高三二輪專題輔導(dǎo)（3）：轉(zhuǎn)化與化歸思想

1、專題三：轉(zhuǎn)化與化歸思想【考情分析】轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化等各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過(guò)程中。數(shù)學(xué)問(wèn)題解答題離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它即是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)能力，高考對(duì)這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點(diǎn)。（1）常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等。（2）數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：若解析幾何中斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等。（3）數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體幾何、向量

2、與解析幾何等的轉(zhuǎn)化。（4）出現(xiàn)更多的實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化問(wèn)題?！局R(shí)交匯】轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)題的求解都是應(yīng)用已知條件對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一連串恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解題目的的一個(gè)探索過(guò)程。1轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過(guò)程是充分或必要的，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無(wú)理方程化有理

3、方程要求驗(yàn)根） ，它能帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口。2常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維方式。常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有：（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題；（2）換元法：運(yùn)用“換元”把非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問(wèn)題；（3）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問(wèn)題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題；（5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用代

4、數(shù)方法解決解析幾何問(wèn)題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途徑；（6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；（7）特殊化方法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問(wèn)題；（8）一般化方法：若原問(wèn)題是某個(gè)一般化形式問(wèn)題的特殊形式且有較難解決，可將問(wèn)題通過(guò)一般化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（9）等價(jià)問(wèn)題法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的；（10）補(bǔ)集法：（正難則反）若過(guò)正面問(wèn)題難以解決，可將問(wèn)題的結(jié)果看作集合 A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類比為全集 U，通過(guò)解決全集 U 及補(bǔ)集獲得原問(wèn)題的解決。ACU3化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則： （1）熟悉化原則：將陌生的

5、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決；（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)；（3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律；（4）直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決；（5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。4轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想(1)把什么問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化歸對(duì)象；(2)化歸到何處去，即化歸目標(biāo)；

6、(3)如何進(jìn)行化歸，即化歸方法；化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心。【思想方法】題型 1：集合問(wèn)題例 1 （2011 廣東理 2）已知集合 A= (x，y)|x，y 為實(shí)數(shù)，且，B=(x，y) |x，y 為實(shí)數(shù)，且122 yxy=x， 則 A B 的元素個(gè)數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D3C.,O(0,0),xy;1A:22故選故直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)由于直線經(jīng)過(guò)圓內(nèi)的點(diǎn)組成的集體上的所有點(diǎn)表示直線集合上的所有點(diǎn)組成的集合表示由圓集合解析Byx（2）已知函數(shù)12)2(24)(22ppxpxxf,在區(qū)間 1 , 1上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c使0)(cf,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.分析:運(yùn)用補(bǔ)集概念求解。解答：

7、設(shè)所求p的范圍為 A,則ACI222)2(24)( 1 , 1pxpxxfp上函數(shù)在01 p注意到函數(shù)的圖象開口向上 ；233012) 1(0932) 1 (22pppppfppfpACI或233PPA點(diǎn)評(píng)：對(duì)于許多集合問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化，將不熟悉和難解的集合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問(wèn)題，便于將問(wèn)題解決。題型 2：函數(shù)問(wèn)題例 2 （2011 天津理 21）已知函數(shù) exf xxxR（）求函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間和極值；（）已知函數(shù) yg x的圖象與函數(shù) yf x的圖象關(guān)于直線1x 對(duì)稱證明當(dāng)1x 時(shí)， f xg x；（）如果12xx，且 12f xf x，證明122

8、xx。解析：（） 1exfxx令 1e0 xfxx，則1x ；當(dāng)x變化時(shí)， ,fxf x的變化情況如下表：x,111, fx0 f x增極大值減所以 f x在區(qū)間,1內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間1,內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù) f x在1x 處取得極大值 1f且 11ef（）因?yàn)楹瘮?shù) yg x的圖象與函數(shù) yf x的圖象關(guān)于直線1x 對(duì)稱，所以 2g xfx，于是 22exg xx記 F xf xg x，則 2e2 exxF xxx， 221 e1 exxFxx，當(dāng)1x 時(shí)，220 x，從而22e10 x ，又e0 x，所以 0Fx，于是函數(shù) F x在區(qū)間1,上是增函數(shù)因?yàn)?111ee0F，所以，當(dāng)1x 時(shí)， 10

9、F xF因此 f xg x（）(1) 若12110 xx，由（）及 12f xf x,得12xx,與12xx矛盾；(2) 若12110 xx，由由（）及 12f xf x,得12xx,與12xx矛盾；根據(jù)(1)，(2)可得12110 xx不妨設(shè)121,1xx由（）可知 2222f xg xfx，所以 12222f xf xg xfx因?yàn)?1x ，所以221x，又11x ，由（） ， f x在區(qū)間,1內(nèi)是增函數(shù)，所以122xx，即122xx點(diǎn)評(píng)：函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟” ，解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與

10、化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問(wèn)題，從而求出參變量的范圍題型 3：不等式問(wèn)題例 3（1） （2011 四川文 11）某運(yùn)輸公司有 12 名駕駛員和 19 名工人，有 8 輛載重量為 10 噸的甲型卡車和 7 輛載重量為 6 噸的乙型卡車某天需運(yùn)往地至少 72 噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一A次派用的每輛甲型卡車需配 2 名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn) 450 元；派用的每輛乙型卡車需配 1 名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn) 350 元，該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)為（A）4650 元（B）4700 元（C）4900 元（D）5000 元（2） （2

11、011 江蘇 14）設(shè)集合, ,)2(2| ),(222RyxmyxmyxA, 若 則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_；, 122| ),(RyxmyxmyxB, BA解析：（1）C：設(shè)派用甲型卡車 x（輛） ，乙型卡車 y（輛） ，獲得的利潤(rùn)為 u（元） ，由題意，x、y 滿足關(guān)系式作出相應(yīng)的平面區(qū)域，450350uxy12,219,10672,08,07,xyxyxyxy在由確定的交點(diǎn)處取得最大值 4900 元，選 C 45035050(97 )uxyxy12,219xyxy(7,5)評(píng)析：將最大值轉(zhuǎn)化為 y 軸上的截距，將 m 等價(jià)為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選 C，本題主要考察了用平面區(qū)域二

12、元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題。（2）解析：當(dāng)時(shí)，集合 A 是以（2，0）為圓心，以為半徑的圓，集合 B 是在兩條平行線0m m之間； ，因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，集合 A 是以2212(12)022mmm, BA0m （2，0）為圓心，以和為半徑的圓環(huán)，集合 B 是在兩條平行線之間，必有 。2mm2 2122 22mmmm.又因?yàn)椤?1212m2m1,2122mm【溫馨提示】本題是較為典型的恒成立問(wèn)題，解決恒成立問(wèn)題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解。構(gòu)造函數(shù)解題是數(shù)學(xué)中的常用方法，通過(guò)巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到解題目的。

13、題型 4：三角問(wèn)題例 4 （1） （2011 四川理 6）在ABC 中.則 A 的取值范圍是 222sinsinsinsinsinBCBC (A)(0， (B) ，) (c)(0， (D) ，)6633答案：C；解析：由題意正弦定理。22222222211cos023bcaabcbcbcabcAAbc 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查解三角形知識(shí)，并突出了邊角互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（2）若，則（ ）04，sincossincosab ABabab CDab 1ab 2 解析：若直接比較 a 與 b 的大小比較困難，若將 a 與 b 大小比較轉(zhuǎn)化為的大小比較就容易多ab22與了。 因?yàn)閍b221212si

14、nsin， 又因?yàn)?222 所以，所以sinsin22ab22 又因?yàn)?，所以ab， 0ab故選（A） 。點(diǎn)評(píng)：體現(xiàn)在三角函數(shù)中是切割化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值（域） 、最值、比較大小等問(wèn)題。題型 5：數(shù)列問(wèn)題例 5 （2010 遼寧理數(shù)，16）已知數(shù)列 na滿足1133,2 ,nnaaan則nan的最小值為_. 【答案】212【命題立意】本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以33

15、1nannn設(shè)( )f n 331nn，令( )f n 23310n ，則( )f n在( 33,)上是單調(diào)遞增，在(0, 33)上是遞減的，因?yàn)?nN+,所以當(dāng) n=5 或 6 時(shí)( )f n有最小值。又因?yàn)?5355a，66321662a，所以，nan的最小值為62162a.點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動(dòng)態(tài)的函數(shù)觀點(diǎn)是解決數(shù)列問(wèn)題的有效方法。數(shù)列的項(xiàng)可看作定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)。如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前 n 項(xiàng)的和公式 anaan1()()nddnad11。當(dāng)時(shí)，可以看作自變量 n 的一次和二次函數(shù)。因此利Snan nddnadnn1211222()()d 0用函數(shù)的思想

16、方法去研究數(shù)列問(wèn)題不僅能加深對(duì)數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)思想解題的意識(shí)。題型 6：立體幾何問(wèn)題例 6 （1）如果，三棱錐 PABC 中，已知 PABC，PA=BC=l，PA，BC 的公垂線 ED=h求證三棱錐 PABC 的體積。216Vl h分析：如視 P 為頂點(diǎn)，ABC 為底面，則無(wú)論是 SABC以及高 h 都不好求如果觀察圖形，換個(gè)角度看問(wèn)題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境解析：如圖，連結(jié) EB，EC，由 PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面 ECD這樣，截面 ECD 將原三棱錐切割成兩個(gè)分別以 ECD 為底面，以PE、AE 為高的小三棱錐

17、，而它們的底面積相等，高相加等于 PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD=SECDAE+SECDPE=SECD PA131313=BCEDPA=。1312216Vl h點(diǎn)評(píng)：輔助截面 ECD 的添設(shè)使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題迎刃而解。（2）如圖，在三棱錐 S-ABC 中，S 在底面上的射影 N 位于底面的高 CD 上，M 是側(cè)棱 SC 上的一點(diǎn)，使截面 MAB 與底面所成角等于NSC。求證：SC 垂直于截面 MAB。 （83 年全國(guó)高考）分析：由三垂線定理容易證明 SCAB，再在平面 SDNC 中利用平面幾何知識(shí)證明 SCDM。證明：由已知可得：SN底面 ABC，ABCD，CD

18、 是斜線 SC 在底面 AB 的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面 SDNC MDC 就是截面 MAB 與底面所成的二面角由已知得MDCNSC又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt即 SCDM所以 SC截面 MAB。點(diǎn)評(píng)：立體幾何中有些問(wèn)題的證明，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來(lái)解決，即考慮在一個(gè)平面上的證明時(shí)運(yùn)用平面幾何知識(shí)。題型 7：解析幾何問(wèn)題例 7 （1）設(shè) x、yR 且 3x 2y 6x，求 x y 的范圍。2222分析：設(shè) kx y ，再代入消去 y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù) k 范圍的問(wèn)題。其中要22注意隱含條件，即 x 的范圍。解析：由 6x3x

19、2y 0 得 0 x2。22設(shè) kx y ，則 y kx ，代入已知等式得：x 6x2k0 ，22222即 kx 3x，其對(duì)稱軸為 x3。122由 0 x2 得 k0,4。所以 x y 的范圍是：0 x y 4。2222另解：數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題）：由 3x 2y 6x 得(x1) 1，即表示如圖所示橢圓，其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。x y 的范222y23222圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是 0,距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為 x y k，代入橢圓中消 y 得 x 6x2k0。由判別式368k0222得 k4,所以 x y 的范圍是：

20、0 x y 4。2222再解：三角換元法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題）：由 3x 2y 6x 得(x1) 1，設(shè)，則222y232xy 162cossinx y 12coscos sin 12coscos 22232232122cos 2cos0,412252所以 x y 的范圍是：0 x y 4。2222點(diǎn)評(píng)：題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了其它問(wèn)題，屬于問(wèn)題轉(zhuǎn)換題型。（2） （2005 全國(guó)卷（理）第 15 題）：ABC 的外接圓的圓心為，

21、兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H，Om（） ，則實(shí)數(shù) mOHOAOBOC分析：如果用一般的三角形解決本題較難，不妨設(shè)ABC 是以A 為直角的直角三角形，則為斜O(jiān)邊 BC 上的中點(diǎn)，H 與 A 重合，于是得出 m1。OAOBOCOAOH點(diǎn)評(píng)：這種通過(guò)特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多，如歸納、猜想、證明的方法，過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，定值問(wèn)題也可以用這樣的思路。題型 8：具體、抽象問(wèn)題例 8 （2004 浙江卷（理）第 12 題）：若 f（x）和 g（x）都是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的函數(shù)，且方程xfg（x） 0 有實(shí)數(shù)解，則 gf（x） 不可能是（）（A）x2x （B） x2x （C）x2 （D）x251515151

22、分析：本題直接解不容易，不妨令 f（x）x，則 fg（x） g（x） ，gf（x） g（x） ，xfg（x） 0 有實(shí)數(shù)解即 xg（x）0 有實(shí)數(shù)解。這樣很明顯得出結(jié)論，B 使 xg（x）0 沒(méi)有實(shí)數(shù)解，選 B這種從抽象到具體再到抽象，使學(xué)生從心理上感到非常輕松，象這樣常見(jiàn)抽象函數(shù)式還有一次函數(shù)型 f（xy）f（x）f（y）m，對(duì)數(shù)函數(shù)型 f（xy）f（x）f（y） ，冪函數(shù)型 f（xy）f（x）f（y） 。點(diǎn)評(píng)：把抽象問(wèn)題具體化是在數(shù)學(xué)解題中常有的化歸途徑，它是對(duì)抽象問(wèn)題的理解和再認(rèn)識(shí)，在抽象語(yǔ)言與具體事物間建立聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)抽象向具體的化歸。題型 9：正難則反轉(zhuǎn)化問(wèn)題例 9 （2011 山

23、東理 20）等比數(shù)列 na中，123,a a a分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且123,a a a中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列 nb滿足：( 1)lnnnnbaa ，求數(shù)列 nb的前2n項(xiàng)和2nS.【解析】 （）當(dāng)13a 時(shí)，不合題意；當(dāng)12a 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)236,18aa時(shí)，符合題意；當(dāng)110a 時(shí)，不合題意。由題意知1232,6,18aaa,因?yàn)?na是等比數(shù)列,所以公比為 3,所以數(shù)列 na的通項(xiàng)公式12 3nna.（）因?yàn)? 1)lnnnnbaa =12 3n1( 1)ln2

24、3n, 所以12nnSbbb1212()(lnlnln)nnaaaaaa=2(1 3 )1 3n-12lnna a a=31n-121ln(21 333)nn =31n-(1)2ln(23)n nn,所以2nS=231n-2 (21)22ln(23)nnn=91n-22 ln2(2)ln3nnn。點(diǎn)評(píng)：一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調(diào)整思考方向，從問(wèn)題的結(jié)論入手，或從問(wèn)題的條件與結(jié)論的反面入手進(jìn)行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反”。 “正難則反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問(wèn)題獲得巧解。題型 10：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例 10把一塊鋼板沖

25、成上面是半圓形，下面是矩形的零件，其周長(zhǎng)是 P，怎樣設(shè)計(jì)才能使沖成的零件面積最大？并求出它的最大面積。分析：這個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決。解析：如圖，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為 x,則半圓的周長(zhǎng)為2x矩形的另一邊長(zhǎng)為=)2(21xxPAB4)2(2xP設(shè)零件的面積為 S，則S=21 xx244)2(2xPxPx2842a0 當(dāng)時(shí)，S 有最大值，這時(shí) AB=。422Pabx4P當(dāng)矩形的兩鄰邊 AB 與 BC 之比為 12 時(shí)，Smax=。282P點(diǎn)評(píng)：實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋最終的實(shí)際問(wèn)題?！舅季S總結(jié)思維總結(jié)】xODCBA1熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺(jué)的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。 “抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙。2為了實(shí)施有效的化歸，既可