第3講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第3講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)一、選擇題1若函數(shù)yf(x)可導(dǎo)，則“f(x)0有實(shí)根”是“f(x)有極值”的 ()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A2已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)解析f(x)3x22ax(a6)，因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值，所以f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以4a24×3(a6)0，解得a3或a6.答案B3設(shè)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，f(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所示的是yx·f(x)的圖象的一部分，則f(x)的極

2、大值與極小值分別是 ()Af(1)與f(1) Bf(1)與f(1)Cf(2)與f(2) Df(2)與f(2)解析由圖象知f(2)f(2)0.x>2時(shí)，yx·f(x)>0，f(x)>0，yf(x)在(2，)上單調(diào)遞增；同理f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2,2)上單調(diào)遞減，yf(x)的極大值為f(2)，極小值為f(2)，故選C.答案C4設(shè)aR，函數(shù)f(x)exa·ex的導(dǎo)函數(shù)是f(x)，且f(x)是奇函數(shù)若曲線yf(x)的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()Aln2 Bln2C. D.解析 f(x)exaex，這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在0處有定

3、義，所以f(0)0，故只能是a1.此時(shí)f(x)exex，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，則ex0ex0，即2(ex0)23ex020，即(ex02)(2ex01)0，只能是ex02，解得x0ln2.正確選項(xiàng)為A.答案 A 5設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為yf(x)的圖象是()解析若x1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則易得ac.因選項(xiàng)A、B的函數(shù)為f(x)a(x1)2，則f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，滿足條件；選項(xiàng)C中，對(duì)稱軸x0，且開口向下，a0，b0，f(1)2a

4、b0，也滿足條件；選項(xiàng)D中， 對(duì)稱軸x1，且開口向上，a0，b2a，f(1)2ab0，與 圖矛盾，故答案選D.答案D6已知函數(shù)f(x)x32bx2cx1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x12，1，x21,2，則f(1)的取值范圍是 ()A. B.C3,12 D.解析因?yàn)閒(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，所以f(x)3x24bxc0有兩個(gè)根x1，x2，且x12，1，x21,2，所以即畫出可行域如圖所示因?yàn)閒(1)2bc，由圖知經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)時(shí)，f(1)取得最小值3，經(jīng)過點(diǎn)C(0，12)時(shí)，f(1)取得最大值12，所以f(1)的取值范圍為3,12答案C二、填空題7函數(shù)f(x)x22ln x的最小值為_

5、解析由f(x)2x0，得x21.又x0，所以x1.因?yàn)?x1時(shí)，f(x)0，x1時(shí)f(x)0，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取極小值(極小值唯一)也即最小值f(1)1.答案18若f(x)x33ax23(a2)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍_解析f(x)3x26ax3(a2)，由已知條件>0，即36a236(a2)>0，解得a<1，或a>2.答案(，1)(2，)9已知函數(shù)f(x)mx3nx2的圖象在點(diǎn)(1,2)處的切線恰好與直線3xy0平行，若f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_解析由題意知，點(diǎn)(1,2)在函數(shù)f(x)的圖象上，故mn2.又f(x)3mx

6、22nx，則f(1)3，故3m2n3.聯(lián)立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2x0，則t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1答案2，110已知函數(shù)f(x)ln x，若函數(shù)f(x)在1，)上為增函數(shù)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析f(x)ln x，f(x)(a>0)，函數(shù)f(x)在1，)上為增函數(shù)，f(x)0對(duì)x1，)恒成立，ax10對(duì)x1，)恒成立，即a對(duì)x1，)恒成立，a1.答案1，)三、解答題11已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點(diǎn)x0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過(1,0)，(2,0)點(diǎn)，如圖所示(1)求x0的值；(2)求a，b，

7、c的值解析(1)由f(x)隨x變化的情況x(，1)1(1,2)2(2，)f(x)00可知當(dāng)x1時(shí)f(x)取到極大值5，則x01(2)f(x)3ax22bxc，a>0由已知條件x1，x2為方程3ax22bxc0，的兩根，因此解得a2，b9，c12.12某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解(1)因?yàn)閤5時(shí)，y11

8、，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)所以，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大13設(shè)函數(shù)f(x)x3bx2cxd(a&

9、gt;0)，且方程f(x)9x0的兩根分別為1,4.(1)當(dāng)a3且曲線yf(x)過原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)內(nèi)無極值點(diǎn)，求a的取值范圍解由f(x)x3bx2cxd得f(x)ax22bxc.因?yàn)閒(x)9xax22bxc9x0的兩個(gè)根分別為1,4，所以(*)(1)當(dāng)a3時(shí)，由(*)式得解得b3，c12.又因?yàn)榍€yf(x)過原點(diǎn)，所以d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a>0，所以f(x)x3bx2cxd在(，)內(nèi)無極值點(diǎn)等價(jià)于f(x)ax22bxc0在(，)內(nèi)恒成立由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)，由得a1,9即a的取

10、值范圍是1,914已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(1)ex1f(0)xx2.(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)x2axb，求(a1)b的最大值解(1)由已知得f(x)f(1)ex1f(0)x.所以f(1)f(1)f(0)1，即f(0)1.又f(0)f(1)e1，所以f(1)e.從而f(x)exxx2.由于f(x)ex1x，故當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0.從而，f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增(2)由已知條件得ex(a1)xb.(i)若a1<0，則對(duì)任意常數(shù)b，當(dāng)x<0，且x<時(shí)，可得ex(a1)x<b，因此式不成立(ii)若a10，則(a1)b0.(iii)若a1>0，設(shè)g(x)ex(a1)x，則g(x)ex(a1)當(dāng)x(，ln(a1)時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x(ln(a1)，)時(shí)，g(x)>0.從而g(x)在(，ln(a1)上單調(diào)遞減，在(ln(a1)，)上單調(diào)遞增故g(x)有最小值g(ln(a1)a1(a1)ln(a1)所以f(x)x2axb等價(jià)于ba1(a1)