高三二輪專題輔導(dǎo)（1）數(shù)形結(jié)合

1、【專題一】數(shù)形結(jié)合思想【考情分析】在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目主要出現(xiàn)在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何及不等式最值等綜合性題目上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)捷、靈活特點(diǎn)的多是填空小題。從近三年新課標(biāo)高考卷來看，涉及數(shù)形結(jié)合的題目略少，預(yù)測(cè)2012年可能有所加強(qiáng)。因?yàn)閷?duì)數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是新課標(biāo)高考明確的一個(gè)命題方向。1數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問

2、題簡(jiǎn)單化。“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。2數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能。3“對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括的考查，考查時(shí)要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合”， 用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。4函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是 “以形示數(shù)”，而解析幾何

3、的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是 “以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了 “數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái)。5在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”。縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”?！局R(shí)交匯】數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間

4、的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)

5、構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等常見適用數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)著力點(diǎn)是：以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩

6、邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡(jiǎn)捷解決。1數(shù)形結(jié)合的途徑（1）通過坐標(biāo)系形題數(shù)解借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識(shí)載體來考察的）；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時(shí)，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧（這是因?yàn)槿枪降氖褂茫梢?/p>

7、大大縮短代數(shù)推理）實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。常見方法有：（1）解析法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系），引進(jìn)坐標(biāo)將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系。（2）三角法：將幾何問題與三角形溝通，運(yùn)用三角代數(shù)知識(shí)獲得探求結(jié)合的途徑。（3）向量法：將幾何圖形向量化，運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問題變得有章可

8、循。（2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對(duì)應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化.例如，將a0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b22與余弦定理溝通，將abc0且b+ca中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(duì)（或復(fù)數(shù)）和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)等等.這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。常見的轉(zhuǎn)換途徑為：（1）方程或不等式問題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系的問題

9、，并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問題。（2）利用平面向量的數(shù)量關(guān)系及模的性質(zhì)來尋求代數(shù)式性質(zhì)。（3）構(gòu)造幾何模型。通過代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將與正方形的面積互化，將與體積互化，將與勾股定理溝通等等。（4）利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系，重要的公式（如兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，直線的斜率，直線的截距）、定義等來尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。2數(shù)形結(jié)合的原則（1）等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明

10、的誘導(dǎo)。（2）雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析（或僅對(duì)幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析）在許多時(shí)候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。（3）簡(jiǎn)單性原則就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡(jiǎn)單.而不是去刻意追求一種流性的模式代數(shù)問題運(yùn)用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法?！舅枷敕椒ā款}型1：利用數(shù)軸、韋恩圖解決集合與函數(shù)問題例1（1）（2011山東文1

11、）設(shè)集合 M =x|(x+3)(x2)<0，N =x|1x3,則MN =（ ）A1,2) B1,2 C( 2,3 D2,3（2）（2011湖南文1）設(shè)全集則（ ）A B 解析：（1）A；解析；因?yàn)椋?，故選A。點(diǎn)評(píng)：不等式型集合的交、并集通?？梢岳脭?shù)軸進(jìn)行，解題時(shí)注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意。（2）B；解析：畫出韋恩圖，可知。點(diǎn)評(píng)：本題主要利用數(shù)軸、韋恩圖考查集合的概念和集合的關(guān)系。例2（1）（2011陜西理3）設(shè)函數(shù)（R）滿足，則函數(shù)的圖像是（ ） （2）（2010年天津卷）設(shè)函數(shù)，則的值域是（ ）A B C D解析：（1）B；根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì)

12、選由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B（2）D；依題意知，點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)中考查創(chuàng)新思維，要求必須要有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查新定義函數(shù)的理解、解絕對(duì)值不等式，中檔題，借形言數(shù)。題型2：解決方程、不等式問題例3若方程在內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 解析：（1）原方程可化為 設(shè) 在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象（如圖）。由原方程在（0，3）內(nèi)有唯一解，知的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，可見m的取值范圍是或。例4已知且，求的最大值和最小值。解析：令，則已知式可化為 ， 再設(shè)，由圖3可見，則當(dāng)線

13、段 與圓弧相切時(shí)，截距t取最大值（如圖3中CD位置）；當(dāng)線段端點(diǎn)是圓弧端點(diǎn)時(shí)，t取最小值（如圖中AB位置）。因此的最大值是，最小值是。點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合的思想方法，是研究數(shù)學(xué)問題的一個(gè)基本方法。深刻理解這一觀點(diǎn)，有利于提高我們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。題型3：解決三角函數(shù)、平面向量問題例5（1）（2010年江西理）E，F(xiàn)是等腰直角ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. （2）（2007年陜西15）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、,其中與的夾角為120°，與的夾角為30°,且|1，|，若+（，R）,則+的值為 。解析：（1）考查三角函數(shù)的計(jì)算、解析化應(yīng)用意識(shí)

14、。解法1：約定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐標(biāo)化。約定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夾角公式得：，解得。（2）6；解析：（）2（+）2=2OA2+2OB2+2=12；注意與的夾角為30°，與的夾角為120°，結(jié)合圖形容易得到與的夾角為90°，得=0；這樣就得到答案。點(diǎn)評(píng)：綜合近幾年的高考命題，平面向量單純只靠運(yùn)算解題是不夠的，需要結(jié)合幾何特征。例6（2010全國卷1文數(shù)）已知圓的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為（ ）A B C D答案：

15、D；【解析1】如圖所示：設(shè)PA=PB=,APO=,則APB=，PO=，=，令，則，即，由是實(shí)數(shù)，所以，解得或.故.此時(shí).【解析2】設(shè)，換元：，【解析3】建系：園的方程為，設(shè)，點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力. 題型4：解析幾何問題例7（1）（2011廣東理5）已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域D由不等式組給定.若M(x，y)為D上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)則的最大值為（ ）A. B. C.4 D.3（2）（2011江蘇14）設(shè)集合, , 若 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：（1）如圖,區(qū)域D為四邊形OAB

16、C及其內(nèi)部區(qū)域, （2）（數(shù)形結(jié)合）當(dāng)時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間， ，因?yàn)榇藭r(shí)無解；當(dāng)時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以和為半徑的圓環(huán)，集合B是在兩條平行線之間，必有 .又因?yàn)?。點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃是借助平面區(qū)域表示直線、不等式等代數(shù)表達(dá)式，最終借助圖形的性質(zhì)解決問題；對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系以及一些相關(guān)的夾角、弦長問題，往往要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離問題來解決。例8（1）(2011上海22) 已知平面上的線段及點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，線段長度的最小值稱為點(diǎn)到線段的距離，記作。 求點(diǎn)到線段的距離； 設(shè)是長為2的線段，求點(diǎn)集所表示圖形的面積； 寫出到兩條線段距離相等的點(diǎn)的

17、集合，其中，是下列三組點(diǎn)中的一組。對(duì)于下列三組點(diǎn)只需選做一種，滿分分別是2分，6分，8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號(hào)較小的解答計(jì)分。 。 。 。解析： 設(shè)是線段上一點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，。 設(shè)線段的端點(diǎn)分別為，以直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)集由如下曲線圍成，其面積為。 選擇， 選擇。 選擇。；（2）（2011福建理17）（福建理17）已知直線l：y=x+m，mR。（I）若以點(diǎn)M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。解析：本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，

18、考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一：（I）依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）因?yàn)?，所以，解得m=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）從而圓的半徑故所求圓的方程為（II）因?yàn)橹本€的方程為所以直線的方程為由（1）當(dāng)時(shí)，直線與拋物線C相切（2）當(dāng)，那時(shí)，直線與拋物線C不相切。綜上，當(dāng)m=1時(shí)，直線與拋物線C相切；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線C不相切。解法二：（I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為依題意，所求圓與直線相切于點(diǎn)P（0，m），則解得所以所求圓的方程為（II）同解法一。題型5：導(dǎo)數(shù)問題例9（06天津卷）函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如

19、圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D 4個(gè)解析：函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點(diǎn)，只有1個(gè)，選A。點(diǎn)評(píng)：通過函數(shù)圖像分解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，對(duì)應(yīng)好原函數(shù)的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。例10（06浙江卷）已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列x(x0)的第一項(xiàng)x1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）求證：當(dāng)n時(shí)，()x（）。證明：（I）因?yàn)樗郧€在處的切線斜率因?yàn)檫^和兩點(diǎn)的直線斜率是所以.（II）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，

20、而，所以，即因此又因?yàn)榱顒t因?yàn)樗砸虼斯庶c(diǎn)評(píng)：切線方程的斜率與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)，建立了幾何圖形與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)。題型6：平面幾何問題例11已知三頂點(diǎn)是，求的平分線的長。解析：第一步，簡(jiǎn)單數(shù)形結(jié)合，在直角坐標(biāo)系下，描出已知點(diǎn)，畫出的邊及其的平分線。（如圖） 第二步，觀察圖形，挖掘圖形的特性（一般性或特殊性），通過數(shù)量關(guān)系證明（肯定或否定）觀察、挖掘出來的特性。特性有：（1）；（2）；（3），（4）等等。證明：,（1），是的平分線；（2），(角平分線定理)；（3），（4）不正確，第三步，充分利用圖形的屬性，創(chuàng)造性地?cái)?shù)形結(jié)合，完成解題。過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則有或等等。又在中，（可以口答出）。點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)是作圖要基本準(zhǔn)確，切忌隨手作圖！數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是挖掘圖形的幾何屬性，切忌只重?cái)?shù)量關(guān)系忽視位置關(guān)系！如果把本題的圖形隨手作成如下一般平面圖形，則失去了數(shù)