空間向量在立體幾何中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)大全、經(jīng)典高考題帶解析、練習(xí)題帶答案[2]

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考綱說(shuō)明】1. 能夠利用共線向量、共面向量、空間向量根本定理證明共線、共面、平行及垂直問(wèn)題；2. 會(huì)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點(diǎn)間的距離公式、夾角公式等解決平行、垂直、長(zhǎng)度、角、距離等問(wèn)題;3. 培養(yǎng)用向量的相關(guān)知識(shí)思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；【知識(shí)梳理】、空間向量的運(yùn)算1、向量的幾何運(yùn)算，即-1向量的數(shù)量積: 向量F那么叫做八的數(shù)量積，記作空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：丨1 ；.-.；2向量共線定理：向量 a a 0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b a.2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算卩假設(shè)我丙厲，/心乃®，那么也=叼_ %比兀習(xí)引.一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這

2、個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。華三叫，幻宀日三切婦鳥(niǎo)二曲+ b二年+坯衛(wèi)2 +虬® 士堀a-b = 3廠優(yōu)忌_對(duì)也_垢 加=加*池巧，兄運(yùn)丘琦a居=%的+勺®+凸點(diǎn)? ?r:.:;廠?& -Lh O 占占 4&込 +(3 = 0?3夾角公式:印對(duì)+a血+口 +色2尿+；十血'4兩點(diǎn)間的距離公式：假設(shè)，.，貝U山人兒巧第打| AB = J勺一筍尸+ 3 一乃尸+ 可一二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2. 利用空間向量證明平行問(wèn)題對(duì)于平行問(wèn)題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明.3. 利用空間向量證明垂直問(wèn)題對(duì)于垂直問(wèn)題，一般是利用 -

3、' ' 進(jìn)行證明;4. 利用空間向量求角度|線線角的范圍0°,90°I糾1線線角的求法：I a設(shè)直線ABCD對(duì)應(yīng)的方向向量分別為 a、b,那么直線AB與CD所成的角為 arc cos2線面角的求法:設(shè)n是平面二的法向量,T-是直線'的方向向量，那么直線；與平面二所成的角為3二面角的求法： 設(shè)ni, n2分別是二面角 其補(bǔ)角的大小如圖a-i-的兩個(gè)面I A3 胡 I|的|溯|就是二面角的平面角或arcc os I坷II弓丨5.利用空間向量求距離1平面的法向量的求法：設(shè)n=x,y,z，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一

4、次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個(gè)法向量如圖2利用法向量求空間距離a點(diǎn)A到平面比的距離：HE 茹，其中BEG,菇是平面的法向量。d ，其中7是平面二的法向量。|5|b直線：與平面二之間的距離：d =c兩平行平面弘戸之間的距離：】 曲呵，其中且亡Q，懇是平面圧的法向量。a 二【例1】2021全國(guó)卷1理正方體【經(jīng)典例題】ABCD-ABGD,中，BB,與平面ACD,所成角的余弦值為2C2【例3】2021全國(guó)卷三棱柱ABC A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等,【解析】D【例2】2021全國(guó)卷2文三棱錐S ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面 ABC，SA=3,那么直

5、線AB與平面SBC所成角的正弦值為A-3(B)5 (C)7(D)444【解析】DBAACAA1 60，那么異面直線 AB1與B®所成角的余弦值為 【解析】【例4】2021重慶如圖，在直三棱柱 ABC-ABQ中，AB=4, AC=BC=3 D為AB的中點(diǎn)。I求異面直線 CG和AB的距離;假設(shè) AB丄AC,求二面角 Ai CD-B的平面角的余弦值?！窘馕觥?13【例5】2021江蘇如圖，在直三棱柱 ABC ABiCi中，ABiACi , D , E分別是棱BC , CCi上的點(diǎn)點(diǎn)D不同于點(diǎn)C，且AD DE , F為BiCi的中點(diǎn).求證：I平面ADE 平面BCCIBi ；2丨直線AF /平

6、面ADEB【例6】20I2山東在如下列圖的幾何體中，四邊形丄 BD CB=CD=CFABCD是等腰梯形，AB/ CD / DAB=60 , FC丄平面 ABCD AEI求證：BD丄平面AED求二面角 F-BD-C的余弦值.I【解析】二面角F-BD-C的余弦值為【例7】20I2江西在三棱柱 ABC AG中，AB AC AA J5 , BC 4,點(diǎn)A在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O 。I證明在側(cè)棱AAi上存在一點(diǎn)E ,使得OE 平面BBiCiC ,并求出AE的長(zhǎng);2求平面AiBiC與平面BRGC夾角的余弦值。【例 8】2021 湖南四棱錐 P-ABCD中，PU平面 ABCD AB=4, BC=

7、3 AD=5, / DAB2 ABC=90 , E是 CD的中點(diǎn).I證明：CD丄平面PAE假設(shè)直線 PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐 P-ABCD的體積.【解析】V 1 S PA 1 16 匕仝128 L 533515【例9】2021廣東如下列圖，在四棱錐 P ABCD中，AB平面 PAD，AB/CD, PD AD，E 是 PB 中點(diǎn),1F是DC上的點(diǎn)，且DF -AB，PH為 PAD中AD邊上的高。21證明：PH 平面ABCD ；2假設(shè)PH 1,AD 2,FC 1，求三棱錐E BCF的體積；3證明：EF 平面PAB .1 1 2 16 2 12【解析】三棱錐E

8、 BCF的體積VS BCF h 1 1 FC AD h33 2【例10】2021新課標(biāo)如圖，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=Bc2aA, D是棱 AA的中點(diǎn),2DC 丄 BD1證明：DC丄BC;2求二面角A-BD- C的大小.【解析】二面角A1 BD C1的大小為30C1【例11】如下列圖，在四棱錐 p ABCD中，底面ABCD為矩形， 面 BDE .1證明：BD 平面PAC ；2假設(shè)PA 1, AD 2，求二面角B PC A的正切值.【解析】二面角B PC A的平面角的正切值為3PA 平面ABCD點(diǎn)E在線段PC上，PC 平【例12】2021天津如圖，在四棱錐PABCD中，PA丄平面ABCD

9、 , AC 丄 AD , AB 丄 BC ,ABC=450,P.PA=AD=2, AC = 1.(I)證明PC丄AD ;n求二面角 A PC D的正弦值;川設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿(mǎn)足異面直線 BE與CD所成的角為300，求AE的長(zhǎng).【解析】7306 ' 10【課堂練習(xí)】1、 2021上海假設(shè)n ( 2,1)是直線l的一個(gè)法向量，那么丨的傾斜角的大小為 用反三角函數(shù)值表示2、 2021四川如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點(diǎn)，那么異面直線 AM與DN所成角的大小是3、2021全國(guó)卷如圖，四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為菱形，PA 底面ABCD，

10、AC 2.2，PA 2，E是PC上的一點(diǎn)，PE 2EC。I證明：PC 平面BED ;n設(shè)二面角APB C為90，求PD與平面PBC所成角的大小。4、 2021 遼寧理三棱錐 P- ABC中，PAI ABC AB丄 AC, PA=AC=AB, N 為 AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為 PB,BC的中點(diǎn).I證明：CM丄SN；n求SN與平面CMN所成角的大小5、2021遼寧文如圖，棱柱 ABC ABG的側(cè)面BCGB是菱形，BiC ABI證明：平面AB1C 平面A1BC1 ；n設(shè)D是ACi上的點(diǎn)，且 AB平面BCD，求AD:DCi的值.6、 2021全國(guó)文如圖，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，

11、AC=BC AA 1 =AB, D為BBj的中點(diǎn)，E為AB1上的一點(diǎn)，AE=3EB1I證明：DE為異面直線 AB1與CD的公垂線;7、 2021江西理如圖 BCMA MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,(1) 求點(diǎn)A到平面MBC的距離；(2) 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。平面MCD平面BCD AB 平面BCD AB 2丁3。8、 2021重慶文四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為矩形,PA 底面QB5設(shè)異面直線 AB1與CD的夾角為45° ,求二面角A1-AC1-B1的大小ABCD , PA AB , 2，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).I證明：AE 平面PBC ;n假設(shè) AD 1

12、，求二面角B EC D的平面角的余弦值9、2021浙江文如圖，在平行四邊形 翻折成 A' DE使平面A DE!平面I求證：BF/平面 A' DE;n設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線ABCD中, AB=2BC / ABC=120。BCD F為線段A C的中點(diǎn)。FM與平面A DE所成角的余弦值。E為線段 AB的中點(diǎn)，將 ADE沿直線DED10、 2021重慶理四棱錐 P-ABCD中,底面 ABCD為矩形，PA 底面ABCD PA=AB= 6，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。1求直線AD與平面PBC的距離;2假設(shè)AD=, 3，求二面角 A-EC-D的平面角的余弦值。，CE=EF=1.點(diǎn)B和11、20

13、21北京理如圖，正方形 ABCD四邊形 ACEF所在的平面互相垂直,I求證：AF/平面BDE n求證：CFL平面BDE 川求二面角 A-BE-D的大小。12、如圖，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn),點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面 AEC外一點(diǎn)F滿(mǎn)足FC 平面BED,FB= 5a1證明：EB FD2求點(diǎn)B到平面FED的距離.13、2021 江蘇卷如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PDL平面 ABCD PD=DC=BC=1 AB=2, AB/ DC / BCD=90。求證：PC丄BC;求點(diǎn)A到平面PBC的距離。14、2021 上海如圖，在四棱錐 F-ABC中，底面 ABCD是

14、矩形，PA丄底面 ABCD E 是 PCAB=, AD=2/2 , PA=2. 求：1三角形PCD的面積；2異面直線BC與 AE所成的角的大小15、2021四川如圖，在三棱錐P ABC中, I求直線PC與平面ABC所成角的大?。?n求二面角B AP C的大小。APB 90 , PAB 60 , AB BC CA,平面 PAB 平面 ABC 。C16、2021安徽長(zhǎng)方體ABCD ABGD中，底面ABiGU是正方形，O是BD的中點(diǎn)，E是棱AA,上任意一點(diǎn)。I證明：BD EG ；n如果 AB =2, AE =-；2 , OE EG ,求 AA 的長(zhǎng)。17、2021北京文如圖1,在Rt ABC中,C

15、90 , D, E分別為AC, AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將 ADE沿DE折起到 ADE的位置，使 AiF CD，如圖2。I求證：DE /平面 ACB ；n求證：AF BE；川線段AB上是否存在點(diǎn)Q，使AC 平面DEQ ?說(shuō)明理由。18、2021湖南如圖6,在四棱錐 P-ABCD中, PU平面 ABCD底面ABCD是等腰梯形，AD/ BC, AC丄BD. I證明：BD丄PC;n假設(shè) AD=4 BC=2直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐 P-ABCD的體積.19、如圖，在三棱錐P ABC中，PA丄底面ABC , D是PC的中點(diǎn)，/ BAC = - , AB 2 ,

16、 AC 2 3 ,2PA 2 ,求：1三棱錐P ABC的體積2異面直線BC與AD所成的角的大小結(jié)果用反三角函數(shù)值表示20、2021安徽文如圖，在四棱錐O ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的 菱形OA 2, M為OA的中點(diǎn)。I求異面直線 AB與MD所成角的大小;n求點(diǎn)B到平面OCD的距離。底面ABCD【課后作業(yè)】1. 2021 全國(guó) n如圖，正四棱柱 ABCD AB1C1U 中，AA 2AB 4，點(diǎn) E在 CCi上且 GE 3EC.I證明：AC平面BED ;n求二面角 A DE B的大小.2、2021湖南四棱錐 R ABCD勺底面 ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，/ BCD= 60°, E

17、是CD的中點(diǎn)，PA!底面 ABCDPA= 2.I證明：平面 PBEL平面PABn求平面 PAD和平面PBE所成二面角銳角的大小 3、2021福建如圖，在四棱錐 P-ABC中，那么面PADL底面 ABCD側(cè)棱PA=PD=返，底面ABC為直角梯形, 其中 BC/ ADABL ADAD=2AB=2BC=2, O為 AD中點(diǎn).I求證：PCL平面ABCD求異面直線 PD與 CD所成角的大??；川線段AD上是否存在點(diǎn)Q使得它到平面PCD的距離為叢?2假設(shè)存在，求出A2的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.QDBD上，/ PDA=60。4、2021海南、寧夏理如圖，點(diǎn) P在正方體 ABCD- A1B1C1D的對(duì)角線1

18、求DP與 CC所成角的大?。?求DP與平面AADD所成角的大小。5、2005湖南文、理如圖1,ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為 2和6,高為.3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱(chēng)軸 OO折成直二面角，如圖 2。1證明：AC丄BO;n求二面角 O- AC O的大小。6、 2007安徽文、理如圖,在六面體ABCD A1B1C1D1中，四邊形ABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方形，DD1 平面A1B1C1D1, DD1 平面ABCD DD=2。 I 求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD共面.n 求證：平面A1ACC1 平面B1 BDD1;川求二面角A BB1 C的大小.7、2007海

19、南如圖，在三棱錐S ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，BAC 90° , O為BC中點(diǎn).I證明：SO 平面ABC ；n求二面角A SC B的余弦值.8、2007四川理如圖,PCBM是直角梯形，/PCB = 90PM / BC , PM = 1, BC = 2,又 AC = 1,/ ACB = 120° , AB丄PC ,直線AM與直線PC所成的角為60°I求證：平面PAC丄平面ABC ;n求二面角MAC B的大?。淮ㄇ笕忮F P MAC的體積CN10、 2006福建文、理如圖，四面體ABCD中, ° E分別是BD BC的中點(diǎn)，CACBCDB

20、D 2,AB AD 2.9、(2006全國(guó)I卷)如圖，li、|2是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段點(diǎn)A、B在h上，C在I?上,AM MB MN。I證明 ACL NB;(n )假設(shè) ACB 60°，求NB與平面ABC所成角的余弦值。I求證：AO 平面BCDII丨求異面直線 AB與CD所成角的大小;III丨求點(diǎn)E到平面ACD勺距離。11、 2021福建文如圖，在長(zhǎng)方體ABCD- AiBGD中，E, H分別是棱 AB,DiG上的點(diǎn)點(diǎn) E與Bi不重合，且EH/AQ。過(guò)EH的平面與棱 BB,CC1相交，交點(diǎn)分別為 F, GI證明：AD/平面EFGHII丨設(shè)AB=2AA=2a。在長(zhǎng)方體

21、ABCD-ABQD內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體AABFE - DQCGF內(nèi)的概率為 p。當(dāng)點(diǎn)E, F分別在棱A1B1, B 1B上運(yùn)動(dòng)且滿(mǎn)足 EF=a時(shí)，求p的最小值。12、如圖，四棱錐 P ABCD的底面是正方形，PD 底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.I求證：平面 AEC 平面PDB ;當(dāng)PD2AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求 AE與平面PDB所成的角的大小4，AB 2.以AC的中點(diǎn)13、在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA ADO為球心、AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N .MND.yNA1求證：平面ABM丄平面PCD ；2求直線CD與平面ACM所成的角的大?。?求點(diǎn)N到平面ACM的距離.AE 。14、如圖4，在正三棱柱 ABC ABG中，AB J2AA。 D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在ACi上，且D