一矩陣秩的概念（課堂PPT）

1、.1一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法第五節(jié)矩陣的秩及其求法 第二章 三、滿秩矩陣三、滿秩矩陣.21. k 階子式階子式定義定義1 設(shè)設(shè) nmijaA在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉),min1 (nmkk稱為稱為A的一個的一個k 階子式。階子式。階階行列式行列式，處元素按原相對位置組成的處元素按原相對位置組成的一、矩陣的秩的概念一、矩陣的秩的概念.3設(shè)設(shè)110145641321A， 共有共有182423CC個二階子式，有個二階子式，有43334CC個三階子式。個三階子式。例如例如矩陣矩陣A 的第一、三行，第二、四列相交處的元素的第一、三行，第二、四列相

2、交處的元素所構(gòu)成的二階子式為所構(gòu)成的二階子式為10122D而1015643213D為為 A 的一個三階子式。的一個三階子式。顯然，顯然，nm矩陣矩陣 A 共有共有knkmcc個個 k 階子式。階子式。.42. 矩陣的秩矩陣的秩nmijaA設(shè)，有有r 階子式不為階子式不為0 0，任何任何r+1階階記作記作R( (A) )或秩或秩( (A) )。 子式子式(如果存在如果存在的話的話)全為全為0 ,定義定義2稱稱r為矩陣為矩陣A的秩，的秩，.5規(guī)定：規(guī)定： 零矩陣的秩為零矩陣的秩為 0 .注意：注意：(1) 如如 R ( A ) = r，則，則 A 中至少有一個中至少有一個 r 階子階子式式0 ,r

3、D 所有所有 r + 1 階子式為階子式為 0，且更高階，且更高階子式均為子式均為 0，r 是是 A 中不為零的子式的最高階中不為零的子式的最高階數(shù)，是唯一的數(shù)，是唯一的 .(2) 有行列式的性質(zhì)，有行列式的性質(zhì)，( )().TR AR A (3) R(A) m, R(A) n, 0 R(A) min m , n .(4) 如果如果 Ann , 且且0 ,A 則則 R ( A ) = n .反之，如反之，如 R ( A ) = n ,則則0 .A 因此，方陣因此，方陣 A 可逆的可逆的充分必要條件充分必要條件是是 R ( A ) = n .6二、矩陣秩的二、矩陣秩的求法求法1、子式判別法、子式

4、判別法(定義定義)。 例例1設(shè)000007204321B為階梯形矩陣，為階梯形矩陣， 求R(B)。解解02021，由于由于存在一個二階子式不為存在一個二階子式不為0，而，而任何三階子式全為任何三階子式全為0， 則則 R(B) = 2. .結(jié)論：階梯形矩陣的秩結(jié)論：階梯形矩陣的秩=臺階數(shù)。臺階數(shù)。.7010010100321A 3AR001021B 2BR例如例如100010011C 3CR125034000D2R D 21235081530007200000E 3R E 一般地，一般地， 行階梯形矩陣的秩等于其行階梯形矩陣的秩等于其“臺階數(shù)臺階數(shù)”非零行的行數(shù)。非零行的行數(shù)。.8aaaA111

5、111 ,3AR如果1a求 a .解解 3ARaaaA1111110) 1)(2(2aa或2a例例2 設(shè)設(shè).9KKKKA111111111111 3AR則K3例例331 1111113(1) (3)1 111 11KAKKKKK.102、用初等變換法求矩陣的秩、用初等變換法求矩陣的秩定理定理2 矩陣初等變換不改變矩陣的秩矩陣初等變換不改變矩陣的秩。 即BA則則)()(BRAR注：注：jirr . 1只改變子行列式的符號。只改變子行列式的符號。irk. 2是是 A 中對應(yīng)子式的中對應(yīng)子式的 k 倍。倍。jikrr . 3是行列式運算的性質(zhì)。是行列式運算的性質(zhì)。求矩陣求矩陣A的秩方法：的秩方法：1

6、）利用初等行變換化矩陣）利用初等行變換化矩陣A為階梯形矩陣為階梯形矩陣B2）數(shù)階梯形矩陣）數(shù)階梯形矩陣B非零行的行數(shù)即為矩陣非零行的行數(shù)即為矩陣A的秩。的秩。.11例例4211163124201A解解R(A) = 2 000021104201， 21102110420113rr 122rrA求 .AR.12,2,6352132111，求）（且設(shè)ARA4580443021116352132111A015044302111, 2)(AR1, 501, 05例例5.13三、滿秩矩陣三、滿秩矩陣 , nAR稱稱 A 是是滿秩陣滿秩陣，（，（非奇異矩陣非奇異矩陣） , nAR稱稱 A 是是降秩陣降秩陣，

7、（，（奇異矩陣奇異矩陣）可見可見： 0AnARA 為為 n 階方陣時，階方陣時，定義定義3對于滿秩方陣對于滿秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據(jù)初等陣的作用：又根據(jù)初等陣的作用： 每對每對A施行一次初等行變換，施行一次初等行變換，相當于用一個對應(yīng)的初等陣左乘相當于用一個對應(yīng)的初等陣左乘A, 由此得到下面的由此得到下面的定理定理.14定理定理3設(shè)設(shè)A是滿秩方陣，則存在初等方陣是滿秩方陣，則存在初等方陣.,21sPPP使得使得EAPPPPss121,.15例如例如它的行最簡形是它的行最簡形是 n 階單位陣階單位陣 E . EAnAR nEAnAR2132123

8、21A320430321320110001E100010001 3AR對于滿秩矩陣對于滿秩矩陣A，A為滿秩方陣。為滿秩方陣。.16定理定理5 5 R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。關(guān)于矩陣的秩的一些重要結(jié)論：關(guān)于矩陣的秩的一些重要結(jié)論：性質(zhì)性質(zhì)1 1設(shè)設(shè)A是是nm矩陣，矩陣，).()()(ABRnBRARB是是tn矩陣，矩陣，性質(zhì)性質(zhì)2 2 如果如果 A B = 0 則則.)()(nBRAR性質(zhì)性質(zhì)3 3 如果如果 R(A)= n, 如果如果 A B = 0 則則 B = 0。性質(zhì)性質(zhì)4 4 設(shè)設(shè)A,B均為均為 nm矩陣，則矩陣，則).()()(BRARBAR.17設(shè)設(shè)A為為n