數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題解析及測試-專題《銳角三角函數(shù)與解直角三角形

1、專題八銳角三角函數(shù)與解直角三角形中考點(diǎn)擊考點(diǎn)分析:內(nèi)容要求1、特殊角的三角函數(shù)值2、利用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值,并能根據(jù)已知的三角函數(shù)值求對應(yīng)的銳角3、綜合運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實(shí)際問題命題預(yù)測:本專題內(nèi)容主要涉及兩方面,一是銳角三角函數(shù)問題的基本運(yùn)算,二是解直角三角形.其中,解直角三角形的應(yīng)用題是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,題型廣泛,有測建筑物高度的,有與航海有關(guān)的問題,有與筑路、修堤有關(guān)的問題.要注意把具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,在計(jì)算時(shí)不能直接算出某些量時(shí),要通過列方程的辦法加以解決.預(yù)測2015年中考的考查熱點(diǎn),主要要求能夠正確地應(yīng)用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三

2、角形兩邊的比,并且要熟記30°、45°、60°角的各個(gè)三角函數(shù)值.理解直角三角形中的邊、角之間的關(guān)系,會(huì)用勾股定理及銳角三角函數(shù)解直角三角形,并會(huì)用相關(guān)的知識解決一些簡單的實(shí)際問題,尤其是在計(jì)算距離、高度和角度等方面.難點(diǎn)透視例1已知RtABC中,C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正確的是A、2sin3B=B、2cos3B=C、23tgB=D、23ctgB=【考點(diǎn)要求】本題考查銳角三角函數(shù)的概念。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目所給條件,可畫出直角三角形,結(jié)合圖形容易判斷23是B的正切值。【答案】選C。【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生會(huì)直接憑想象判斷并選擇結(jié)果,從

3、而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。突破方法:這類題目本身難度不大,但卻容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,關(guān)鍵是要畫出圖形,結(jié)合圖形進(jìn)行判斷更具直觀性,可減少錯(cuò)誤的發(fā)生。例2某山路坡面坡度1:399i=,某人沿此山路向上前進(jìn)200米,那么他在原來基礎(chǔ)上升高了_米.【考點(diǎn)要求】本是考查坡度與坡角正切值關(guān)系。 【思路點(diǎn)撥】坡度1:399i =即坡角的正切值為1399,所以坡角的正弦值可求得等于120,所以沿著山路前進(jìn)200米,則升高200×120=10(米。 【答案】填10?！痉椒c(diǎn)撥】少數(shù)學(xué)生因?yàn)槲茨苷_理解坡度的意義,而出現(xiàn)使用錯(cuò)誤。突破方法:牢記坡度1:399i =表示坡角的正切值即坡角的對邊:坡角的鄰邊=1399,然后

4、再結(jié)合直角三角形,可求出坡角的正弦值,從而容易求得結(jié)果。 例3如圖8-1,在ABC 中,C =90°,點(diǎn)D 在BC 上,BD =4,AD =BC ,cos ADC=35 .求:(1DC 的長;(2sinB 的值. 【考點(diǎn)要求】本題考查銳三角函數(shù)概念的相關(guān)知識及其簡單運(yùn)用。【思路點(diǎn)撥】(1在Rt ABC 中,cos ADC =35=CD AD ,設(shè)CD =3k ,AD =5k 又BC =AD ,3k+4=5k ,k =2. CD =3k =6(2BC =3k +4=6+4=10,AC =22AD CD -=4k =8AB =2222810241AC BC +=+=sinB=844141

5、241AC AB = 【答案】(1CD =6;(2sinB=44141。圖8-1【方法點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是抓住“AD =BC ”這一相等的關(guān)系,應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理解題.例4如圖所示,秋千鏈子的長度為3m ,靜止時(shí)的秋千踏板(大小忽略不計(jì)距地面0.5m .秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí),若最大擺角(擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角約為53,則秋千踏板與地面的最大距離約為多少?(參考數(shù)據(jù):53sin 0.8,53cos 0.6【考點(diǎn)要求】本題考查利用銳角三角函數(shù)知識和解直角三角形解決實(shí)際生活中的直角三角形問題.【思路點(diǎn)撥】設(shè)秋千鏈子的上端固定于A 處,秋千踏板擺動(dòng)到最 高位置時(shí)踏板位于B 處.過點(diǎn)A ,

6、B 的鉛垂線分別為AD ,BE ,點(diǎn)D ,E 在地面上,過B 作BC AD 于點(diǎn)C .在Rt ABC 中,3=AB ,=53CAB , AC =53cos 36.03=1.8(m . CD BE =7.1(m . 【答案】秋千擺動(dòng)時(shí)踏板與地面的最大距離約為7.1m .【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生想直接求出踏板離地最高的距離即BE ,但卻缺少條件。突破方法:通過作輔助線,將BE 轉(zhuǎn)化到CD 位置上,根據(jù)題目所給條件容易求出AC ,從而可求得CD 的長。解題關(guān)鍵:利用解直角三角形求解實(shí)際問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹苯侨切?。?如圖8-5,一條漁船某時(shí)刻在位置A 觀測燈塔B 、C(燈塔B距離A 處較近,兩個(gè)

7、燈塔恰好在北偏東65°45的方向上,漁船向正東方向航行l(wèi) 小時(shí)45分鐘之后到達(dá)D 點(diǎn),觀測到燈塔B 恰好在正北方向上,已知兩個(gè)燈塔之間的距離是12海里,漁船的速度是16海里/時(shí),又知在燈塔C 周圍18.6海里內(nèi)有暗礁,問這條漁船按原來的方向繼續(xù)航行,有沒有觸礁的危險(xiǎn)? 0.5m 53 3m 圖8-3-1 圖8-3-2 圖8-4EA CB D 北 東【考點(diǎn)要求】本題考查解直角三角形在航海問題中的運(yùn)用,解決這類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相關(guān)的直角三角形幫助解題.【思路點(diǎn)撥】在RtABD中,716284AD=(海里,BAD=90°-65°45=24°15.cos24&

8、#176;15=ADAB,2830.71cos24150.9118ADAB='(海里.AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里.在RtACE中,sin24°15=CE AC,CE=AC·sin24°15=42.71×0.4107=17.54(海里.17.54<18.6,有觸礁危險(xiǎn)?！敬鸢浮坑杏|礁危險(xiǎn),不能繼續(xù)航行?！痉椒c(diǎn)撥】本題有兩個(gè)難點(diǎn),一是要能將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,二是構(gòu)造合適的直角形。突破方法:有無觸礁危險(xiǎn),關(guān)鍵看離燈塔C最近的距離與18.6的大小關(guān)系,如果最近的距離大于18.6,則不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)。解題關(guān)鍵:離燈塔最

9、近的距離是從燈塔向航線作垂線段。例6某數(shù)學(xué)興趣小組,利用樹影測量樹高.已測出樹AB的影長AC為9米,并測出此時(shí)太陽光線與地面成30°夾角.(1求出樹高AB;(2因水土流失,此時(shí)樹AB沿太陽光線方向倒下,在傾倒過程中,樹影長度發(fā)生了變化,假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變,試求樹影的最大長度.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):21.414,31.732B B【考點(diǎn)要求】本題考查解直角三角形在測量中的實(shí)際運(yùn)用.【思路點(diǎn)撥】(1在Rt A BC 中,BAC =90°,C =30°tanC =AB AC AB =AC·tanC =9×335.2(米 (2

10、以點(diǎn)A 為圓心,以AB 為半徑作圓弧,當(dāng)太陽光線與圓弧相切時(shí)樹影最長,點(diǎn)D 為切點(diǎn),DE AD 交AC 于E 點(diǎn),(如圖2在Rt ADE 中,ADE =90°,E =30°,AE =2AD =2×5.2=10.4(米【答案】樹高AB 約為5.2米,樹影有最長值,最長值約為10.4米?！痉椒c(diǎn)撥】部分學(xué)生第(1問沒有太大困難,第(2問中樹在傾倒過程中,確定何處樹影最長比較困難。突破方法:以A 為圓心,AB 為半徑作圓弧,其中與圓弧相切的太陽光線所照射得到的樹影最長。解題關(guān)鍵:如何用直觀的方式將樹傾倒過程體現(xiàn)出來,這是解決該題的關(guān)鍵所在。例7初三(5班綜合實(shí)踐小組去湖

11、濱花園測量人工湖的長, 如圖1A 、D 是人工湖邊的兩座雕塑,AB 、BC 是湖濱花園的小路,小東同學(xué)進(jìn)行如下測量,B 點(diǎn)在A 點(diǎn)北偏東60o 方向,C 點(diǎn)在B點(diǎn)北偏東45o 方向,C 點(diǎn)在D 點(diǎn)正東方向,且測得AB=20米,BC=40米,求AD 的長.(414.12,732.13,結(jié)果精確到0.01米 【考點(diǎn)要求】本題考查解直角三角形在實(shí)際生活當(dāng)中的綜合圖8-6-1運(yùn)用.要求學(xué)生能根據(jù)問題實(shí)際快速確定正確解決問題的方法. 【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)B 作BE D ,BF D ,垂足分別為E ,F ,如圖2 由題意知,AD CD 四邊形BFDE 為矩形 BF=ED在Rt ABE 中,AE=AB·

12、;cos EAB 在Rt BCF 中,BF=BC·cos FBC AD=AE+BF=20·cos60o +40·cos45o =22402120+=22010+ =10+20×1.414 =38.28(米 【答案】38.28米?！痉椒c(diǎn)撥】部分學(xué)生知道需要利用解直角三角形來解題,但卻又不知從何處入手。突破方法:在無法直接求出AD 長的情況下,可考慮分段計(jì)算,也就是構(gòu)造多個(gè)直角三角形,化整為零,各個(gè)突破,再積零為整,求得結(jié)果。難點(diǎn)突破方法總結(jié)銳角三角函數(shù)與解直角三角形在近年的中考中,難度比以前有所降低,與課改相一致的是提高了應(yīng)用的要求,強(qiáng)調(diào)利用解直角三角形

13、知識解決生活實(shí)際中的有關(guān)測量、航海、定位等方面的運(yùn)用。因此,在本專題中,有以下幾點(diǎn)應(yīng)加以注意。1.正確理解銳三角函數(shù)的概念,能準(zhǔn)確表達(dá)各三角函數(shù),并能說出常用特殊角的三角函數(shù)值。2.在完成銳角三角函數(shù)的填空、選擇題時(shí),要能根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形,結(jié)合圖形解題更具直觀性。3.能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的直角三角形問題,即把實(shí)際問題抽象為幾何問題,研究圖形,利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等解決生活問題。4.注重基礎(chǔ),不斷創(chuàng)新,掌握解直角三角形的基本技能,能靈活應(yīng)對在測量、航海、定位等現(xiàn)代生活中常見問題,這也是以后中考命題的趨勢。圖8-6-2拓展練習(xí)一、填空題1.如圖,如果APB 繞點(diǎn)B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30

14、°后得到A 'P 'B ,且BP =2,那么PP '的長為_. (不取近似值. 以下數(shù)據(jù)供解題使用:sin15°=624-,cos15°=624+ 2.用計(jì)算器計(jì)算: .(精確到0.013.如圖,在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路,從甲地測得公路的走向是北偏東48°.甲、乙兩地間同時(shí)開工,若干天后,公路準(zhǔn)確接通,則乙地所修公路的走向是南偏西 度.4.如圖,機(jī)器人從A 點(diǎn),沿著西南方向,行了個(gè)42單位,到達(dá)B 點(diǎn)后觀察到原點(diǎn)O 在它的南偏東60°的方向上,則原來A 的坐標(biāo)為 (結(jié)果保留根號.5.求值:sin 260°

15、;+cos 260°= .6.在直角三角形ABC 中,A=090,BC=13,AB=12,那么tan B = .7.根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù),求得避雷針CD 的長約為_m (結(jié)果精確的到0.01m .(可用計(jì)算器求,也可用下列參考數(shù)據(jù)求:sin43°0.6802,sin40°0.6428,cos43°0.7341,cos40°0.7660,tan43°0.9325,tan40°0.8391第4題圖xOAy B第1題圖北甲北乙第3題圖CD8.如圖,自動(dòng)扶梯AB 段的長度為20米,傾斜角A 為,高度BC 為 米(結(jié)果用含的三角比表示.

16、二、選擇題9.在ABC 中,C =900,AC =BC =1,則tanA 的值是( A .2 B .22C .1D .2110.在Rt ABC 中,CD 是斜邊AB 上的高線,已知ACD 的正弦值是32,則ABAC 的值是( A .52 B .53 C .25D .3211.如圖,梯子AB 靠在墻上,梯子的底端A 到墻根O 的距離為2米,梯子的頂端B 到地面的距離為7米.現(xiàn)將梯子的底端A 向外移動(dòng)到A ',使梯子的底端A '到墻根O 的距離等于3米,同時(shí)梯子的頂端B 下降到B ',那么B B '( A .等于1米B .大于1米C .小于1米D .不能確定 12.

17、如圖,延長Rt ABC 斜邊AB 到D 點(diǎn),使BD =AB ,連結(jié)CD ,若cot BCD =3,則tanA =( A .23B .1C .31D .32三、解答題ACB第6題圖B 'A '第3題圖OBA 第11題圖4題圖CDBA第12題圖13.已知等腰梯形ABCD 中,AD +BC =18cm ,sin ABC =352,AC 與BD 相交于點(diǎn)O ,BOC =1200,試求AB 的長. 14.如圖,河對岸有一鐵塔AB .在C 處測得塔頂A 的仰角為30°,向塔前進(jìn)16米到達(dá)D ,在D 處測得A 的仰角為45°,求鐵塔AB 的高.15.如圖,我市某廣場一燈柱

18、AB 被一鋼纜CD 固定,CD 與地面成40°夾角,且DB=5m ,則BC 的長度是多少?現(xiàn)再在C 點(diǎn)上方2m 處加固另一條鋼纜ED ,那么鋼纜ED 的長度為多少?(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字【參考數(shù)據(jù):1918.140,8391.040,7660.040cos ,6428.040sin = ctg tg 】習(xí)題答案專題七銳角三角函數(shù)與解直角三角形3圖 GFEODCBA第13題圖第15題圖第16題圖一、填空題1.62-(點(diǎn)撥:連結(jié)PP ',過點(diǎn)B 作BD PP ',因?yàn)镻BP '=30°,所以PBD=15°,利用sin15°=6243.

19、48(點(diǎn)撥:根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等判斷4.(0,4433+(點(diǎn)撥:過點(diǎn)B 作BC AO ,利用勾股定理或三角函數(shù)可分別求得AC 與OC 的長5.1(點(diǎn)撥:根據(jù)公式sin 2+cos 2=16.125(點(diǎn)撥:先根據(jù)勾股定理求得AC=5,再根據(jù)tan AC B ABAB=,求得sin BC AB = 二、選擇題 9. C 10.D11.C (點(diǎn)撥:利用勾股定理先求出AB 的長,再求出B B '的長12.A (點(diǎn)撥:過點(diǎn)D 作DE CB 的延長線于點(diǎn)E ,易證得ACB 與DEB 全等,所以A=BDE ,BC=BE 。又因?yàn)閏ot BCD =3,所CE=3DE ,所tanA=tan BDE=