202X版高考數學總復習第七篇立體幾何與空間向量（必修2、選修2_1）第7節(jié)立體幾何中的向量方法（第一課時）證明平行和垂直課件理

1、第第7 7節(jié)立體幾何中的向量方法節(jié)立體幾何中的向量方法 考綱展示考綱展示 1.1.理解直線的方向向量與平面的法向量理解直線的方向向量與平面的法向量. .2.2.能用向量語言表述線線、線面、面面能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系的平行和垂直關系, ,能用向量方法證明立能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理定理( (包括三垂線定理包括三垂線定理).).3.3.能用向量方法解決直線與直能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題的夾角的計算問題, ,了解向量方了解向量方法在研究立體幾何中

2、的應用法在研究立體幾何中的應用. .知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來知識梳理知識梳理1.1.直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量和平面的法向量(1)(1)直線的方向向量直線的方向向量. .直線直線l l上的向量上的向量e e或與或與e e共線的向量叫做直線共線的向量叫做直線l l的方向向量的方向向量, ,顯然一條直線的方向向量有顯然一條直線的方向向量有 個個. .(2)(2)平面的法向量平面的法向量. .如果表示向量如果表示向量n n的有向線段所在直線垂直于平面的有向線段所在直線垂直于平面,則稱這則稱這個向量垂直于平面?zhèn)€向量垂直于平面,記作記作n n,此時向

3、量此時向量n n叫做平面叫做平面的法向量的法向量. .顯然一個平顯然一個平面的法向量有面的法向量有 個個, ,且它們是且它們是 向量向量. .無數無數無數無數共線共線2.2.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設直線設直線l l的方向向量為的方向向量為a a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1).).平面平面,的法向量分別為的法向量分別為=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),v v=(a=(a3 3,b,b3 3,c,c3 3).).(1)(1)線面平行線面平行(l )(l )lla aa a=0=0a a1 1a

4、a2 2+b+b1 1b b2 2+c+c1 1c c2 2=0.=0.(2)(2)線面垂直線面垂直lla aa a=k=ka a1 1=ka=ka2 2,b,b1 1=kb=kb2 2,c,c1 1=kc=kc2 2. .(3)(3)面面平行面面平行vv=v va a2 2=a=a3 3,b,b2 2=b=b3 3,c,c2 2=c=c3 3. .(4)(4)面面垂直面面垂直vvv v=0=0a a2 2a a3 3+b+b2 2b b3 3+c+c2 2c c3 3=0.=0.a na n設設n n1 1, ,n n2 2分別是二面角分別是二面角- -l l- -的兩個面的兩個面,的法向量

5、的法向量, ,則向量則向量n n1 1與與n n2 2的夾角的夾角( (或其補角或其補角) )的大小就是二面角的平面角的大小的大小就是二面角的平面角的大小( (如圖如圖(2)(3),(2)(3),其中圖其中圖(2)(2)中向量中向量夾角的大小即為二面角平面角夾角的大小即為二面角平面角, ,圖圖(3)(3)中則為其補角中則為其補角).).向量向量AB 與與CD (3)(3)線面距、面面距均可轉化為點面距再用線面距、面面距均可轉化為點面距再用(2)(2)中方法求解中方法求解. .222121212xxyyzzAB nn 對點自測對點自測1.1.若平面若平面,的法向量分別為的法向量分別為n n1 1

6、=(2,-3,5),=(2,-3,5),n n2 2=(-3,1,-4),=(-3,1,-4),則則( () )(A) (A) (B)(B)(C),(C),相交但不垂直相交但不垂直 (D)(D)以上均不正確以上均不正確解析解析: :因為因為n n1 1n n2 2=2=2(-3)+(-3)(-3)+(-3)1+51+5(-4)=-290,(-4)=-290,所以所以n n1 1與與n n2 2不垂直不垂直, ,又又n n1 1, ,n n2 2不共線不共線, ,所以所以與與相交但不垂直相交但不垂直. .故選故選C.C.C C2.2.已知已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),

7、A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面則平面ABCABC的一個法向量是的一個法向量是( ( ) )(A)(1,1,-1)(A)(1,1,-1)(B)(1,-1,1)(B)(1,-1,1)(C)(-1,1,1)(C)(-1,1,1)(D)(-1,-1,-1)(D)(-1,-1,-1)D DA A4.4.( (教材習題改編教材習題改編) )在長方體在長方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=2,BC=AA,AB=2,BC=AA1 1=1,=1,則則D D1 1C C1 1與平面與平面A A1 1BCBC1 1所成角的正弦值為所成角

8、的正弦值為, ,二面角二面角B B- -A A1 1C C1 1- -D D1 1的余弦值為的余弦值為. . 第一課時證明平行和垂直第一課時證明平行和垂直考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一利用空間向量證明平行問題考點一利用空間向量證明平行問題【例例1 1】 如圖所示如圖所示, ,在四棱錐在四棱錐P P- -ABCDABCD中中,PC,PC平面平面ABCD,PC=2,ABCD,PC=2,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, ,ABC=BCD=90ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,AB=4,CD=1,點點M M在在PBPB上上,PB=4PM,PB,PB=4P

9、M,PB與平面與平面ABCDABCD成成3030的角的角. .求證求證:CM:CM平面平面PAD.PAD.利用向量法證明平行問題的三種方法利用向量法證明平行問題的三種方法(1)(1)證明線線平行證明線線平行: :兩條直線的方向向量平行兩條直線的方向向量平行. .(2)(2)證明線面平行證明線面平行: :該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直; ;證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行; ;證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性

10、表示. .(3)(3)證明面面平行證明面面平行: :兩個平面的法向量平行兩個平面的法向量平行. .反思歸納反思歸納【跟蹤訓練跟蹤訓練1 1】 已知正方體已知正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為2,E,F2,E,F分別是分別是BBBB1 1,DD,DD1 1的中的中點點, ,求證求證: :(1)FC(1)FC1 1平面平面ADE;ADE;(2)(2)平面平面ADEADE平面平面B B1 1C C1 1F.F.考點二利用空間向量證明垂直問題考點二利用空間向量證明垂直問題【例例2 2】 在正方體在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1

11、 1C C1 1D D1 1中中,G,G為為CCCC1 1的中點的中點, ,求證求證: :平面平面A A1 1BDBD平面平面GBD.GBD.取取b=-1,b=-1,則則a=1,c=2,a=1,c=2,故平面故平面BDGBDG的一個法向量是的一個法向量是n n2 2=(1,-1,2).=(1,-1,2).n n1 1n n2 2=(1,-1,-1)=(1,-1,-1)(1,-1,2)=0,(1,-1,2)=0,故故n n1 1n n2 2, ,故平面故平面A A1 1BDBD平面平面GBD.GBD.反思歸納反思歸納向量法證明垂直關系向量法證明垂直關系已知直線已知直線a,ba,b的方向向量分別為

12、的方向向量分別為a,ba,b, ,平面平面,的法向量分別為的法向量分別為m,nm,n, ,平面平面內兩個不共線向量為內兩個不共線向量為e,fe,f. .(1)(1)若若a ab b, ,則則ab;ab;(2)(2)若若a am m, ,則則a;a;(3)(3)若若a ae,afe,af, ,則則a;a;(4)(4)若若m mn n, ,則則.【跟蹤訓練跟蹤訓練2 2】 正三棱柱正三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1的所有棱長都為的所有棱長都為2,D2,D為為CCCC1 1的中點的中點. .求證求證: :ABAB1 1平面平面A A1 1BD.BD.考點三利用空間向量解決

13、與垂直、平行有關的探索性問題考點三利用空間向量解決與垂直、平行有關的探索性問題【例例3 3】 (2018 (2018河南鄭州名校壓軸河南鄭州名校壓軸) )如圖如圖, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ABCD,AD=DC=CB=a,ABCD,AD=DC=CB=a,ABC=60ABC=60, ,四邊形四邊形ACFEACFE是矩形是矩形, ,且平面且平面ACFEACFE平面平面ABCD,ABCD,點點M M在線段在線段EFEF上上. .(1)(1)求證求證:BC:BC平面平面ACFE;ACFE;(1)(1)證明證明: :在梯形在梯形ABCDABCD中中, ,因為因為ABCD,AD=DC=CB=a

14、,ABC=60ABCD,AD=DC=CB=a,ABC=60, ,所以四邊形所以四邊形ABCDABCD是等腰梯形是等腰梯形, ,且且DCA=DAC=30DCA=DAC=30,DCB=120,DCB=120, ,所以所以ACB=DCB-DCA=90ACB=DCB-DCA=90, ,所以所以ACBC.ACBC.又因為平面又因為平面ACFEACFE平面平面ABCD,ABCD,又平面又平面ACFEACFE平面平面ABCD=AC,ABCD=AC,所以所以BCBC平面平面ACFE.ACFE.(2)(2)當當EMEM為何值時為何值時,AM,AM平面平面BDF?BDF?證明你的結論證明你的結論. .反思歸納反思

15、歸納立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種(1)(1)根據條件做出判斷根據條件做出判斷, ,再進一步論證再進一步論證. .(2)(2)假設所求的點或線存在假設所求的點或線存在, ,并設定參數表達已知條件并設定參數表達已知條件, ,根據題目進行求解根據題目進行求解, ,若若能求出參數的值且符合已知限定的范圍能求出參數的值且符合已知限定的范圍, ,則存在則存在. .備選例題備選例題【例【例1 1】 如圖所示如圖所示, ,正方體正方體ABCDABCD- -ABCDABCD的棱長為的棱長為1,E,F1,E,F分別是分別是BC,CDBC,CD上上的點的點, ,且且BE=CF=a(0a1),BE=CF=a(0a1),則則DEDE與與BFBF的位置關系是的位置關系是( () )(A)(A)平行平行(B)(B)垂直垂直(C)(C)相交相交(D)(D)與與a a值有關值有關【例例2 2】 如圖如圖, ,在四棱錐在四棱錐P P- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形,PA,PA底面底面ABCD,PA=AB=1,ABCD,PA=AB=1,AD= ,AD= ,點點F