中考數(shù)學(xué)專題提升(十三)以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明

1、專題提升（十三）以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明【經(jīng)典母題】如圖Z131, DB為半圓的直徑，A為BD延長線上的一點(diǎn)，AC切半圓于點(diǎn)E, BCLAC于點(diǎn)C,交半圓于點(diǎn)F.已知CA圖 Z131解：如答圖，連結(jié)OE,設(shè)。的半徑是D O經(jīng)典母題答圖R,則 OE = OB=R.在RtzXACB中，由勾股定理，得AB =、AC2+BC2 = 15.AC切半圓。于點(diǎn)E,.OELAC, ./OEA= 900 =/C,.OE/BC, .AEOs/XACB,OE AO R 15 R ./曰-45.-= .=角牛付 R =BC AB，915 58'75,.AO = AB-OB=15-R= 8【思想方法】

2、利用圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑構(gòu)造直角三角形，從而得到相似三角形，利用比例線段求 AO的長.【中考變形】D圖 Z13-21.如圖 Z13-2,在 RtzXACB 中，/ ACB = 90° ,。是AC邊上的一點(diǎn)，以。為圓心，OC為半徑的圓與 AB相切于點(diǎn)D,連結(jié)OD.(1)求證：ADOs/XACB；若。的半徑為1,求證：AC = AD BC.證明：（1）; AB是。的切線，ODLAB.C=/ADO = 90° , . /A=/A,.ADOs/XACB;(2)由(1)知,ADOs/aCB.AD OD ac bc 'AD bc = ac od, . od = 1, .

3、.ac = adbc.2 . 2017德州如圖Z133,已知RtAABC, 2C = 90° , D為BC的中點(diǎn),以AC為直徑的。O交AB于點(diǎn)E.(1)求證：DE是。的切線;若 AE：EB=1：2, BC = 6,求 AE 的長.圖 Z13-3中考變形2答圖: AC是。0的直徑,解：(1)證明：如答圖，連結(jié)0E, EC, ./AEC=/BEC=90° , D 為 BC 的中點(diǎn), .ED = DC=BD, ./ 1 = /2,. OE = OC, ./ 3=/4,/1+/3=/2+/4,即/OED=/ACB, ./ACB=90° , . ./OED = 90

4、6; ,DE 是。的切線；由(1)知/BEC=90° ,.在 RtBEC 與 RtBCA 中，/ B= / B, /BEC=/BCA, .becszxbca,BA， .BC2=BE ba, V AE : EB=1 ： 2,設(shè) AE=x,則 BE = 2x, BA= 3x,BC = 6,.62 = 2x 3x,解得 x= 6y 即 AE= /6.3 .如圖Z134,已知AB是。的直徑，BCXAB,連結(jié)0C,弦AD/0C,直線CD交BA的延長線于點(diǎn)E.求證：直線CD是。0的切線；(2)若 DE = 2BC,求 AD ： 0C 的值.圖 Z13-4中考變形3答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)

5、DO. AD / OC, ./DAO=/COB, /ADO=/COD. OA= OD,/ DAO = / ADO, ./ COD= / COB.又. CO=CO, OD = OB, .CODACOB(SAS), ./CDO=/CBO = 90° ,即 ODXCD.又丁點(diǎn)D在。O上，.直線CD是。的切線;(2)由(1)知，COD04COB, . CD = CB. DE = 2BC, . DE = 2CD.AD/OC, .EDAs/XECO,.AD DE DE 2 OC=CE=DE + CD = 3.4.2016廣東如圖Z13 5, OO是 ABC的外接圓，BC是。的直徑，/ABC= 3

6、0° .過點(diǎn)B作。O的切線BD,與CA的延長線交于點(diǎn)D,與半徑AO的延長線交于點(diǎn)E.過點(diǎn)A作。的切線AF,與直徑BC的延長線交于點(diǎn)F.(1)求證：ACFs/XDAE;3若S"oc =七，求DE的長；連結(jié)EF,求證：EF是。的切線.DEE圖Z13 5中考變形4答圖解：(1)證明：:BC為。的直徑，BAC = 90又. /ABC=30° , . ./ACB = 60° ,又. OA= OC,.OAC 為等邊三角形，即 /OAC=/AOC=60° ,.AF 為。的切線，OAF = 90° , ./CAF=/AFC=30° ,. D

7、E 為。的切線，./ DBC=/OBE=90° ,.D=/DEA = 30° , ./D=/CAF, /DEA=/AFC, .ACFs/XDAE;(2)，2AOC 為等邊三角形，SaocmOA2：%3, .OA=1, BC = 2, OB=1,又D=/BEO=30° , .BD = 2服 be = /3, .de = 3V3；(3)證明：如答圖，過點(diǎn) O作OMLEF于點(diǎn)M,. OA=OB, / OAF=/OBE=90° , /BOE=/AOF, .OAFAOBE(SAS),.OE = OF, . /EOF=120° , OEM=/OFM=30&

8、#176; , ./OEB=/OEM = 30° ,即 OE 平分/BEF,又. / OBE= /OME = 90° , .OM = OB, ；EF 為。O 的切線.5. 2017株洲如圖Z13-6, AB為。O的一條弦，點(diǎn) C為劣弧AB的中點(diǎn)，E 為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE的延長線上，且 BE=EF,線段CE交弦AB 于點(diǎn)D.(1)求證：CE/BF;(2)若 BD = 2,且 EA ： EB ： EC=3 ： 1 ：限 求 BCD 的面積.圖Z13 6中考變形5答圖解：（1）證明：如答圖，連結(jié) AC, BE,作直線OC,. BE=EF, ./ F= ZEBF,/AEB=

9、/EBF+/F,/1 / / F= 5/AEB,.C 是AB的中點(diǎn)，；AC=BC, ./AEC=/BEC, ./AEB=/AEC+/BEC, 一 1 , _ ./AEC：/AEB, ./AEC=/F,CE/BF;(2)/DAE=/DCB, /AED=/CEB,.adescbe, Aj=C|,即患=1，/CBD=/CEB, /BCD=/ECB, .CBEs/XCDB, BD BE 21麗=Cl，即而=后 .CB = 2強(qiáng) .AD = 6, .AB=8, 點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn),1 .OCXAB,設(shè)垂足為 G, WJ AG=BG = /AB=4, .CG=MCB2 BG2 :2,c 11.6bcd=

10、,BD - CG = X 2X2 = 2.6.如圖Z137, AB是。的直徑，C為。上一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C的切線互相 垂直，垂足為E, AE交。O于點(diǎn)D,直線EC交AB的延長線于點(diǎn)P,連結(jié) AC, BC, PB : PC=1 : 2.(1)求證：AC平分/BAD;(2)探究線段PB, AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖 Z13- 7中考變形6答圖解：證明：如答圖，連結(jié)OC.PE 是。O 的切線，OCXPE,VAEXPE,OC/AE, ./ DAC= / OCA,. OA=OC, .OCA=/OAC, ./ DAC= /OAC,. AC 平分/BAD;(2)線段PB, AB之間的數(shù)量關(guān)系為AB =

11、 3PB.理由:.AB是。的直徑, ./ACB=90° , .BAC+/ABC = 90° ,. OB = OC, .OCB=/ABC,PCB+/OCB=90° , . PCB=/PAC,/P 是公共角，. PCBAFAC,假菱，；pc2=pbpa,. PB : PC=1 : 2, a PC = 2PB, .PA=4PB, .AB = 3PB.7. 2016棗莊如圖Z13 8, AC是。的直徑，BC是。O的弦，P是。O外一 點(diǎn)，連結(jié) FA, PB, AB,已知/ PBA=/C.(1)求證：PB是。O的切線；(2)連結(jié)OP,若OP/BC,且OP = 8,。的半徑為2

12、g，求BC的長.圖Z13-8中考變形7答圖解：（1）證明：如答圖，連結(jié) OB, .AC是。的直徑， ./ABC=90° , /C+/BAC = 90. OA=OB,BAC=/OBA,PBA=/C, . / PBA+/ OBA= 900 ,即 PBXOB. .PB是。O的切線；(2)OO 的半徑為 2蛆，. . OB=2&, AC = 4也. OP/BC, .BOP=/OBC=/C,又ABC=/PBO = 90° , . ABCs/XPBO,BC = 2.,BC_AC 即 BC 4 2'B0= PO5 即礪=8，8. 2017聊城如圖Z13 9,。是AABC的

13、外接圓，O點(diǎn)在BC邊上，/ BAC 的平分線交。O于點(diǎn)D,連結(jié)BD, CD,過點(diǎn)D作BC的平行線，與AB的 延長線相交于點(diǎn)P.(1)求證：PD是。O的切線；(2)求證：PBDs/XDCA;(3)當(dāng)AB = 6, AC = 8時(shí)，求線段PB的長.圖Z139中考變形8答圖解：(1)證明：二.圓心O在BC上，BC是。的直徑， ./BAC=90° ,如答圖，連結(jié) OD,. AD 平分/BAC, ./ BAC=2/DAC, / DOC=2/DAC, ./DOC=/BAC=90° ,即 ODXBC,. PD/BC, a ODXPD, OD 為。的半徑, .PD是。O的切線；(2)證明：

14、PD/BC,./P=/ABC,./ABC=/ADC, . ./P=/ADC,/PBD+/ABD=180° , / ACD+/ ABD= 180° , ./PBD=/ACD, PBDs/XDCA;(3):ABC為直角三角形，.BC2=AB2 + AC2=62 + 82=100,. BC=10,. OD 垂直平分 BC, . .DB = DC,.BC 為。的直徑，BDC = 90° ,在 RtDBC 中，DB2+DC2=BC2,即 2DC2=BC2= 100, .dc = db = 8/2,pbdadca,.PB BD 目 DC BD 班 X5也 25, Dc=Ac ' 囚 PB=AC=81.【中考預(yù)測(cè)】2017黃岡模擬如圖Z13-10, AB為。的直徑，CD與。相切于點(diǎn)C, 且ODLBC,垂足為F, OD交。O于點(diǎn)E.證明：(1)/D = /AEC;(2)OA2 = OD OF.圖Z13 10中考預(yù)測(cè)答圖證明：(1)如答圖，連結(jié)OC,