材料力學(xué)-第四章扭轉(zhuǎn)_1

1、第五章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)一、扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例一、扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例5-1 5-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念一、扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例一、扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例5-1 5-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念一、扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例一、扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例5-1 5-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念螺旋槳軸螺旋槳軸受力特征：受力特征：桿受轉(zhuǎn)向相反的力偶矩作用，力偶桿受轉(zhuǎn)向相反的力偶矩作用，力偶作用面垂直于軸線。作用面垂直于軸線。變形特征：變形特征：橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭轉(zhuǎn)：橫截面繞軸線（縱向線）作相對(duì)旋轉(zhuǎn)為主要特征的變形形式。扭轉(zhuǎn)角：橫截面繞軸線（縱向線）相對(duì)角位移。外力偶(moment)：垂直于桿件軸線（縱向線）的橫截面內(nèi)

2、(往往在端部）的力偶。扭矩(Torque)：垂直于桿件軸線（縱向線）的橫截面內(nèi)的力偶。二、外力偶矩的計(jì)算二、外力偶矩的計(jì)算設(shè)某輪傳遞的功率設(shè)某輪傳遞的功率P P（kWkW），軸的轉(zhuǎn)速是），軸的轉(zhuǎn)速是n (r/minn (r/min）1)( 601000=kWPW2)( 2= enMW功率功率P P（kWkW）-每秒鐘做的功。每秒鐘做的功。則每分鐘做功為則每分鐘做功為外力偶外力偶 M Me e 每分鐘做的功為：每分鐘做的功為：.(1)=(2) 1000 60=2ekWN mPn M得kW9549r/minN meePPMnnMPS7024r/minN meePPMnnM(4-1)最大功率一般用馬

3、力 (PS)或千瓦(kw)來(lái)表示。1馬力等于0.735千瓦5-2 5-2 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖Tm Tm扭矩扭矩 例例5-15-1圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪A A輸入功率輸入功率N NA A=50 =50 馬力，從馬力，從動(dòng)輪動(dòng)輪B B、C C、D D輸出功率分別為輸出功率分別為 N NB B=N=NC C=15=15馬力馬力 ，N ND D=20=20馬馬力，軸的轉(zhuǎn)速為力，軸的轉(zhuǎn)速為n=300n=300轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分。作軸的扭矩圖。分。作軸的扭矩圖。eMT nneMT 扭矩T的符號(hào)規(guī)定：r/min300=PS20PS15PS50nNNNNDCBA解：解：mN11703005070

4、247024nNMAAmN4683002070247024mN3513001570247024nNMnNMMCDBCBmN3511BMTmN702)(2CBMMTmN4683DMTmN1170mN351 mN351 mN468T(N m)TTT123351702468 N mN mN m5-3 5-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn) 受扭前在其表面上用圓周線受扭前在其表面上用圓周線nnnn，mmmm和縱向線畫(huà)成方和縱向線畫(huà)成方格格, ,然后加載，觀察方格變形情況。然后加載，觀察方格變形情況。eMeMnnmm觀察現(xiàn)象觀察現(xiàn)象(1) 圓周線的形狀、大小及圓

5、周線之間的距離沒(méi)有改變（平圓周線的形狀、大小及圓周線之間的距離沒(méi)有改變（平面面nn，mm仍保持平行）。仍保持平行）。rl(2) (2) 縱向線傾斜了同一微小角度縱向線傾斜了同一微小角度mmnn(3)(3)方格變?yōu)樾崩庑?。設(shè)想方格變?yōu)樾崩庑?。設(shè)想:mm:mm相對(duì)相對(duì)nnnn轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), ,方格兩方格兩邊發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，但兩對(duì)邊之間距離不變，圓筒邊發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，但兩對(duì)邊之間距離不變，圓筒半徑尺寸不變。半徑尺寸不變。根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象, ,可得結(jié)論：可得結(jié)論： 圓筒橫截面上只有剪應(yīng)力，圓筒橫截面上只有剪應(yīng)力，而無(wú)正應(yīng)力。由于壁很簿，可而無(wú)正應(yīng)力。由于壁很簿，可認(rèn)為剪應(yīng)力認(rèn)為剪應(yīng)力 沿簿壁均

6、勻分布，沿簿壁均勻分布，方向垂直于半徑與周線相切。方向垂直于半徑與周線相切。 剪應(yīng)力在截面上均勻分布，剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑與周線相切。方向垂直于半徑與周線相切。TT?eMeM剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理dxdyyxxyd)d(d)d(微元體微元體 單元體單元體純剪切：?jiǎn)卧w上只純剪切：?jiǎn)卧w上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力。有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力。剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理 : : 在相互垂直在相互垂直的兩個(gè)平面上的兩個(gè)平面上, ,剪應(yīng)力一定成對(duì)剪應(yīng)力一定成對(duì)出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時(shí)出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時(shí)指向或背離兩平面的交線。指向或背離兩平面的交線。(5-3)根據(jù)精確的理論分析根

7、據(jù)精確的理論分析, ,當(dāng)當(dāng) r/10r/10時(shí)時(shí), ,上式的誤差不上式的誤差不超過(guò)超過(guò)4.52%,4.52%,是足夠精確的。是足夠精確的。TArAdAddA2rrT 22 rTr02AT(5-2)二二. . 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力扭轉(zhuǎn)應(yīng)力三三. . 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角rl3/.2TllrGr四、剪切胡克定律四、剪切胡克定律 在純剪狀態(tài)下，在純剪狀態(tài)下，單元體相對(duì)兩側(cè)面將單元體相對(duì)兩側(cè)面將發(fā)生微小的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，發(fā)生微小的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，原來(lái)互相垂直的兩個(gè)原來(lái)互相垂直的兩個(gè)棱邊的夾角改變了一棱邊的夾角改變了一個(gè)微量個(gè)微量 。 兩正交線段的直兩正交線段的直角改變量角改變量剪應(yīng)變。剪應(yīng)變。 薄壁圓筒的實(shí)驗(yàn)薄壁圓筒的實(shí)驗(yàn), , 證

8、明剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在證明剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在著象拉壓胡克定律類似的關(guān)系：當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材著象拉壓胡克定律類似的關(guān)系：當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料剪切比例極限料剪切比例極限p p, ,即當(dāng)即當(dāng)p p時(shí)，時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比。成正比。該式稱為該式稱為剪切胡克定律剪切胡克定律。 G材料常數(shù)：材料常數(shù)：剪切彈性模量剪切彈性模量G G拉壓彈性模量拉壓彈性模量E E泊松比泊松比GE2 1 ()(5-4) G gs_4_2 剪切胡克定律剪切胡克定律 （42）剪切胡克定律式中G剪切彈性模量；剪應(yīng)變。gs_4_3材料彈性常數(shù)之間關(guān)系材料彈性常數(shù)之間關(guān)系 )1(2 EG （43）gs_4_4 剪切彈

9、性應(yīng)變能密度剪切彈性應(yīng)變能密度 Gu2212 （44）5-4 5-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力. .強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件一、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系三種關(guān)系：物理關(guān)系三種關(guān)系：物理關(guān)系變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系1.1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 觀察到下列現(xiàn)象觀察到下列現(xiàn)象: :(1)(1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒(méi)變化各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒(méi)變化(2)(2)縱向線仍近似為直線縱向線仍近似為直線, , 但都傾斜了同一角度但都傾斜了同一角度（3 3）表面方格變?yōu)榱庑巍＃┍砻娣礁褡優(yōu)榱庑?。平截面假設(shè)：平截面假

10、設(shè)： 變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。dddrx 外表面 ddx xddxrdd橫截面上距形心為橫截面上距形心為 的任一點(diǎn)處應(yīng)變的任一點(diǎn)處應(yīng)變 剪應(yīng)力方向垂直于半徑。剪應(yīng)力方向垂直于半徑。根據(jù)剪切胡克定律根據(jù)剪切胡克定律, , 當(dāng)剪當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí) G Gxdd(a)(b)2. 物理關(guān)系物理關(guān)系3.3.靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系dAdAoTAAdTAxGAdddGxATAddd2則ddxTG IpIApA2d極慣性矩(5-5)maxmax

11、 GxddmaxmaxTIp GTG IppITTWt)(max抗扭截面模量ptIW 由由(b)(b)式：式：（5-6）（5-7）dotpWI 和抗扭截面模量圓與圓環(huán)的極慣性矩. 42/02d2dpI42/24d324dIpWItpmax2/dIpd316(5-8)(5-9)（5-10）(5-11)/2244/22d()32DpdIDd 44(1)32pID34max(1)16ptIDW 例例5-25-2內(nèi)外徑分別為內(nèi)外徑分別為20mm20mm和和40mm40mm的空心圓截面的空心圓截面軸，受扭矩軸，受扭矩T=1kNT=1kNm m作用，計(jì)算橫截面上作用，計(jì)算橫截面上A A點(diǎn)的剪應(yīng)點(diǎn)的剪應(yīng)力及

12、橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。解：解：AApTI)5 . 01 (3204. 0015. 0100044MPa66.63AmaxTWt)5 . 01 (1604. 0100043MPa88.84maxMPa44.422010maxmin 例例5-35-3一實(shí)心軸直徑為一實(shí)心軸直徑為D D1 1，另一空心軸內(nèi)外，另一空心軸內(nèi)外徑之比徑之比d d2 2D D2 20.80.8，若兩軸橫截面上的扭，若兩軸橫截面上的扭矩相同，且最大剪應(yīng)力相等。求兩軸外直徑之比矩相同，且最大剪應(yīng)力相等。求兩軸外直徑之比D D2 2/D/D1 1。解：由解：由)8 . 01 (1616432

13、31maxDTDT192. 18 . 0113412DD得：得： 例例5-45-4一厚度為一厚度為30mm30mm、內(nèi)直徑為、內(nèi)直徑為230mm 230mm 的空心圓管，的空心圓管，承受扭矩承受扭矩T=180 kNT=180 kNm m 。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用：。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用： (1)(1)薄壁管的近似理論；薄壁管的近似理論；(2)(2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：解：(1) (1) 利用薄壁管的近似理論可求得利用薄壁管的近似理論可求得trT2max216/)1 (4maxDT (2) (2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得16/29. 0 )29

14、0/230(1 1018034318010201300332. 565 . MPaMPa2 .62max %9/ )(maxmaxmax 二二. .斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力dxdyxn 0F0cossinsincosdAdAdAsin2 0Fcos2max45omin45o(5-12)三三. .強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件1.1.塑性與脆性材塑性與脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞料的扭轉(zhuǎn)破壞低碳鋼平齊斷口低碳鋼平齊斷口鑄鐵斜螺旋線斷口鑄鐵斜螺旋線斷口2.2.強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 pTW 即 (3)(3)確定許可載荷確定許可載荷: :(1)(1)校核桿的強(qiáng)度校核桿的強(qiáng)度: :已知已知T T、I Ip p、 ，驗(yàn)算構(gòu)件是否

15、滿，驗(yàn)算構(gòu)件是否滿足強(qiáng)度條件；足強(qiáng)度條件；(2)(2)設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面: :已知已知 、 , ,按強(qiáng)度條件，求按強(qiáng)度條件，求A A；max（5-13） 例例5-5 5-5 如圖所示階梯狀圓軸，如圖所示階梯狀圓軸，ABAB段直徑段直徑d d1 1=120mm=120mm，BCBC段直徑段直徑d d2 2=100mm=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩為。扭轉(zhuǎn)力偶矩為M MA A=22kN.m=22kN.m，M MB B=36kN=36kNm m，Mc=14kNMc=14kNm m。已知材料的許用剪應(yīng)力。已知材料的許用剪應(yīng)力 ，試校核試校核該軸的強(qiáng)度。該軸的強(qiáng)度。MPa80解：解： 求得兩段的扭矩，求得兩段的

16、扭矩，并繪出扭矩圖。并繪出扭矩圖。ABAB段之扭矩比段之扭矩比BCBC段之扭段之扭矩大，但兩段軸的直徑矩大，但兩段軸的直徑不同，需要分別校核兩不同，需要分別校核兩段軸的強(qiáng)度。段軸的強(qiáng)度。ABAB段段)(1084.6416/12. 010226max33maxPaWTpBCBC段段)(103 .7116/1 . 010146max33maxPaWTp該軸滿足強(qiáng)度條件的要該軸滿足強(qiáng)度條件的要求。求。5-55-5圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件dddxTGIpddTGIxpdplTxGI若，則TT lG IpconstlN lE A比較拉壓變形：公式適用條件：1）當(dāng)p（剪切比例極限）

17、公式才成立2）僅適用于圓桿（平面假設(shè)對(duì)圓桿才成立）4）對(duì)于小錐度圓桿可作近似計(jì)算3）扭矩、面積沿桿軸不變（T、Ip為常量）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件和剛度條件rad m/m強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件： 剛度條件：剛度條件： 例例5-65-6在強(qiáng)度相同的條件下，用在強(qiáng)度相同的條件下，用d/D=0.5d/D=0.5的空心圓軸的空心圓軸取代實(shí)心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少取代實(shí)心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少? ?解：設(shè)實(shí)心軸的直徑為解：設(shè)實(shí)心軸的直徑為 d d1 1 ，由，由TdT.)Dd11022 .得：得：AADd空實(shí)2212410540783(.)

18、.0.80.81.1920.80.512 例例5-7一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強(qiáng)度計(jì)算）。（按強(qiáng)度計(jì)算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面，面 積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)榉e增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ，最最 大許可扭矩為大許可扭矩為1由TDTD113434161161()()

19、 由得DDDD1222214105241052(.)(.)得TTDD1133/222828 .例例5-8一空心軸一空心軸=d/D=0.8，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速n=250r/m, 功率功率N=60kW， =40MPa，求軸的外直徑，求軸的外直徑D和內(nèi)直徑和內(nèi)直徑d。解：解：mNn9549954960250229176.N m由mDD34346161229176161084010().(.)得D 791 . mm ,.d 633 mm 例例5-95-9圓截面橡膠棒的直徑圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,d=40mm,受扭后受扭后, ,原來(lái)表面原來(lái)表面上的圓周線和縱向線間夾角由上的圓周線和縱向線間夾角由 909

20、0變?yōu)樽優(yōu)?8888。如桿。如桿長(zhǎng)長(zhǎng) l=300mml=300mm，試求兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的，試求兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量剪變模量G=2.7MPaG=2.7MPa，試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿，試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩。端的外力偶矩。解：解：ld2得 ld2max G272180.MPa09425.0maxteWMmax009425100041663.mN18. 1eM402300230 例例5-105-10傳動(dòng)軸傳遞外力偶矩傳動(dòng)軸傳遞外力偶矩M Me e5kN5kNm,m,材料的材料的=30MPa, G=80GPa, =0.5=30MPa, G=80G

21、Pa, =0.5/m,/m,試選擇試選擇軸的直徑。軸的直徑。解：解：由500016301036d得d 947 . mm由50008010321800594d.得 d 924 . mmACB122解：解：1、繪扭矩圖：、繪扭矩圖：mkNMMTAB.26412mkNMTBC.42TX4(kNm)22 2、計(jì)算、計(jì)算I IP P： 例例5-115-11空心圓軸，外徑空心圓軸，外徑0.0.，內(nèi)徑，內(nèi)徑0.08m0.08m AB=L AB=L0.5m0.5m，M M4 4.m.m， M M6 6.m.m，求，求C C截面對(duì)截面對(duì)A A、B B截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。464444108 . 5

22、)8 . 01 (1 . 03232)1 (mDIP3 3、計(jì)算相對(duì)扭轉(zhuǎn)角、計(jì)算相對(duì)扭轉(zhuǎn)角02693124. 010216. 0108 . 5108010)42(5 . 0)(radTTGIlGIlTGIlTBCABPPBCBCPABABBCABAC02693247. 010431. 0108 . 510801045 . 0radGIlTPBCBCBC“+”“+”號(hào)表示面向號(hào)表示面向C C截面觀察時(shí)，該截面相對(duì)于截面觀察時(shí)，該截面相對(duì)于A A（或（或B B）截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。mmldxxmlmT0解：計(jì)算扭矩、繪扭矩圖解：計(jì)算扭矩、繪扭矩圖：mxmlTT 例例5-125-12圓截面桿圓截面桿ABAB左左端固定，承受均布力偶端固定，承受均布力偶作用，其力偶矩作用，其力偶矩 集度集度（單位長(zhǎng)度上的力偶矩）（單位長(zhǎng)度上的力偶矩）為為m=20Nm/mm=20Nm/m，已知直徑，已知