空間解析幾何與向量代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)在這一章中，首先建立空間直角坐標(biāo)系，引進自由向量，并以坐標(biāo)和向量為基礎(chǔ)，用代數(shù)的方法討論空間的平面和直線，在此基礎(chǔ)上，介紹一些常用的空間曲線與曲面。通過這一章的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)空間想象能力，嫻熟的向量代數(shù)的計算能力和推理、演繹的邏輯思維能力。也為學(xué)習(xí)多元微積分做準(zhǔn)備。重點：曲面方程，曲線方程難點：較深刻地理解曲面（平面）、曲線（直線）方程，并能把握方程所表示的圖形的特征。（一）1空間笛卡爾坐標(biāo)系的構(gòu)成：空間的一個定點，連同三個兩兩互相垂直的有序向量組，稱為笛卡爾坐標(biāo)系。當(dāng)，的相互關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同時，稱為右手坐標(biāo)系。在通常的討論中，常用右手笛卡爾坐標(biāo)系。關(guān)于

2、一般的坐標(biāo)系稱為仿射坐標(biāo)系，有興趣的同學(xué)可參閱空間解析幾何這類專業(yè)教材。2空間向量可以從兩個途徑來認識：由定義：具有大小和方向的量稱為向量，因此可由方向（可由方向角來確定）連同大?。ｉL）來確定（注意，這樣定義的向量稱為自由向量，簡稱向量，自由向量與起點和終點無關(guān)）。書上往往用黑體字母表示，手寫時用黑體并不方便，常在字母上面加一個箭頭表示，例：，等?？捎上蛄康淖鴺?biāo)來把握向量。必須分清向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)這兩個概念，一般情況下，設(shè)的始點的坐標(biāo)分別為，則，即向量的坐標(biāo)與向量的起點及終點的坐標(biāo)間有下列關(guān)系：，。因此，若確定了向量的坐標(biāo)，則這個向量就確定了。當(dāng)向量的起點與坐標(biāo)系的原點重合時，向量的坐標(biāo)與向

3、量的終點的坐標(biāo)在數(shù)值上相等。3在學(xué)習(xí)向量的代數(shù)運算時，利用幾何或物理模型比較容易掌握。如求向量的加法和減法可以平行四邊形或以力的相加或相減為模型，求兩向量的數(shù)量積可以求力在某段路程上所作的功為模型，求兩向量的向量積可以求力關(guān)于某點的力矩為模型，并要熟練掌握每種運算的算律。4一個平面具有各種形式的方程，如點法式，三點式，截距式，一般式。在學(xué)習(xí)平面的各種形式的方程時，對方程中常數(shù)的幾何意義應(yīng)引起充分的注意。如：平面方程，則為平面的一個法向量，建立平面的方程時應(yīng)根據(jù)條件靈活處理。點法式方程是應(yīng)用較方便，常用的方程類型，這是因為在討論平面問題時，平面的法向量常常起著關(guān)鍵性的作用。5確定空間一條直線的方

4、法很多，在高等數(shù)學(xué)中把它歸結(jié)為由直線上的一個定點和與直線平行的一個非零向量來確定，或?qū)⑺闯蓛蓚€平面的交線?？臻g直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程與參數(shù)式方程，二維空間中的直線均有對應(yīng)的形式，但要注意，只有空間直線可看成兩個平面的交線。6在高等數(shù)學(xué)中，常用的曲面方程為：橢球面方程，當(dāng)或或時為旋轉(zhuǎn)橢球面，當(dāng)時，為球面方程。雙曲面方程 錐面方程拋物面方程，其中柱面方程，母線平行于軸的柱面方程，母線平行于軸的柱面方程旋轉(zhuǎn)面方程母線（二）1向量在軸上的投影是個常用的概念，要注意向量在軸上的投影是一個數(shù)量而不是一個向量，也不是一個線段。設(shè)向量，其中投影軸為，點，在軸上的投影分別為，若取與軸同方向的單位向量為，則有 稱為在

5、軸上的投影。因此向量在軸上的投影不是有向線段，而是一個數(shù)值，記為，易知，其中為與軸的夾角。2向量在坐標(biāo)軸上的投影稱為向量的坐標(biāo)。3向量的數(shù)量積，向量積一覽表：定義，其中是同時垂直于，的單位向量，且，按右手系排列坐標(biāo)表示，特征性質(zhì)即即幾何應(yīng)用點到平面的距離為，(*1)，其中為平面的單位法向量，是上的任一點，當(dāng)時，(*1)式給出動點所滿足的平面的方程。點到直線的距離為，(*2)，其中為直線上的單位向量，是直線上的任一點。當(dāng)時，(*2)式給出動點所滿足的直線的方程。4要熟練掌握平面，直線的各種形式的方程互化，關(guān)鍵在于明確在各種形式的方程中，各個量（常量、變量）的幾何意義以及它們之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上

6、，互化是容易做到的。如建立平面的三點式方程時，若硬記公式則不容易記牢的，但從三個向量共面的角度去思考就能牢牢地記住。5要深刻理解空間直角坐標(biāo)系下平面的方程是一個關(guān)于，的一次方程。反之，任何一個關(guān)于，的一次方程都表示一個平面。6平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系均是通過平面的法向量間，直線的方向向量間，或平面法向量與直線的方向向量間的位置關(guān)系來討論，因此可歸結(jié)為向量問題來解決。如：兩個平面間的夾角問題通過它們的法向量的夾角來解決。7常用的曲面方程見（A）中6，要真正掌握這些曲面的形狀、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐標(biāo)面）來截割曲面，研究所截得的一族

7、曲線是怎樣變化的，從這一族截線的變化情況即可推想出所表示的曲面的整體形狀，這是認識曲面的重要方法，它的基本思想是把復(fù)雜的空間圖形歸結(jié)為比較容易認識的平面曲線。8空間曲線一般由兩個曲面相交而得，這樣的曲面有無窮多個，若曲線的形狀不易把握時，可先將兩個曲面方程通過消去未知數(shù)的方法得兩個過曲線的射影柱面的方程，而射影柱面的形狀是較容易把握的。9空間曲面和曲線除了利用圖形上的點的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系建立方程外，還常用參數(shù)方程來表示。參數(shù)方程的特征是方程中既有表示坐標(biāo)的變量，也有坐標(biāo)以外的其他變量（稱參數(shù)），且坐標(biāo)變量，分別可以表示成參數(shù)的函數(shù)。10曲線（直線）的參數(shù)方程均含一個參數(shù)，曲面（平面）的參數(shù)方程

8、含兩個參數(shù)。簡單的參數(shù)方程消去參數(shù)后可化得普通方程，但并不是所有的參數(shù)方程都能化成普通方程的。（三）1三個向量相乘有混合積和雙重向量積，其中雙重向量積的討論可見空間解析幾何這類專業(yè)教材，對于混合積在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多，它具有一個十分重要的幾何意義，即當(dāng)，不共面時，的絕對值等于，為棱的平行六面體的體積。因此利用混合積可以解決求一類體積的問題。2三個以上的向量相乘的問題總可轉(zhuǎn)化為三個向量相乘，因此可歸結(jié)為三個向量相乘來討論。3混合積的坐標(biāo)表示與特征性質(zhì)設(shè)，則，共面。4在學(xué)習(xí)曲面與空間曲線時，應(yīng)注意兩點： 空間曲面方程的定義與平面曲線方程的定義相類似，通常將曲面看成具有某種特征性質(zhì)的空間點的軌跡，用方程來表示，從集合的觀點來看，曲面就是所有滿足方程的點的集合。 要充分理解空間曲線一般方程的定義。 這里強調(diào)用通過空間曲線的任意兩個曲面的方程來表示，即用通過空間曲線的兩個曲面方程聯(lián)立起來表示空間曲線。若由