數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法、公式法ai 2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例1已知數(shù)列an滿足an12an32n,解:an12an32n兩邊除以2n1,得手以曳21為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,2122亙32n2'，得亙2n故數(shù)列2是2n1(n1)|,2一31c所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(3n1)2n。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1 2an2n轉(zhuǎn)化為節(jié)an2n為是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出1)3 ,進(jìn)而求出數(shù)列2an的通項(xiàng)公式。二、累加法例2已知數(shù)列an滿足an1 an 2n 1, a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由an1an2n1得an1an

2、2n1則an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a12(n1)12(n2)1L(221)(211)12(n1)(n2)L21(n1)12(n1)12(n1)(n1)12n2所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1an2n1轉(zhuǎn)化為an1an2n1,進(jìn)而求出(anan1)(an1an2)L(a3a?)a1)a1，即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列an滿足an1an23n1,ai3,求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。an1anan1nan231an(an(2312(3n1an1)(an1n11)13n2(2L所以3n32n2)21)；31)(n(a3(21)a2)

3、32(a21)a1)(231a11)323(13n1)3n3nan3n(n1.1)3評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式anan1轉(zhuǎn)化為nan1an231,進(jìn)而求出an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例4已知數(shù)列an滿足an13an3n1,a13,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：ann3an231兩邊除以3n1an13n13nan23n3an3n令(32(n3an1)anJ1)(an1(3(3nan113n113nan2)驢)(313n1(an2(*1、an3)*)因此an3n2(n1)3n1)則an3n3n丁)1.L3n2n3(冬電)色323131

4、)3323L3n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 13an23n1轉(zhuǎn)化為aOn-1333進(jìn)而求出自費(fèi))(于On-4)3333an2(浮鼠)l仔學(xué)即得數(shù)列an3n的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。三、累乘法例5已知數(shù)列an滿足an 12(n1)5nan,a13,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n12(n1)5nan,al3,所以an0,則-2(n1)5n,故anananan1a3a2-Laan1an2a2a12(n11)5"12(n21)52L2(21)522(11)5132n1n(n1)L325(n1)(n2)L213n(n1)32n15k可n(n1)所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式

5、為an32n15n!.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an2( n 1)5n an轉(zhuǎn)化為免 an2(n 1)5n，進(jìn)而求,aaaa9出-上La1,即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an1an2a2a1例6( 2004年全國I第15題，原題是填空題)已知數(shù)列 an滿足a11,ana12a23a3L(n1)an1(n2),求an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍na12a23a3L(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3L(n1)an1nan用式一式得an1annan.(n1)an(n2)故電ann 1(n 2)所以an旦亙l曳a2n(n1)L43同n!a2.an1an2a22由ana12a23a3L(n1)a

6、n1(n2),取n2得22a12a2,貝Ua2a1,又知n!ai1,則a21,代入得an1345Ln一。2n!所以，an的通項(xiàng)公式為an.2a評汪：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1(n1)an(n2)轉(zhuǎn)化為n1(n2),an進(jìn)而求出-a-皿L%a2,從而可得當(dāng)n2時，an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列an的an1an2a2通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列an滿足an12an35n,a16,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an1X5n12(anX5n)將an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式兩邊消去2an,得35nx5n12x5n,兩邊除以5n，得35x2x,則x1,代

7、入式得an15n12(an5n)ia5n1由a1516510及式得an5n0,則q2,則數(shù)列an5n是以an5a1511為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an5n2n1,故an2n15n。nn1n、評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式從而可知數(shù)列anan12an35轉(zhuǎn)化為an152(an5),5n是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an5n的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例8已知數(shù)列an滿足an 1 3an 52n4, ai 1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an 1 x2n 1ny 3(an x 2y)將 an 1 3an 52n4代入式，得3an 5 2n 42n 1y 3(an x2ny)整理得

8、(5 2x)2ny 3x 2n 3y。2x 3x 皿,則y 3y5，代入式得2an 12n 13(an5 2n 2)由a1211 1213 0及式,得an2n0,則an 15 2an 5 23,故數(shù)列an 5 2n 2是以a1 5 211 12 13為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列,因此 an 5 2n 2 13 3n 1 ,貝u an133n 15 2n 2。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 13an 5 2n 4轉(zhuǎn)化為an152n123(an52n2),從而可知數(shù)列an52n2是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an52n2的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2例9已知數(shù)列an滿足an12an3

9、n4n5,a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，乙_2_將an12an3n4n5代入式，得221) y(n 1) z 2(an xn yn z),則22an3n4n5x(n222an(3x)n(2xy4)n(xyz5)2an2xn2yn2z等式兩邊消去2an,得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z,3x2xx3解方程組2xy42y，則y10,代入式，得xyz52zz18_2_2an13(n1)10(n1)182(an3n10n18)22由a13110118131320及式，得an3n10n1802則413(n?10(nD1

10、82,故數(shù)列an3n210n18為以an3n210n182a1311011813132為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此_2_n1_n42an3n10n18322，則an23n10n18。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an12an3n24n5轉(zhuǎn)化為22an13(n1)10(n1)182(an3n10n18),從而可知數(shù)列._2_._2_一一an3n10n18是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an3n10n18的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。五、對數(shù)變換法n5例10已知數(shù)列an滿足an123an,a17,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n123na5,a17,所以an0,an10。在an12

11、3na5式兩邊取常用對數(shù)得lgan151gannlg31g2設(shè)1gan1x(n1)y5(1ganxny)xn y),兩邊消去將式代入61式，得5lgannlg3lg2x(n1)y5(lgan5lg an并整理,得(lg3x)n x y lg 2 5xn 5y ,則lg3 x 5xx y lg 2 5ylg34lg3lg2164代入舊式，得lgani嗎n1)蛆幽5(lgan蛆n/螞)nIn41644164幽1蛇監(jiān)蛇1蛇跖°及41644164/日，lg3lg3lg2-得lgann0,4164lg an 1吟n 1) lg3 Jg24 ',164庭n蛆監(jiān) lgan4 n 1645,

12、所以數(shù)列l(wèi)g an比數(shù)列，則lgan監(jiān)幽嗎是以lg7幽/螞為首項(xiàng)，以5為公比的等41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2、n1國匹士一n3一w(lg7w-)5,因此41644164lg3lg3lg2、Ln1lg3lg3lg2lgan(lg7)5n-4164464111n11(lg7lg34lg36lg24)5n1lg3lg3而lg27111n11lg(7343元24)5n1lg(3"3記2")1 11n11lg(73431®24)5n1lg(343G2，)5n1n5n115n11lg(75n13431624)5n4n15n11lg(75n13162丁)

13、5n4n15n11則an75n13162丁評注:本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an123n5一an轉(zhuǎn)化為1gan11gan1g3彳1g3彳(n1)lg31g21g376161g2彳l,1g31g31g2一匕5(1gann),從而可知數(shù)列4164:是等比數(shù)列,1g31g31g2,進(jìn)而求出數(shù)列1gann的通項(xiàng)4164公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an1a；(n1)2a15,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n1a3(n1)2,所以ana3Ta3(21)2n23n232(nan2a3(333(nan3L1)n2(n2)(n1)2)22)(n332(n1)

14、n2(n2)(n1)1)n2(n3)(n2)(n1)3n123LL(n2)(n1)n212LL(n3)(n2)(n1)自n(n1)3n1n!22自又a15,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(3n1n!2一5n1)o評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式an1an(n1)2n兩邊取常用對數(shù)得1gan13(n1)2n1ga。，即ga1gan3(n1)2n,再由累乘法可推知,1gan1gan1gan11gan1L1gan2蛆蛆1g&1ga21g現(xiàn)3n1n!2'1g5n(n1)-2-,從而an3n1n!2052o七、數(shù)學(xué)歸納法例12已知數(shù)列an滿足an1an

15、8(n1)(2n2-_2'1)(2n3)ai-,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。9解：由an1an8(n12(2n1)2(2n3)2及a1a2a3a48(11)88224(21221)2(213)29925258(21)248348(222_21)(223)252549498(31)488480(232_一-21)(233)49498181aia3a2由此可猜測an_2(2n1)21_2(2n1),往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(1)當(dāng)n1時，a1(211)21""2(211)8,所以等式成立。9(2)假設(shè)當(dāng)nk時等式成立，即ak(2k1)21(2k1)2k1時,ak1ak8

16、(k1)(2k1)2(2k3)22(2k1)218(k1)2 22(2k1)2(2k1)2(2k3)222(2k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)22(2k1)2(2k3)2222(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)22(k1)12122(k1)12由此可知，當(dāng)nk1時等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知, *等式對任何 n N都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、換元法例13已知數(shù)列an滿足an

17、 11, (1 4an1624an), a, 1 ,求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。解：令bnJ24an,則an故an 124 (bn 1 1),代入 an1, (1 4an16j 24%)得11)116124 (bn241)bn-2(bn3)因?yàn)閎n,r4a;0,故bn,1 24an1則 2bn 1bn 3 ,即 bn 12bn32'可化為bn1 3 2(bn3),所以bn3是以43. 1 24a1 3 、1 24 1 32為首項(xiàng)，以1n列，因此bn 3g)n 2，則 bn5 2 3,即,1 24an1 -為公比的等比數(shù)2(1)n 2 3 ,得使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將j

18、24an的換元為bn,3為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列bn 3的通項(xiàng)公式,1,3,bn1-bna形式，從而可知數(shù)列bn最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。九、不動點(diǎn)法21a24例14已知數(shù)列an滿足an1,a14,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4an1加入21x24小2r2僅24.解：令x，得4x20x240,則x12,x23是函數(shù)f(x)的4x14x1兩個不動點(diǎn)。因?yàn)閍n 12an 1321an 24 24an 121an 2421an 24 2(4an 1) 13an 26 13 an 221an 24 3(4an 1)9an 279 an3所以數(shù)列4an1an2an.一 132為首項(xiàng)，以13為公比的等比數(shù)列，故9anan13、n 12()，9則ann 1 13。評注:本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)f(x)21x 24224的不動點(diǎn),即方程x4x 1空二4的兩4x 1個根x12，x23,進(jìn)而可推出an 12an 1313a一2,從而可知數(shù)列生9anan列，再求出數(shù)列a 2a一的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列an 3an的通項(xiàng)公式。例15已知數(shù)列an滿足 an 1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：令x7x 2 2,得 2x2x 33x 1 1是函數(shù)f (x)的不動點(diǎn)。4x 7