例談過程與反思的教育價值

1、例談“過程”與“反思”的教育價值-線段和最小問題的聯(lián)想的學(xué)習(xí)思考紹興市柯橋區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 單國炎、緣起2015年4月24日紹興市柯橋區(qū)初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)研討會在安昌中學(xué)舉行，精彩的課堂與專業(yè)的講座讓每位老師獲益匪淺，尤其蔣老師線段和最小問題的聯(lián)想的精彩課堂演繹與浙江省數(shù)學(xué)教研員許芬英老師的專業(yè)點(diǎn)評，深深吸引了與會的每位老師，觸發(fā)了我對如何展開探究過程，恰當(dāng)提煉反思的教育思考，以下是筆者的學(xué)習(xí)思考，與大家分享。二、亮點(diǎn)與點(diǎn)評2.1回歸課本，開發(fā)教材課題引入：如圖，直線l表示草原上的一條河流，一騎馬少年從A地出發(fā)讓馬去河邊飲水，然后返回于B地家中，他沿怎樣的路線行走，能使路程最

2、短？作出這條最短路線.點(diǎn)評1：選題恰當(dāng)，拓展教材。專題復(fù)習(xí)課上什么？老師們都在積極探索，蔣老師無疑給大家指出了一個實(shí)用的選題方法，這也是近期中考考查學(xué)生經(jīng)驗(yàn)積累與應(yīng)用能力的一個重要方面。問題情境取自課本題和作業(yè)本題，使學(xué)生感到“熟悉”，通過解決一個問題，及時歸納，建立數(shù)學(xué)模型，梳理方法步驟，過程高效，經(jīng)驗(yàn)積累有效。體現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)重視基礎(chǔ)，重視教材，更應(yīng)研究教材，開發(fā)教材，使復(fù)習(xí)變得鮮活。舊題重現(xiàn)，積累經(jīng)驗(yàn)，“授人以漁”。通過數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，歸納問題解決的知識與方法，充分體現(xiàn)模型思想，引導(dǎo)學(xué)生積極轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式。2.2凸現(xiàn)探究，增長學(xué)力。問題探究一 (1)如圖,BC=6cm，以B

3、C為直徑作O，D是半圓BC的一個三等分點(diǎn)，E是半圓BC的一個六等分點(diǎn)，P是直徑BC上一動點(diǎn)，連接DP、EP，則DP+EP的最小值是 cm. （2）如圖，BC=6cm，以BC為邊作ABC，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，且BC邊上的高為4，BC邊上有一動點(diǎn)P，使得PDE周長最小.學(xué)生獨(dú)立完成后回答，關(guān)鍵點(diǎn)處老師適當(dāng)作強(qiáng)調(diào)，很輕松完成探究的過程，感受模型的作用，強(qiáng)化模型的再現(xiàn)與創(chuàng)造。及時挖掘?qū)W習(xí)作業(yè)中積累的經(jīng)驗(yàn)，揭示模型在各種圖形背景下的應(yīng)用，以PPT投放，學(xué)會舉一反三。點(diǎn)評2：探究積累，積極轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式。對一個“二定一動型”最值問題進(jìn)行兩次遞進(jìn)探究，一是兩條線段之和最小值，直接應(yīng)用模型解決;

4、二是三角形周長之和最小值，看似較難，其實(shí)線段DE由三角形中位線定理可知是確定的線段，可轉(zhuǎn)化為問題一解決。一個小小的變式，體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。呈現(xiàn)的是對學(xué)生“基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)”的認(rèn)識、理解、解釋、應(yīng)用與拓展。問題探究二 如圖，一個底面半徑為1cm，高度為 cm的無蓋圓柱形玻璃容器，A、B兩點(diǎn)在容器頂部一條直徑的兩端，現(xiàn)有一只小甲蟲在容器外部A點(diǎn)正下方1cm的M處. （1）若容器外部B點(diǎn)正下方，距離底部1cm的N處有食物，則這只小甲蟲要到N處，最短爬行的距離 cm. （2）若N點(diǎn)是在容器的內(nèi)部，則小甲蟲最短爬行的距離是 cm. 蔣老師將平面圖形最值問題過渡到對立體圖形中最值問題的探究，兩

5、步設(shè)計到位，問題1體現(xiàn)立體圖形問題轉(zhuǎn)化成平面圖形問題，再用模型求解；問題2設(shè)計巧妙，更進(jìn)一步，將兩個異側(cè)定點(diǎn)變成兩個同側(cè)定點(diǎn)，需要找準(zhǔn)對稱軸，構(gòu)造Rt，再用勾股定理求解。問題探究四 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B為（6,4 ），點(diǎn)C為（0,4)，點(diǎn)D（6,2），P（2,4).（1）若點(diǎn)N為線段AO上的動點(diǎn)，求線段PN+ND的最小值？（2）點(diǎn)N仍然為線段AO上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)M為線段CO上的動點(diǎn)，求線段PM+MN+ND的最小值？（3）若點(diǎn)M、N分別為線段BC和AO上的動點(diǎn)，求線段PN+MN+MD的最小值？ 點(diǎn)評3：重視數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力。蔣老師

6、重視探究和過程教學(xué)，充分體現(xiàn)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變。以循序漸進(jìn)的方式，步步深入，充分應(yīng)用模型展開探究性學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生打開思維的空間，提高學(xué)習(xí)的能力。關(guān)注學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生合理轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂，展示思維課堂的本色。三、課堂商榷課堂無論多么優(yōu)秀，總有那么一點(diǎn)遺憾，留給我們思考。對于問題探究三教學(xué)過程的處理，蔣老師對難點(diǎn)（化動點(diǎn)為定點(diǎn)）處理不夠到位，學(xué)生思考的時間，空間不夠，沒有達(dá)到預(yù)期的效果。商榷如下：問題探究三 已知：如圖1，ABC中，點(diǎn)P、Q分別是BAC的平分線AD,邊AB上的兩個動點(diǎn)，C=,BC=6.（1）若=45,求PB+PQ的最小值.（2）若=70，求PB+PQ的最小值.（3）

7、 若=90，如圖2，點(diǎn)E在邊AB上，且AE=2EB,求PE+PQ的最小值.此問題設(shè)計，由淺到難，從特殊到一般化，注重數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力培養(yǎng)，將常見的“二定一動”變異為“二動一定”，思維難度較大。第（1）問，B 是定點(diǎn)，P，Q是動點(diǎn)，不能直接應(yīng)用模型，如何轉(zhuǎn)化是此處的難點(diǎn)。蔣老師讓學(xué)生回答，學(xué)生解答不了，然后動畫演示，讓點(diǎn)Q動，作Q關(guān)于AD的對稱點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)B，P，Q共線時，是否達(dá)最小值？學(xué)生回答說當(dāng)BQAC時最小。疑問：審視本題，如果僅僅從假設(shè)Q是定點(diǎn)去思考，容易得到問題的解決，但失去了問題的探究價值和教學(xué)價值，因?yàn)槿绾翁綄さ阶髂膫€點(diǎn)的對稱點(diǎn)，關(guān)于誰對稱，問題的核心與難點(diǎn)。我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育過分強(qiáng)調(diào)

8、問題的分析與解決，義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn).數(shù)學(xué)將實(shí)驗(yàn)稿中課程目標(biāo)之一的“解決問題”變?yōu)椤皢栴}解決”，其意義遠(yuǎn)不是兩個詞位置的交換，而在于課程理念的變化，試問：如果沒有問題的發(fā)現(xiàn)與提出，那么又分析什么，解決什么？沒有探究到正確的畫法，又證明什么？因此，從某種意義上說，探究發(fā)現(xiàn)重于演繹推理。因此老師們提出：1.一般是將定點(diǎn)對稱，此題為什么不選點(diǎn)B作AD對稱點(diǎn)？2.如何確定選哪條直線為對稱軸？3.為什么BQAC時最??？（這里涉及到第二個數(shù)學(xué)模型即點(diǎn)到直線，垂線段最短）。建議：化解本題難點(diǎn)的過程需要給足探究的時間和空間。蔣老師僅讓一位學(xué)生含糊地說了一下，馬上用動畫演示直觀表達(dá)了思考的過程，雖然問題解決了，但

9、方法與能力內(nèi)化不足。若讓學(xué)生做一做，畫一畫，嘗試解決，再交流，說理。還可以展開一題多解。充分展示探究與反思過程，引導(dǎo)學(xué)生既關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果，也關(guān)注探究過程，既注重探究發(fā)現(xiàn)，也重視演繹推理，既學(xué)會數(shù)學(xué)直觀，又形成理性精神，并通過反思優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，若能如此，豈不美哉！ 四、教學(xué)反思義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)積極思考、動手實(shí)踐、自主探索的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要鼓勵學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生主動地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理等 數(shù)學(xué)活動，探究式教學(xué)活動就成了數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要形式。課標(biāo)指出：在教學(xué)中要處理好過程與結(jié)果、直觀與抽象、直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系。探究式教與學(xué)要幫助學(xué)生積累幾何探究的活動

10、經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生的思考 ，激勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展學(xué)生的幾何探究能力。在幾何探究活動教學(xué)中，教師應(yīng)該注意哪些方面呢？我的思考如下：第一，探究發(fā)現(xiàn)需要直觀。史寧中先生認(rèn)為：“對于數(shù)學(xué)來說，幾乎所有的結(jié)果是看出來的，而不是證出來的。如“網(wǎng)格問題”為幾何直觀提供了有效載體，如本課中探究問題一，二，通過“畫對稱點(diǎn)，構(gòu)造馬飲水模型”，將動點(diǎn)問題直觀化，更易思考，用勾股定理求最短距離。第二，眼見未必為實(shí)?！皫缀沃庇^”結(jié)合 “基本活動經(jīng)驗(yàn)”解決一類最短值問題給了我們經(jīng)驗(yàn)和方法，但未必正確。如探究問題三中，對于將動點(diǎn)Q點(diǎn)關(guān)于AD作對稱點(diǎn)Q,當(dāng)B,P,Q三點(diǎn)共線時，BQ不是最短距離 。自然會質(zhì)疑：點(diǎn)Q還會動嗎？

11、何時會更短？當(dāng)BQAC時最短。這中間就蘊(yùn)含了邏輯推理。這些都需要質(zhì)疑的精神，某種意義上說，對數(shù)學(xué)的方法、結(jié)論的質(zhì)疑與理性思考是數(shù)學(xué)精神的具體化，數(shù)學(xué)精神就是理性精神，數(shù)學(xué)直觀為解決本題助了一臂之力，而這種直觀卻又基于理性精神數(shù)學(xué)知識與邏輯推理。第三，數(shù)學(xué)直觀基于數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)。如本課中的幾個探究問題涉及到垂直與平行概念，中垂線性質(zhì)，圓的性質(zhì)，三角形全等、矩形、正方形的性質(zhì)，勾股定理、圖形面積公式，數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等知識是、經(jīng)驗(yàn)、思想、方法“如何會看出結(jié)果，需要憑借經(jīng)驗(yàn)、憑借思維方法”這種活動經(jīng)驗(yàn)和思維方法，就是對數(shù)學(xué)結(jié)果的預(yù)測與估計能力、對圖形與數(shù)值作出迅速判斷的能力、根據(jù)代數(shù)式（方程、

12、不等式、函數(shù)）等的結(jié)構(gòu)特征作出相應(yīng)的決策能力、對空間圖形的想象能力、透過數(shù)學(xué)現(xiàn)象洞察數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的能力、對相近或類似問題類比聯(lián)想、歸類與融合能力。教者只有將探究發(fā)現(xiàn)與演繹推理有機(jī)結(jié)合，在引導(dǎo)學(xué)生的探究過程中潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力、推理能力，讓學(xué)生的創(chuàng)新智慧在理性精神中完美升華。第四，思維源于問題反思。數(shù)學(xué)教育的核心是思維發(fā)展，反思是一種能力、一種習(xí)慣，更是一種思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)反思能力，可以提煉思想方法，理清思路脈絡(luò)，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)思維得到真正發(fā)展，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題在學(xué)習(xí)中的價值。一是反思使畫法優(yōu)化。當(dāng)兩定點(diǎn)，一動點(diǎn)求最短距離時，往往可以將其中一個定點(diǎn)作關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，選

13、擇哪個點(diǎn)作對稱，關(guān)系到圖形的簡潔美觀，也關(guān)系到直觀思考的容易與否。二是反思使思路開闊，探究問題三中，可以作Q關(guān)于AD 的對稱點(diǎn)Q,也可以作點(diǎn)B 關(guān)于AD 的對稱點(diǎn)B,相比之下，前者圖形更加直觀簡潔，畫法更加易于操作，思路更加流暢明快，推理更加直接清晰，然而思路是在探索和反思基礎(chǔ)上的逐步開闊的，因此，引導(dǎo)學(xué)生對解題過程與結(jié)果進(jìn)行反思是教學(xué)中不可或缺的重要環(huán)節(jié)。三是反思使思維升華，反思的過程也是思維不斷升華的過程，通過反思，不僅優(yōu)化了畫法、開闊了思路，還形成了解決一類問題的策略，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)思想方法。如探究問題四的解決在潛移默化中強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、圖形變換的思想。第五，結(jié)果寓于過程之

14、中。有這樣一種現(xiàn)象：課堂上教師講得酣暢淋漓，學(xué)生聽得點(diǎn)頭稱是，可面對新問題還是一籌莫展，重要的原因還是教師的教忽視數(shù)學(xué)知識的形成過程、問題的探究過程，數(shù)學(xué)規(guī)律、結(jié)論是教師按照自己的“精心預(yù)設(shè)”單向、直線灌輸，而不是學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須追求有過程的結(jié)果，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法?！薄皵?shù)學(xué)在其發(fā)展過程中，走過漫長而曲折的道路，它不斷修正過自己的進(jìn)程，避開過彎路，繞過死胡同，重新明確前進(jìn)的方向”，帶著學(xué)生經(jīng)歷題意的分析、思路的突破、思維的優(yōu)化、過程的反思等過程，一起經(jīng)歷“避開彎路”、“繞過死胡同”，完成“再發(fā)現(xiàn)”的曲折過程，學(xué)生的思路在師生互動交融中從模糊到清晰、從無序到有序、從繁瑣到簡潔，充分體驗(yàn)到了思維頓悟的愉悅，或許這個過程有些漫長，但學(xué)生在這個過程中品嘗到了探索的曲折與艱辛，享受到了獲得成功的喜悅，感悟到了數(shù)學(xué)的思想、方法、策略。附件5：柯橋區(qū)教育教學(xué)論文評比承諾書學(xué) 科初中數(shù)學(xué)題目內(nèi)容例談“過程”與“反思”的教育價值-線段和最小問題的聯(lián)想的學(xué)習(xí)思考教師姓名單國炎性別男出生年月1973.12職稱中學(xué)高級單位全稱紹興市柯橋區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)單位地址紹興市柯橋區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)郵