正四面體與正方體

1、關(guān)于正四面體與正方體1第一頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片2多面體題根多面體題根 解正方體解正方體一、正方體高考十年二、正四面體與正方體三、正方體成為十年大難題四、解正方體五、解正四面體第二頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片3一、正方體高考十年一、正方體高考十年 十年來(lái)，立體幾何的考題一般呈“一小一大”的形式.分?jǐn)?shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一. 立幾題的難度一般在0.55左右，屬中檔考題，是廣大考生“上線競(jìng)爭(zhēng)”時(shí)勢(shì)在必奪的“成敗線”或“生死線”.十年的立幾高考，考的都是多面體. 其中：（1）直接考正方體的題目占了三分之一；（2）間接考正方體的題目也占了三分之一.因此有人說(shuō)，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞著正方體出題

2、.第三頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片4解 析外接球的表面積，比起內(nèi)接正方體的全面積來(lái)，自然要大一些，但絕不能是它外接球的表面積，比起內(nèi)接正方體的全面積來(lái)，自然要大一些，但絕不能是它的的(C)(C)約約6 6倍或倍或(D)(D)約約9 9倍，否定倍，否定(C)(C)，(D)(D)；也不可能與其近似相等，否定；也不可能與其近似相等，否定(A)(A)，正確答案只能是正確答案只能是(B) .(B) .（1995年）年） 正方體的全面積為正方體的全面積為a2，則其外接球的表面積為，則其外接球的表面積為考題 1 （正方體與其外接球）第四頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片5考題 2 （正方體中的線面關(guān)系）小問(wèn)題很多，但都不難小問(wèn)題很多

3、，但都不難. 熟悉正方體各棱、各側(cè)面間位置關(guān)系的熟悉正方體各棱、各側(cè)面間位置關(guān)系的考生，都能迅速作答考生，都能迅速作答. 如解答（如解答（1），只要知道棱），只要知道棱AD與后側(cè)面與后側(cè)面垂直就夠了垂直就夠了.說(shuō) 明11EDAFV（1997年）如圖，在正方體年）如圖，在正方體ABCD- - A1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是BB1、CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)（1）證明）證明ADD1F；（2）求）求AE與與D1F所成的角；所成的角；（3）證明面）證明面AED 面面A1FD1；（4）設(shè)）設(shè)AA1=2,求三棱錐求三棱錐F- -A1ED1的體積的體積 . 第五頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片6考題 3 （正方體的側(cè)面

4、展開圖）考查空間想象能力考查空間想象能力. 如果能從展開圖（右上）想到立體如果能從展開圖（右上）想到立體圖（右），則能立即判定命題、為假，而命題、圖（右），則能立即判定命題、為假，而命題、為真，答案是為真，答案是C.解 析（2001年）右圖是正方體的平面展開圖在這個(gè)正方體中年）右圖是正方體的平面展開圖在這個(gè)正方體中，BM與與ED平行；平行；CN與與BE是異面直線；是異面直線；CN與與BM成成60角；角；DM與與BN垂直垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（A）（B）（C）（D）第六頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片7（2002年）年） 在下列四個(gè)正方體中，能得出在下列四個(gè)正方

5、體中，能得出ABCD的是的是考題4 （正方體中主要線段的關(guān)系）射影法：作射影法：作AB在在CD所在平面上的射影，由三垂線定理知其正所在平面上的射影，由三垂線定理知其正確答案為確答案為A.平移法：可迅速排除平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故選（，故選（A）.解 析第七頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片8（2003年）年） 棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為這些線段為棱的八面體的體積為 考題 5 （正方體與正八面體）解 析將正八面體一分為二，得將正八面體一分為二，得2個(gè)正四棱錐，正四棱個(gè)正四棱錐，正四棱錐的底面積為正方形面積的錐的

6、底面積為正方形面積的 ，再乘，再乘 得得 .答案選答案選C.213161第八頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片9 考題 6 （正方體中的三角形）解 析在正方體上任選在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得 個(gè)三角形，要得直個(gè)三角形，要得直角非等腰三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)角非等腰三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)(即正方體的一邊與過(guò)即正方體的一邊與過(guò)此點(diǎn)的一條面對(duì)角線此點(diǎn)的一條面對(duì)角線)，共有，共有24個(gè)，得個(gè)，得 ，所以選，所以選C. 38C2438C第九頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片10在三棱錐OABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的

7、大小是 （用反三角函數(shù)表示） 考題 7 2006年四川卷第13題正方體的一“角”如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求證：MN面ADD1A1；（2）求二面角PAED的大??；（3）求三棱錐PDEN的體積. 考題8 2006年四川卷第19題兩正方體的“并”P第十頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片11如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP=m. ()試確定m,使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3 ；()在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D

8、1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并證明你的結(jié)論.2分析：熟悉正方體對(duì)角面和對(duì)角線的考生，對(duì)第()問(wèn)，可心算出結(jié)果為m=1/3；對(duì)第()問(wèn)，可猜出這個(gè)Q點(diǎn)在O1點(diǎn).可是由于對(duì)正方體熟悉不多，因此第()小題成了大題，第()小題成了大難題. 考題9 （2006年湖北卷第18題）第十一頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片12 考題考題 10 （2006年安徽卷第年安徽卷第16題）題）NoImage多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：3； 4；

9、5； 6； 7以上結(jié)論正確的為_.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）第十二頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片13二、正四面體與正方體二、正四面體與正方體從“正方體高考十年”和“全國(guó)熱炒正方體”中，我們看到正方體在立體幾何中的特殊地位. 在實(shí)踐中，正方體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看作是由正方體演變而來(lái). 我們認(rèn)定了正方體是多面體的“根基”. 我們?cè)谒伎迹海?）正方體如何演變出正四面體？（2）正方體如何演變出正八面體？（3）正方體如何演變出正三棱錐？（4）正方體如何演變出斜三棱錐？第十三頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片14考 題 1 （正四面體化作正方體解）說(shuō) 明本題如果就正四面體解正四面體，則問(wèn)題就不是一個(gè)小題目了

10、，而是有相當(dāng)計(jì)算量的大題. 此時(shí)的解法也就淪為拙解.第十四頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片15拙解 硬碰正四面體第十五頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片16聯(lián)想 、 、 的關(guān)系正四面體的棱長(zhǎng)為 ，這個(gè)正四面體豈不是由棱長(zhǎng)為1的正方體的6條“面對(duì)角線”圍成？2則三棱錐BA1C1D是棱長(zhǎng)為 的正四面體.于是正四面體問(wèn)題可化歸為對(duì)應(yīng)的正方體解決.2為此，在棱長(zhǎng)為1的正方體BD1中，（1）過(guò)同一頂點(diǎn)B作3條面對(duì)角線BA1、BC1、BD；（2）將頂點(diǎn)A1，C1，D依次首尾連結(jié).A1C1DBACA1B1D1C1DB第十六頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片17妙解 從正方體中變出正四面體以 長(zhǎng)為面對(duì)角線，可得邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，

11、這個(gè)正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為 ，則其外接球的半徑為 ，則其外接球的表面積為S=4R2=4( )23以 為棱長(zhǎng)的正四方體B-A1C1D與以1為棱長(zhǎng)的正方體有共同的外接球，故其外接球的表面積也為S=3.答案為A.2323232第十七頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片18尋根 正方體割出三棱錐在正方體中割出一個(gè)內(nèi)接正四面體后，還“余下”4個(gè)正三棱錐.每個(gè)正三棱錐的體積均為1/6，故內(nèi)接正四面體的體積為1/3 .這5個(gè)四面體都與正方體“內(nèi)接”而“共球”.事實(shí)上，正方體的內(nèi)接四面體（即三棱錐）共有 -12=58個(gè).至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根.48C第十八頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片19按理說(shuō)，立體幾何考題屬中檔考題，難

12、度值追求在0.4到0.7之間. 所以，十年來(lái)立幾考題哪怕是解答題也沒(méi)有出現(xiàn)在壓軸題中. 從題序上看，立幾大題在6個(gè)大題的中間部分，立幾小題也安排在小題的中間部分.然而，不知是因?yàn)槭强忌韬觯€是命題人粗心，竟然在立幾考題中弄出了大難題，其難度超過(guò)了壓軸題的難度，從而成為近十年高考難題的高難之最！三、正方體成為十年大難題三、正方體成為十年大難題第十九頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片20命題 將正方體一分為二2003年全國(guó)卷第18題，天津卷第18題，河南卷第19題等，是當(dāng)年數(shù)學(xué)卷的大難題. 其難度，超過(guò)了當(dāng)年的壓軸題.在命題人看來(lái)，其載體是將正方體沿著對(duì)角面一分為二，得到了一個(gè)再簡(jiǎn)單不過(guò)的直三棱柱.圖中的點(diǎn)E正

13、是正方體的中心.第二十頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片21考題如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90.側(cè)棱AA1，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；()求點(diǎn)A1到平面AED的距離.第二十一頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片22解 析（轉(zhuǎn)下頁(yè)）考場(chǎng)反饋：按出題人給出的圖形（右上），答題時(shí)無(wú)法作輔助線.第二十二頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片23（轉(zhuǎn)下頁(yè)）解 析（續(xù)上）考場(chǎng)反饋：按出題人給出的這種解析，無(wú)法在原圖上顯示.第二十三頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片24解 析（續(xù)上）（解畢）閱卷人說(shuō)：在見到的答卷中，幾乎沒(méi)

14、有看到這種“標(biāo)準(zhǔn)答案”.第二十四頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片25難點(diǎn)突破：斜二測(cè)改圖法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)到正方體中.本題難在哪里？從正方體內(nèi)切出的直三棱柱的畫法不標(biāo)準(zhǔn)！第二十五頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片26難題（0318）的題圖探究正方體立體圖常見的畫法有兩種：（1）斜二測(cè)法（圖右）此法的缺點(diǎn)：A1、B、C 三點(diǎn)“共線”導(dǎo)致“三線”重合（2）正等測(cè)法（圖右）此法的缺點(diǎn)：A、C、C1、A1“共線”導(dǎo)致“五線”重合難題的圖近乎第二種畫法（圖右）：將正方體的對(duì)角面置于正前面.第二十六頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片27四、解正方體四、解正方體正方體既然這么重要，我們就不能把這個(gè)“簡(jiǎn)單的正方體”看得太簡(jiǎn)單. 像數(shù)學(xué)中其他板塊的基礎(chǔ)內(nèi)容一樣，

15、越簡(jiǎn)單的東西，其基礎(chǔ)性就越深刻，其內(nèi)涵和外延的東西就越多.我們既然認(rèn)定了正方體是多面體的根基，那我們就得趁著正方體很“簡(jiǎn)單”的時(shí)候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的關(guān)系，都弄個(gè)清楚明白！第二十七頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片28正方體，（ ）個(gè)面， 線面距轉(zhuǎn)（ ）面距，（ ）個(gè)頂點(diǎn)（ ）棱。 尋找（ ）要根據(jù)。頂點(diǎn)連線（ ）條， 異面直線求距離，一頂（ ）線來(lái)相交。 確定（ ）是難題。三頂確定三角形， 正方體，是個(gè)寶，要求三頂不共（ ）。 各種關(guān)系藏得巧。四頂確定四面體， 正四面體（ ）條棱，要求四頂不共（ ）。 選自6面（ ）線；三種線段結(jié)數(shù)緣， 正八面體（ ）個(gè)頂，根1、根2和（ ）。 6面（ ）

16、對(duì)得準(zhǔn)。68 12 28 7 線 面點(diǎn)射影垂足6對(duì)角6中心根3關(guān)于正方體 你已經(jīng)知道了多少？關(guān)于正方體 還有許多許多！例如，8個(gè)頂點(diǎn)中，4頂共面的有（ ）個(gè)，4頂異面的（ ）個(gè)。正是4頂異面的個(gè)數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個(gè)數(shù)。第二十八頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片29五、解正四面體五、解正四面體統(tǒng)計(jì)十年的高考立幾題，除直接考“解正方體”的題目比重最大以外，接下來(lái)的就是“解正四面體”的題目了. 其實(shí)，正四面體并不能與正方體平起平坐，正四面體本質(zhì)上是正方體的“演生體”，通俗地說(shuō)：正四面體是正方體的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了.在十年的高考“正四面體”中，凡是就“兒子解兒子”的解法，都是拙法

17、；凡是由“老子解兒子”的辦法都是妙法！第二十九頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片30正四面體棱長(zhǎng)設(shè)作1，則對(duì)應(yīng)的正方體棱長(zhǎng)為底面正三角形高為（ ）； 底面正三角形的外半徑為（ ）；正三角形的內(nèi)半徑為（ ）； 正四面體的斜高為（ ）；斜高在底面上的射影為（ ）； 斜面與底面成角余弦值（ ）；正四面體高為（ ）； 外接球半徑為（ ）；內(nèi)切球半徑為（ ）.22一句話小結(jié) 正四面體與正方體的對(duì)應(yīng)量只相差一個(gè)系數(shù)： （或 ）2224612623336323633136第三十頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片31 （2006年湘卷理9）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 A. B. C. D.222323.PDA1P.C1B22A1PC1妙解 （找老子解兒子）2答案為C第三十一頁(yè)，共33頁(yè)幻燈片32拙解 （就兒子解兒子）如圖所示：即求三角形PCD的面積.因?yàn)镃D=2，四面體A-BCD是正三棱錐，則PD=PC，三角形PCD是等腰三角形. 過(guò)P作CD的中線交CD于Q，則球心在PQ上