第十七章多元函數(shù)微分學(xué)

1、數(shù)學(xué)分析教案第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)§ 1 可微性 一       可微性與全微分： 1      可微性： 由一元函數(shù)引入. 亦可寫(xiě)為 , 時(shí) . 2      全微分: 例1 考查函數(shù) 在點(diǎn) 處的可微性 . P107例1二.                偏導(dǎo)數(shù): 1.

2、60;         偏導(dǎo)數(shù)的定義、記法: 2.          偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: P109 圖案171. 3.          求偏導(dǎo)數(shù): 例2 , 3 , 4 . P109110例2 , 3 , 4 .例5          . 求偏導(dǎo)數(shù)

3、.例6          . 求偏導(dǎo)數(shù).例7          . 求偏導(dǎo)數(shù), 并求 .例8          . 求 和 .解 = , = .例9          證明函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù) , 并求 和 .證 . 在點(diǎn) 連續(xù) . , 不存在

4、 . 三.                可微條件: 1.          必要條件: Th 1 設(shè)為函數(shù)定義域的內(nèi)點(diǎn).在點(diǎn)可微 , 和 存在 , 且 . ( 證 )由于 , 微分記為 .  定理1給出了計(jì)算可微函數(shù)全微分的方法.兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的必要條件 , 但不充分.  例10    &#

5、160;   考查函數(shù) 在原點(diǎn)的可微性 . 1P110 例5 .  2.          充分條件: Th 2 若函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在 , 且 和 在點(diǎn) 處連續(xù) . 則函數(shù) 在點(diǎn) 可微 . ( 證 ) P111 Th 3 若 在點(diǎn) 處連續(xù), 點(diǎn) 存在 , 則函數(shù)在點(diǎn) 可微 . 例11        證 因此 , 即 ,在點(diǎn) 可微 , . 但 時(shí), 有 ,沿方向 不存在, 沿方向 極限不存在 ;

6、又 時(shí), ,因此, 不存在 , 在點(diǎn) 處不連續(xù). 由 關(guān)于 和 對(duì)稱(chēng),也在點(diǎn) 處不連續(xù) .四.                中值定理: Th 4 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù) . 若 屬于該鄰域 , 則存在 和 , , 使得 . ( 證 )例12        設(shè)在區(qū)域D內(nèi) . 證明在D內(nèi) .五.      &

7、#160;         連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微之間的關(guān)系： 六.                可微性的幾何意義與應(yīng)用： 1          可微性的幾何意義： 切平面的定義. P113. Th 5 曲面 在點(diǎn) 存在不平行于 軸的切平面的充要條件是函數(shù) 在點(diǎn) 可微 . (

8、證略 ) 2. 切平面的求法: 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 可微 ，則曲面 在點(diǎn) 處的切平面方程為 （ 其中 ） ，法線(xiàn)方向數(shù)為 ，法線(xiàn)方程為 .例13        試求拋物面 在點(diǎn) 處的切平面方程和法線(xiàn)方程 . P115例6  3. 作近似計(jì)算和誤差估計(jì): 與一元函數(shù)對(duì)照 , 原理 .  例14 求 的近似值. P115例7 例15 應(yīng)用公式 計(jì)算某三角形面積 . 現(xiàn)測(cè)得 ,. 若測(cè)量 的誤差為 的誤差為 . 求用此公式計(jì)算該三角形面積時(shí)的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限. P116.§ 2 復(fù)合函數(shù)微分法 ; ,

9、 ; .一.       鏈導(dǎo)法則: 以“外二內(nèi)二”型復(fù)合函數(shù)為例.  Th 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) D可微 , 函數(shù) 在點(diǎn) 可微 , 則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 可微, 且 , . ( 證 ) P118  稱(chēng)這一公式為鏈導(dǎo)公式 . 該公式的形式可在復(fù)合線(xiàn)路圖中用所謂“分線(xiàn)加 ，沿線(xiàn)乘”或“并聯(lián)加 ，串聯(lián)乘” ）來(lái)概括 . 對(duì)所謂“外三內(nèi)二”、 “外二內(nèi)三”、 “外一內(nèi)二”等復(fù)合情況，用“并聯(lián)加 ，串 聯(lián)乘”的原則可寫(xiě)出相應(yīng)的鏈導(dǎo)公式. 鏈導(dǎo)公式中內(nèi)函數(shù)的可微性可減弱為存在偏導(dǎo)數(shù) . 但對(duì)外函數(shù)的可微性假設(shè)不能減弱. 對(duì)外 元 , 內(nèi)

10、 元 , 有 ， .外 元內(nèi)一元的復(fù)合函數(shù)為一元函數(shù) . 特稱(chēng)該復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為全導(dǎo)數(shù).例1        . 求 和 . P12例2        , . 求 和 .例3        , 求 和 .例4       設(shè)函數(shù)可微 .求、 和 .  例5     

11、60;  用鏈導(dǎo)公式計(jì)算下列一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : > ; > . P121例4例6        設(shè)函數(shù) 可微. 在極坐標(biāo)變換 下 , 證明 . P120例2例7        設(shè)函數(shù) 可微 , . 求證 .  二.       復(fù)合函數(shù)的全微分: 全微分和全微分形式不變性 . 例8       

12、. 利用全微分形式不變性求 , 并由此導(dǎo)出 和.P122 例5 § 3 方向?qū)?shù)和梯度 一         方向?qū)?shù)： 1      方向?qū)?shù)的定義： 定義 設(shè)三元函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)有定義 . 為從點(diǎn) 出發(fā)的射線(xiàn) . 為 上且含于 內(nèi)的任一點(diǎn) , 以表示 與 兩點(diǎn)間的距離 . 若極限 存在 , 則稱(chēng)此極限為函數(shù) 在點(diǎn) 沿方向 的方向?qū)?shù) , 記為 或 、 .對(duì)二元函數(shù) 在點(diǎn) , 可仿此定義方向?qū)?shù) . 易見(jiàn) , 、 和 是三元函數(shù) 在點(diǎn) 分別沿 軸正

13、向、 軸正向和 軸正向的方向?qū)?shù) .例1            = . 求 在點(diǎn) 處沿 方向的方向?qū)?shù),其中 > 為方向 ; > 為從點(diǎn) 到點(diǎn) 的方向.解 > 為方向的射線(xiàn)為 . 即 . , .因此 , > 從點(diǎn) 到點(diǎn) 的方向 的方向數(shù)為 方向的射線(xiàn)為 . , ;.因此 ,   2. 方向?qū)?shù)的計(jì)算: Th 若函數(shù) 在點(diǎn) 可微 , 則 在點(diǎn) 處沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在 , 且 + + ,其中 、 和 為 的方向余弦. ( 證 ) P125對(duì)二元函數(shù)

14、 , + , 其中 和 是 的方向角.註 由 + + = = , , , , ,可見(jiàn) , 為向量 , , 在方向 上的投影. 例2 ( 上述例1 )解 > 的方向余弦為 = , = ,   = . =1 , = , = .因此 , = + +                  = . > 的方向余弦為 = , = , = .因此 , = .可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件 , 但不必要 . 例3 P126 .二. 梯度

15、 ( 陡度 ): 1. 梯度的定義: , , . | = . 易見(jiàn) , 對(duì)可微函數(shù) , 方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影.  2. 梯度的幾何意義: 對(duì)可微函數(shù) , 梯度方向是函數(shù)變化最快的方向 . 這是因?yàn)?| . 其中 是 與 夾角. 可見(jiàn) 時(shí) 取最大值 , 在 的反方向取最小值 .  3. 梯度的運(yùn)算: > . > ( + ) = + . > ( ) = + . > . > ( ) = .證> , . . § 4 Taylor公式和極值問(wèn)題 一、高階偏導(dǎo)數(shù): 1.     

16、高階偏導(dǎo)數(shù)的定義、記法： 例9 求二階偏導(dǎo)數(shù)和 . P128例1 例10 . 求二階偏導(dǎo)數(shù). P128例22.      關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù): P129131.3.      求含有抽象函數(shù)的二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù): 公式 , P131-132 例11 . 求 和 . P132例3 4. 驗(yàn)證或化簡(jiǎn)偏微分方程: 例12 . 證明 + . ( Laplace 方程 )例13 將方程 變?yōu)闃O坐標(biāo)形式.解 . , , , . , ;因此, .方程化簡(jiǎn)為 .例14    

17、;    試確定 和 , 利用線(xiàn)性變換 將方程 化為 .解 , .  = + + + = = +2 + . = + + + = = + + . = + + .因此 , + ( + .令 , 或 或 , 此時(shí)方程 化簡(jiǎn)為 .二 中值定理和泰肋公式： 凸區(qū)域 .Th 1 設(shè)二元函數(shù) 在凸區(qū)域D 上連續(xù) , 在D的所有內(nèi)點(diǎn)處可微 . 則對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn) D , 存在 , 使 .證 令 .系 若函數(shù) 在區(qū)域D上存在偏導(dǎo)數(shù) , 且 , 則 是D上的常值函數(shù). 二. Taylor公式: Th 2 (Taylor公式) 若函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)有直到 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,

18、 則對(duì) 內(nèi)任一點(diǎn) ,存在相應(yīng)的 , 使 證 P134 例1 求函數(shù) 在點(diǎn) 的Taylor公式 ( 到二階為止 ) . 并用它計(jì)算 P135136例4 . 三. 極值問(wèn)題: 1. 極值的定義: 注意只在內(nèi)點(diǎn)定義極值. 例2 P136例5 2 極值的必要條件：與一元函數(shù)比較 .Th 3 設(shè) 為函數(shù) 的極值點(diǎn) . 則當(dāng) 和存在時(shí) , 有= . ( 證 )函數(shù)的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) ， 函數(shù)的可疑點(diǎn) . 3. 極值的充分條件: 代數(shù)準(zhǔn)備: 給出二元( 實(shí) )二次型 . 其矩陣為 .> 是正定的, 順序主子式全 , 是半正定的, 順序主子式全 ; > 是負(fù)定的, , 其中 為 階順序主子式. 是半負(fù)定的, . > < 0時(shí), 是不定的. 充分條件的討論: 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 某鄰域有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . 由Taylor公式 , 有 + + .令 , , , 則當(dāng) 為駐點(diǎn)時(shí), 有   .其中.可見(jiàn)式 的符號(hào)由二次型 完全決定.稱(chēng)該二次型的矩陣為函數(shù)的Hesse矩陣. 于是由上述代數(shù)準(zhǔn)備, 有 > , 為 ( 嚴(yán)格 ) 極小值點(diǎn) ; > , 為 ( 嚴(yán)格 ) 極大值點(diǎn) ; > 時(shí), 不是極值點(diǎn);