一元二次方程 (7)

1、 一元二次方程【要點綜述】： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個重點內(nèi)容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在沒講一元二次方程的解法之前，先說明一下它與一元一次方程區(qū)別。根據(jù)定義可知，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式為：。一元二次方程有三個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程。因此判斷一個方程是否為一元二次方程，要先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理，如能整理為的形式，那么這個方程就是一元二次方程。 下面再講一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”，將它化為兩個一元一次

2、方程。一元二次方程的基本解法有四種：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法適合方程類型注意事項直接開平方法0時有解，0時無解。配方法二次項系數(shù)若不為1，必須先把系數(shù)化為1，再進行配方。公式法0時，方程有解；0時，方程無解。先化為一般形式再用公式。因式分解法方程的一邊為0，另一邊分解成兩個一次因式的積。方程的一邊必須是0，另一邊可用任何方法分解因式。 【舉例解析】 例1：已知，解關(guān)于的方程。 分析：注意滿足的的值將使原方程成為哪一類方程。 解：由得：或， 當(dāng)時，原方程為，即，解得. 當(dāng)時，原方程為，即， 解得，. 說明：由本題可見，只有項系數(shù)不為0，且為最高次項時

3、，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，題中對一元二次方程的描述是不完整的，應(yīng)該說明最高次項系數(shù)不為0。通常用一般形式描述的一元二次方程更為簡明，即形如的方程叫作關(guān)于的一元二次方程。若本題不給出條件，就必須在整理后對項的字母系數(shù)分情況進行討論。 例2 ：用開平方法解下面的一元二次方程。 （1）； （2） （3）； （4） 分析：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如的方程，其解為。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)第（1）、（2）兩小題中的方程顯然用直接開平方法好做；第（3）題因方程左邊可變?yōu)橥耆椒绞?，右邊?210，所以此方程也可用直接開平方法解；第（4）小題，

4、方程左邊可利用平方差公式，然后把常數(shù)移到右邊，即可利用直接開平方法進行解答了。 解：（1） （注意不要丟解） 由得， 由得， 原方程的解為：， （2） 由得， 由得 原方程的解為：， （3） ， ， 原方程的解為：， （4） ，即 ， ， 原方程的解為：， 說明：解一元二次方程時，通常先把方程化為一般式，但如果不要求化為一般式，像本題要求用開平方法直接求解，就不必化成一般式。用開平方法直接求解，應(yīng)注意方程兩邊同時開方時，只需在一邊取正負號，還應(yīng)注意不要丟解。例3 ：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，應(yīng)先將常數(shù)移到方程右邊，再將二次項系數(shù)化為1，變?yōu)榈男问?。第?）

5、題可變?yōu)?，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，即：，方程左邊構(gòu)成一個完全平方式，右邊是一個不小于0的常數(shù)，即：，接下去即可利用直接開平方法解答了。第（2）題在配方時應(yīng)特別注意在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方。 解：（1） 二次項系數(shù)化為1，移常數(shù)項得：， 配方得：，即 直接開平方得： ， 原方程的解為：， （2） 二次項系數(shù)化為1，移常數(shù)項得： 方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方得： 即 直接開平方得： ， 原方程的解為：， 說明：配方是一種基本的變形，解題中雖不常用，但作為一種基本方法要熟練掌握。配方時應(yīng)按下面的步驟進行：先把二次項系數(shù)化為1，并把常數(shù)項移到一邊；再在方程兩

6、邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方。最后變?yōu)橥耆椒绞嚼弥苯娱_平方法即可完成解題任務(wù)。 例4：用公式法解下列方程。 （1）；（2） 分析：用公式法就是指利用求根公式，使用時應(yīng)先把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式的值，當(dāng)0時，把各項系數(shù)的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意當(dāng)0時，方程無解。第（1）小題應(yīng)先移項化為一般式，再計算出判別式的值，判斷解的情況之后，方可確定是否可直接代入求根公式；第（2）小題為了避免分數(shù)運算的繁瑣，可變形為，求出判別式的值后，再確定是否可代入求根公式求解。 解：（1）， 化為一般式： 求出判別式的值：0 代入求根公式：， ， （2） 化為一般式： 求出判別式

7、的值：0 ， 說明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到簡單方法時，即考慮化為一般形式后使用公式法。但在應(yīng)用時要先明確公式中字母在題中所表示的量，再求出判別式的值，解得的根要進行化簡。 例5：用分解因式法解下列方程。 （1）；（2） 分析：分解因式法是把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。第（1）題已經(jīng)是一般式，可直接對左邊分解因式；第（2）題必須先化簡變?yōu)橐话闶胶笤龠M行分解因式。 解：（1） 左邊分解成兩個因式的積得： 于是可得：， ， （2） 化簡變?yōu)?/p>

8、一般式得： 左邊分解成兩個因式的積得： 于是可得：， ， 說明：使用分解因式法時，方程的一邊一定要化為0，這樣才能達到降次的目的。把方程一邊化為0，把另一邊分解因式的方法可以用于解今后遇到的各類方程。因為這是把方程降次的重要手段之一。 從上述例題來看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方法主要為開平方法和使方程一邊為0，把方程另一邊分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程時，要先觀察方程是否可以應(yīng)用開平方、分解因式等簡單方法，找不到簡單方法時，即考慮化為一般形式后使用公式法。 例6：選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭?（1）； （2）（3）； （4）分析：第（1）題可

9、變形為，而后利用直接開平方法較為簡便；第（2）題移項后利用分解因式法較為簡便；第（3）題化為一般式后可利用求根公式法解答；第（4）題采取配方法較為簡便。解：（1）整理得：直接開平方得：，（2）分解因式得：，（3）整理得：求出判別式的值：0，（4）配方得：直接開平方得：，總結(jié)：直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程，在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在使用公式前應(yīng)先計算出判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的重要的數(shù)學(xué)方法之一。最常用的方法