE , PBE是直角三角形)【分析】（1）由切線性質(zhì)知 0C丄CD，結(jié)合AD丄CD得AD / 0C,即可知/ DAC= / OCA= / OAC ,從而得證；（2）由 AD / OC 知/EOC= / DAO=105 結(jié)合/ E=30?？傻么鸢?；作OG丄CE ,根據(jù)垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)知CG=FG=OG ,由OC=2得出CG=FG=OG=2，在 Rt OGE 中，由/ E=30?？傻么鸢?【解答】解：（1 ）v CD是。

16、O的切線，OC 丄 CD， AD 丄 CD， AD / OC，/ DAC= / OCA，v OC=OA，/ OCA= / OAC，/ OAC= / DAC， AC 平分/ DAO ;（2AD / OC，/ EOC= / DAO=105 vZ E=30 / OCE=45 作OG丄CE于點(diǎn)G ,OC=2 二，/ OCE=45 CG=OG=2 , FG=2 , 在 Rt OGE 中，/ E=30 GE=2 二, E2GE-網(wǎng)二可円.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3

17、. (2017 ?東營(yíng))如圖，在 ABC中，AB=AC，以AB為直徑的。O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作。O的 切線DE，交AC于點(diǎn)E，AC的反向延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)F .(1)求證：DE丄AC ;(2)若DE+EA=8，OO的半徑為10 ,求AF的長(zhǎng)度.【分析】(1)欲證明DE丄AC,只需推知0D / AC即可；AE=10通過解方(2)如圖，過點(diǎn)0作0H丄AF于點(diǎn)H，構(gòu)建矩形ODEH，設(shè)AH=x 則由矩形的性質(zhì)推知: -x，0H=DE=8 -( 10 - x) =x - 2 .在 Rt AOH 中，由勾股定理知：x2+ (x - 2) 2=102, 程得到AH的長(zhǎng)度，結(jié)合 OH丄AF，得到AF=2AH=

18、2 X 8=16 .【解答】(1)證明：OB=OD，/ ABC= / ODB， AB=AC，/ ABC= / ACB，/ ODB= / ACB， OD / AC .v DE是。O的切線，OD是半徑， DE 丄 OD， DE 丄 AC ;(2)如圖，過點(diǎn) O 作 OH 丄AF 于點(diǎn) H，則/ ODE= / DEH= / OHE=90四邊形ODEH是矩形，OD=EH，OH=DE .設(shè) AH=x .TDE+AE=8 , OD=10 , AE=10 - x , OH=DE=8 -( 10 - x) =x - 2 .在 Rt AOH 中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2,即卩 x2+ (x - 2)

19、 2=102,解得Xi=8 , X2=- 6 (不合題意，舍去) AH=8 .v OH 丄 AF ,AH=FH= =AF ,AF=2AH=2 X 8=16 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì).解題時(shí)，利用了方程思想，屬于中檔題.4. (2017 ?)如圖，在Rt ABC中，/ C=Rt /,以BC為直徑的O O交AB于點(diǎn)D，切線DE交AC 于點(diǎn)E .(1 )求證：/ A= / ADE ;(2)若 AD=16 , DE=10 , 求 BC 的長(zhǎng).【分析】（1）只要證明/ A+ / B=90 / ADE+ / B=90即可解決問題;(2 )首先證明 AC=2DE=20，在

20、Rt ADC 中，DC=Zf=12，設(shè) BD=x，在 Rt BDC 中,BC2=x2+122，在 Rt ABC 中，BC2=( x+16)2 - 20 2，可得 x2+12 2= (x+16 ) 2 - 202，解方程即可解決問題;【解答】（1）證明：連接OD，v DE是切線，/ ODE=90 / ADE+ / BDO=90vZ ACB=90 / A+ Z B=90 v OD=OB，Z B= Z BDO，Z ADE= Z A .(2)連接CD .vZ ADE= Z A， AE=DE， BC 是O O 的直徑，/ ACB=90 EC是。O的切線, ED=EC , AE=EC ,v DE=10 ,

21、 AC=2DE=20 , 在 Rt ADC 中，DC=觸2-1612 , 設(shè) BD=x , 在 Rt BDC 中，BC2=x2+122 , 在 Rt ABC 中，BC2= (x+16 ) 2 - 202, x2+12 2= (x+16 ) 2 - 202,解得x=9 ,-BC= 01丹*=15 【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所 學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.5 (2017 ?)如圖，AB是O O的弦，BC切O O于點(diǎn)B , AD丄BC，垂足為D , OA是O O的半徑，且OA=3 (1)求證：AB平分/ OAD ;(2)若點(diǎn)E是優(yōu)弧

22、麗上一點(diǎn)，且/ AEB=60 求扇形OAB的面積.(計(jì)算結(jié)果保留n)【分析】(1)連接OB，由切線的性質(zhì)得出 OB丄BC，證出AD / OB , 的性質(zhì)證出/ DAB= / OAB，即可得出結(jié)論；(2)由圓周角定理得出/ AOB=120 由扇形面積公式即可得出答案.【解答】(1)證明：連接OB，如圖所示： BC切。O于點(diǎn)B，OB 丄 BC， AD 丄 BC， AD / OB，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形/ DAB= / OBA，v OA=OB，/ OAB= / OBA，/ DAB= / OAB， AB 平分/ OAD ;(2)解：v點(diǎn)E是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且/ AEB=60/ AOB=2 / AEB=

23、120扇形OAB的面積=3 n【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、扇形面積公式等知 識(shí)；熟練掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵.6. (2017 ?)如圖，AB是。O的直徑，AC是上半圓的弦，過點(diǎn) C作。O的切線DE交AB的延長(zhǎng)線 于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作切線DE的垂線，垂足為D，且與。O交于點(diǎn)F,設(shè)/ DAC ,/ CEA的度數(shù)分別是(1 )用含a的代數(shù)式表示B,并直接寫出a的取值圍;(2)連接OF與AC交于點(diǎn)0 當(dāng)點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)時(shí)，求a，【分析】(1 )首先證明/ DAE=2 a,在Rt ADE中，根據(jù)兩銳角互余，可知2 a+ 3=90 (0 V a

24、V 45 ;(2)連接OF交AC于0,連接CF .只要證明四邊形AFCO是菱形，推出 AFO是等邊三角形即可 解決問題；【解答】解：(1)連接0C .v DE是。0的切線， 0C 丄 DE，v AD 丄 DE， AD / OC,/ DAC= / ACO ,v OA=OC ,/ OCA= / OAC ,/ DAE=2 a,vZ D=90 0 / DAE+ Z E=90 o o 2 a p=90 o (0 v av 45 ).(2)連接OF交AC于O 連接CF .v AO，CO ； AC 丄 OF , FA=FC ,Z FAC= Z FCA= Z CAO ,CF / OA, v AF / OC ,

25、四邊形 AFCO 是平行四邊形，v OA=OC ，四邊形 AFCO 是菱形， AF=AO=OF ， AOF 是等邊三角形，/ FA0=2 a=60 o=3O 2 a+ p=90 p=30 a= p=30【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、菱形的判定等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，等腰三角形 的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？?題型.7. (2017 ?威海)已知：AB為。O的直徑，AB=2，弦DE=1，直線AD與BE相交于點(diǎn)C,弦DE在。O上運(yùn)動(dòng)且保持長(zhǎng)度不變O的切線DF交BC于點(diǎn)F .(1)如圖 1，若 DE / AB，求證：CF=EF

26、 ;(2 )如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，試判斷CF與BF是否相等，并說明理由.【分析】(1)如圖1，連接OD、OE，證得 OAD、 ODE、 OEB、 CDE是等邊三角形，進(jìn)步證得DF丄CE即可證得結(jié)論;（2）根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論【解答】證明：如圖 1，連接 OD、OE， AB=2 , 0A=0D=0E=0B=1,v DE=1 ,OD=OE=DE , ODE是等邊三角形，/ ODE= / OED=60 v DE / AB ,/ AOD= / ODE=60 / EOB= / OED=60 AOD和厶BOE是等邊三角形，/ OAD= / OBE=60 / CDE=

27、/ OAD=60 / CED= / OBE=60 CDE是等邊三角形，v DF是。O的切線,OD 丄 DF ,/ EDF=90 0 - 60 30 / DFE=90 o, DF 丄 CE ,CF=EF ;(2)相等；如圖2，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，BC是。O的切線, vO O的切線DF交BC于點(diǎn)F, BF=DF ,/ BDF= / DBF ,v AB是直徑，/ ADB= / BDC=90 / FDC= / C, DF=CF , BF=CF .【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)，作出 輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵.8. (2017 ?)已知，

28、四邊形 ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DE=EC，以AE為直徑的。O與邊CD相切于點(diǎn)D . B點(diǎn)在。O上，連接OB .(1)求證：DE=OE ;(2)若CD / AB，求證：四邊形 ABCD是菱形.，再判斷出/ 1= / 2即可得出結(jié)論;(2)先判斷出厶ABO CDE得出AB=CD，即可判斷出四邊形 ABCD是平行四邊形，最后判斷出CD=AD即可.【解答】解：(1)如圖，連接OD，v CD是。O的切線, OD 丄 CD，/ 2+ / 3= / 1+ / COD=90vDE=EC ，/ 1= / 2，/ 3= / COD， DE=OE ;(2)YOD=OE ,OD=DE=OE ,/ 3= /

29、 COD= / DEO=60 / 2= / 1=30 v OA=OB=OE , OE=DE=EC , OA=OB=DE=EC ,v AB / CD ,/ 4= / 1 ,./ 1= / 2= / 4= / OBA=30 ABO CDE ,.AB=CD ,.四邊形A . D是平行四邊形，/ DAE=H/ DOE=30 / 1= / DAE ,CD=AD ,.?ABCD是菱形.【點(diǎn)評(píng)】此題是切線的性質(zhì)，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性 質(zhì)，菱形的判定，判斷出厶ABO CDE是解本題的關(guān)鍵.9. (2017 ?)如圖，AB為。O的直徑，D為口的中點(diǎn)，連接OD交弦AC于

30、點(diǎn)F ,過點(diǎn)D作DE / AC， 交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E .(1) 求證：DE是。O的切線；(2) 連接CD，若 OA=AE=4，求四邊形ACDE的面積.【分析】(1)欲證明DE是。O的切線，只要證明 AC丄OD，ED丄OD即可.(2 )由厶 AFOCFD (SAS )，推出 S AFO =S CFD， 推出S四邊形 ACDE =S ODE， 求出 ODE的面積即可.【解答】(1)證明：D為匸的中點(diǎn)，OD 丄 AC， AC / DE，OD 丄DE， DE是。O的切線；(2 )解：連接DC，0D 丄AC, AF=CF , AC / DE , 且 OA=AE , F為OD的中點(diǎn)，即OF=FD ,在厶

31、AFO和厶CFD中，fAF=CF“ ZAF0=ZCFDoEFD AFO CFD (SAS),-S AFO =S CFD ,S四邊形ACDE =S ODE在 Rt ODE 中,OD=OA=AE=4 ,OE=8 ,-DE=Moe?TL 牛4匹,二S四邊形ACDE =S ode =骨 X OD X DE= % X 4 X 4“ 3=8“ 3|.【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常 用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.10 . (2017 ?涼山州)如圖,已知 AB為。O的直徑,AD、BD是。O的弦,BC是。O的切線,切點(diǎn) 為B ,

32、 OC / AD , BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E .(1)求證：DC是。O的切線;(2)若 AE=1 , ED=3，求O O 的半徑.【分析】(1 )首選連接0D，易證得厶COD COB (SAS),然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，求得 / CDO=90 即可證得直線CD是。O的切線；(2)設(shè)。O的半徑為R，則OE=R+1 ,在Rt ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可.【解答】解：(1)證明：連結(jié)DO . AD / OC，/ DAO= / COB，/ ADO= / COD .又 v OA=OD，/ DAO= / ADO，/ COD= / COB .在厶COD和厶COB中vOD=OB ，

33、OC=OC ， COD COB (SAS ),/ CDO= / CBO . BC是。O的切線，:丄 CBO=90 :丄 CDO=90 又點(diǎn)D在。O 上,CD是。O的切線；(2 )設(shè)。O 的半徑為 R，則 OD=R , OE=R+1 ,v CD是。O的切線， / EDO=90 ED 2+OD 2 =OE 2 ， 32+R2= (R+1 ) 2，解得 R=2 ， O O的半徑為2 .【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查的是切線的判斷、圓周角定理的應(yīng)用，掌握切線的判定定理，利用勾股定理列出 關(guān)于 r 的方程是解題的關(guān)鍵.11 . (2017 ?永州)如圖，已知 AB是O O的直徑，過O點(diǎn)作OP丄AB，交弦AC于點(diǎn)

34、D，交O O于點(diǎn)E，且使/ PCA= / ABC .(1)求證：PC是O O的切線；(2)若/ P=60 PC=2，求 PE 的長(zhǎng).【分析】(1)連接0C,由AB是O O的直徑，得到/ ACB=90 求得/ BCO+ / ACO=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ B= / BCO，等量代換得到/ BCO= / ACP，求得/ OCP=90 于是得到結(jié)論；(2 )解直角三角形即可得到結(jié)論.【解答】解：(1)連接OC, AB是。O的直徑，/ ACB=90 / BCO+ / ACO=90 v OC=OB，/ B= / BCO，vZ PCA= / ABC，/ BCO= Z ACP，Z ACP+ Z

35、OCA=90 Z OCP=90 PC是。O的切線；(2)vZ P=60 PC=2，Z PCO=90 OC=2 口，OP=2PC=4， PE=OP - OE=OP - OC=4 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.12 . (2017 ?)如圖O是厶ABC的外接圓，BC為。O的直徑，點(diǎn)E ABC的心，連接 AE并 延長(zhǎng)交。O于D點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至F，使得BD=DF，連接CF、BE .(1)求證：DB=DE ;【分析】(1)欲證明DB=DE，只要證明/ DBE= / DEB ;(2)欲證明直線CF為。O的切線，只要證明BC丄CF即可；【解答

36、】(1)證明：E是厶ABC的心，/ BAE= / CAE，/ EBA= / EBC，vZ BED= / BAE+ / EBA，/ DBE= / EBC+ / DBC，/ DBC= / EAC， / DBE= Z DEB， DB=DE(2)連接CD .v DA 平分/ BAC ,/ DAB= / DAC , BD=CD ,vBD=DF ,CD=DB=DF ,:丄 BCF=90 BC 丄 CF ,CF是。O的切線.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的切圓與心、切線的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知識(shí)，解 題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.13 . (2017

37、 ?模擬)如圖，O O中，直徑CD丄弦AB于E , AM丄BC于M，交CD于N，連AD .(1)求證：AD=AN ;(2)若AB=4匚，ON=1，求O O的半徑.42kJP3【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得出/ BAD= / BCD ,再由直角三角形的性質(zhì)得出/ ANE= / CNM ,故 可得出/ BCD= / BAM，由全等三角形的判定定理得出 ANE ADE，故可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)垂徑定理求出 AE 的長(zhǎng)，設(shè) NE=x，貝U OE=x - 1 , NE=ED=x , r=0D=0E+ED=2x- 1連結(jié)AO,則AO=OD=2x - 1，在Rt AOE中根據(jù)勾股定理可得出x的值，進(jìn)而得

38、出結(jié)論.【解答】（1）證明：I / BAD與/ BCD是同弧所對(duì)的圓周角，/ BAD= / BCD， AE 丄 CD，AM 丄 BC，/ AMC= / AEN=90 v/ ANE= / CNM，/ BCD= / BAM，/ BAM=BAD ， 在厶ANE與厶ADE中, AD=AN ;(2)解：v AB=4 躲2, AE 丄CD， AE=2 三,又 V ON=1 ,設(shè) NE=x，貝U OE=x - 1 , NE=ED=x , r=0D=0E+ED=2x- 1連結(jié) AO，貝U AO=OD=2x - 1 , AOE 是直角三角形，AE=2，OE=x - 1 , AO=2x - 1 , ( 2 標(biāo)殳)

39、2+ (x - 1) 2= (2x - 1) 2，解得 x=2， r=2x - 1=3 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.14 . (2017 ?一模)在Rt ABC中，/ ACB=90 以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑，作O A交AB于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的平行線EF交。A于點(diǎn)F ,連接AF、BF，DF .(1)求證：BF丄AF ;(2)當(dāng)/ CAB等于多少度時(shí)，四邊形 ADEF為菱形？請(qǐng)給予證明.【分析】(1 )首先利用平行線的性質(zhì)得到/ FAB= / CAB，然后利用SAS證得兩三角形全等，得出對(duì)應(yīng)角相等即可；(2)當(dāng)/CA

40、B=60 時(shí)，四邊形 ADFE 為菱形，根據(jù)/ CAB=60 得到/ FAB= / CAB= / CAB=60從而得到EF=AD=AE，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷四邊形ADFE是菱形.【解答】（1）證明EF / AB ,/ E= / CAB，/ EFA= / FAB ,vZ E= / EFA , / FAB= Z CAB ,fAF=AC在厶 ABC 和厶 ABF 中，* ZFAB=ZCAB、AB 二 AB ABC ABF (SAS),Z AFB= Z ACB=90 BF 丄AF ;（2）解：當(dāng)Z CAB=60。時(shí)，四邊形ADFE為菱形理由如下：vZ CAB=60 Z FAB= Z

41、CAB= Z CAB=60 EF=AD=AE ,四邊形ADFE是菱形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解菱 形的判定方法及全等三角形的判定方法，難度不大.15 . （2017 ?二模）如圖，已知ED為。O的直徑且ED=4，點(diǎn)A （不與E、D重合）為。O上一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，線段AB經(jīng)過點(diǎn)E，且EA=EB，F(xiàn)為。O上一點(diǎn)，Z FEB=90 BF的延長(zhǎng)線交AD的延長(zhǎng)線交 于點(diǎn)C .(1)求證： EFB ADE ;(2)當(dāng)點(diǎn)A在。O上移動(dòng)時(shí)，直接回答四邊形 FCDE的最大面積為多少.【分析】(1)連接FA，根據(jù)垂直的定義得到EF丄AB，得到BF=AF，推

42、出BF=ED，根據(jù)全等三角形 的判定定理即可得到結(jié)論；(2 )根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/ B= / AED，得到DE / BC，推出四邊形形FCDE，得到E到BC 的距離最大時(shí)，四邊形FCDE的面積最大，即點(diǎn)A到DE的距離最大，推出當(dāng)A為門.|的中點(diǎn)時(shí)，于是 得到結(jié)論.【解答】解：(1)連接FA，vZ FEB=90 EF 丄 AB，vBE=AE ， BF=AF，vZ FEA= Z FEB=90 AF是。O的直徑， AF=DE， BF=ED，ir BEAE I在Rt EFB與Rt ADE中，宀-訃， Rt EFB 也 Rt ADE ;(2) V Rt EFB 也Rt ADE， DE / BC ,

43、 ED為。O的直徑， AC 丄 AB , EF 丄 AB , EF / CD ,四邊形形FCDE , E到BC的距離最大時(shí)，四邊形FCDE的面積最大,即點(diǎn)A到DE的距離最大，當(dāng)A為匚的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到DE的距離最大是2,四邊形FCDE的最大面積=4 X 2=8 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的 性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.16 . (2017?梁子湖區(qū)模擬)如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)，作CD丄AB交。O于D ,連接AD，將 ACD沿AD翻折至 AC D .(1 )請(qǐng)你判斷CD與。O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)過點(diǎn)

44、B作BB 丄C D于B ，交。O于E，若CD二阪,AC=3，求BE的長(zhǎng).【分析】（1）連接0D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ OAD= / ADO，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到/ CDA= /CDA，于是得到結(jié)論；（2）連接AE , BD，由AB是O O的直徑，得到AE丄BE , AD丄BD，推出四邊形AEB C是矩形, 得到AC =B E，AE=C B ，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到 AC =AC=3，C D=CD= 回，根據(jù)平行線等分線段定 理得到AO=BO，得到AE=2三，根據(jù)射影定理得到CB=7，由勾股定理即可得到結(jié)論.【解答】解：（1） C D是。O的切線,理由：連接OD，v OD=OA，/ OAD= /

45、 ADO，將厶ACD沿AD翻折至 AC D，/ C DA= / CDA，v CD 丄 AB，/ DAC+ / ADC=90 / ADO+ / C DA=90 OD 丄C D，C D是。O的切線；(2)連接 AE，BD，v AB是。O的直徑, AE 丄 BE , AD 丄 BD , BB 丄 C D,./ C = / B = / AEB =90 四邊形AEB C是矩形，.AC =B E , AE=C B ,將 ACD沿AD翻折至 AC D ,AC =AC=3 , C D=CD=回 AC 丄 C B : OD 丄 C B , .AC 7/ OD / BB : AO=BO : .C B =2C D=

46、2 ITHvDC 丄AB:.CD2=AC ?CB :CB=7 :.AB=10 :【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，平行線等分線段定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，射影定理，折 疊的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.17 . （2017 ?河區(qū)二模）如圖， ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB , AC分別交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE丄AC ,垂足為點(diǎn)E .（1）判斷DE與。O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;（2）過點(diǎn)F作FH丄BC，垂足為點(diǎn)H，若AB=4，則弦FC和弧FC組成的弓形面積【分析】（1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出 AB=BC，/ B= / C=60 證出 OBD是等邊三

47、角形，得出/ BOD= / C,證出OD / AC,得出DE丄OD，即可得出結(jié)論；(2)先證明 OCF是等邊三角形，得出CF=OC=iBC=AB=2，再由三角函數(shù)即可求出FH，然后根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.【解答】解：（1） DE是。O的切線；理由如下:連接OD，如圖1所示： ABC是等邊三角形， AB=BC=AC，/ B= / C=60 v OB=OD， OBD是等邊三角形, / BOD=60 OD / AC ,v DE 丄 AC , DE 丄 OD , DE是。O的切線；(2)連接OF，如圖2所示:v OC=OF，/ C=60 OCF是等邊三角形,/ COF=60 CF=OC

48、= LbC=AB=2， nr回vFH 丄BC ,/ FHC=90 FH=CF ?sin / C=2 x 亞弦FC和弧FC組成的弓形面積=S 扇形 COF Sa COF =|360牙X 2 x回嘈冗囤故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊 三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.18 . （2017?模擬）如圖，OA和OB是O O的半徑，并且OA丄OB , P是OA上任一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交O O于Q，過Q的O O的切線交OA的延長(zhǎng)線于R .求證：RP=RQ .【分析】首先連接OQ，由切線的性質(zhì)，可得/ OQB+ / BQ

49、R=90 又由OA丄OB，可得/ OPB+/ B=90 繼而可證得/ PQR= / BPO= / RPQ，則可證得 RP=RQ .【解答】證明：連接OQ, RQ是O O的切線，OQ 丄 QR，/ OQB+ / BQR=90v OA 丄 OB， / OPB+ / B=90又 v OB=OQ，/ PQR= / BPO= / RPQ . RP=RQ .【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直的定義.此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.19 . (2017 ?紅橋區(qū)三模)已知。O中，AC為直徑，MA、MB分別切。O于點(diǎn)A、B .匱(1) 如圖，若/ BAC=23 求/ AMB的大??；(II )如圖，過點(diǎn) B作BD / MA，交AC于點(diǎn)E，交。O于點(diǎn)D，若BD=MA，求/ AMB的大小.【分析】(1)根據(jù)切線性質(zhì)求出/ OBM= / OAM=90。，根據(jù)圓周角定理求出/ COB，求出/ BOA，即 可求出答案；(2) 連接AB、AD，得出平行四邊形，推出 MB=AD，推出AB=AD，求出等邊三角形AMB，即可得 出答案.【解答】解：(1)連接OB， MA、MB 分別切O O 于 A、B，/ OBM= / OAM=90 弧BC對(duì)的圓周角是/ BAC，圓心角是/ BOC，/ BAC=23:丄 B0C=2