導數(shù)壓軸題之隱零點問題專輯含答案純word版

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上導數(shù)壓軸題之隱零點問題導數(shù)壓軸題之隱零點問題(共13題)1已知函數(shù)f（x）=（aexax）ex（a0，e=2.718，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若f（x）0對于xR恒成立（1）求實數(shù)a的值；（2）證明：f（x）存在唯一極大值點x0，且【解答】（1）解：f（x）=ex（aexax）0，因為ex0，所以aexax0恒成立，即a（ex1）x恒成立，x=0時，顯然成立，x0時，ex10，故只需a在（0，+）恒成立，令h（x）=，（x0），h（x）=0，故h（x）在（0，+）遞減，而=1，故a1，x0時，ex10，故只需a在（，0）恒成立，令g（x）=，（x0），g（x）=0，故h

2、（x）在（，0）遞增，而=1，故a1，綜上：a=1；（2）證明：由（1）f（x）=ex（exx1），故f'（x）=ex（2exx2），令h（x）=2exx2，h'（x）=2ex1，所以h（x）在（，ln）單調遞減，在（ln，+）單調遞增，h（0）=0，h（ln）=2elnln2=ln210，h（2）=2e2（2）2=0，h（2）h（ln）0由零點存在定理及h（x）的單調性知，方程h（x）=0在（2，ln）有唯一根，設為x0且2ex0x02=0，從而h（x）有兩個零點x0和0，所以f（x）在（，x0）單調遞增，在（x0，0）單調遞減，在（0，+）單調遞增，從而f（x）存在唯一的極

3、大值點x0即證，由2ex0x02=0得ex0=，x01，f（x0）=ex0（ex0x01）=（x01）=（x0）（2+x0）（）2=，取等不成立，所以f（x0）得證，又2x0ln，f（x）在（，x0）單調遞增所以f（x0）f（2）=e2e2（2）1=e4+e2e20得證，從而0f（x0）成立2已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間e，+）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當a=1且kZ時，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值【解答】解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間e，+）上為增函數(shù)，f（x）=a+lnx+10在區(qū)間e，+）上恒成立，a（lnx1）

4、max=2a2a的取值范圍是2，+）（2）a=1時，f（x）=x+lnx，kZ時，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，k，令 g（x）=，則g（x）=，令h（x）=xlnx2（x1） 則h（x）=1=0，h（x） 在 （1，+）上單增，h（3）=1ln30，h（4）=22ln20，存在x0（3，4），使 h（x0）=0即當 1xx0時h（x）0 即 g（x）0xx0時 h（x）0 即 g（x）0g（x）在 （1，x0）上單減，在 （x0+）上單增令h（x0）=x0lnx02=0，即lnx0=x02，g（x）min=g（x0）=x0（3，4）kg（x）min=x0（3，4），且kZ，

5、kmax=33函數(shù)f（x）=alnxx2+x，g（x）=（x2）exx2+m（其中e=2.71828）（1）當a0時，討論函數(shù)f（x）的單調性；（2）當a=1，x（0，1時，f（x）g（x）恒成立，求正整數(shù)m的最大值【解答】解：（1）函數(shù)f（x）定義域是（0，+），（i）當時，1+8a0，當x（0，+）時f'（x）0，函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，+）；（）當，2x2+x+a=0的兩根分別是：，當x（0，x1）時f'（x）0函數(shù)f（x）的單調遞減當x（x1，x2）時f'（x）0，函數(shù)f（x）的單調速遞增，當x（x2，+）時f'（x）0，函數(shù)f（x）的單調遞減

6、；綜上所述，（i）當時f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，+），（）當時，f（x）的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和（2）當a=1，x（0，1時，f（x）g（x），即m（x+2）exlnx+x，設h（x）=（x+2）exlnx+x，x（0，1，當0x1時，1x0，設，則，u（x）在（0，1）遞增，又u（x）在區(qū)間（0，1上的圖象是一條不間斷的曲線，且，使得u（x0）=0，即，當x（0，x0）時，u（x）0，h'（x）0；當x（x0，1）時，u（x）0，h'（x）0；函數(shù)h（x）在（0，x0單調遞減，在x0，1）單調遞增，=，在x（0，1）遞減，當m3時，不等式m（x+2）exlnx+

7、x對任意x（0，1恒成立，正整數(shù)m的最大值是34已知函數(shù)f（x）=ex+alnx（其中e=2.71828，是自然對數(shù)的底數(shù)）（）當a=0時，求函數(shù)a=0的圖象在（1，f（1）處的切線方程；（）求證：當時，f（x）e+1【解答】（）解：a=0時，f（1）=e，f（1）=e1，函數(shù)f（x）的圖象在（1，f（1）處的切線方程：ye=（e1）（x1），即（e1）xy+1=0；（）證明：，設g（x）=f（x），則，g（x）是增函數(shù)，ex+aea，由，當xea時，f（x）0；若0x1ex+aea+1，由，當0xmin1，ea1時，f（x）0，故f（x）=0僅有一解，記為x0，則當0xx0時，f（x）0，f

8、（x）遞減；當xx0時，f（x）0，f（x）遞增；，而，記h（x）=lnx+x，則，ah（x0）h（），而h（x）顯然是增函數(shù)，綜上，當時，f（x）e+1本資料分享自千人教師QQ群 高中數(shù)學資源大全5已知函數(shù)f（x）=axex（a+1）（2x1）（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的圖象在點（0，f（0）處的切線方程；（2）當x0時，函數(shù)f（x）0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【解答】解：（1）若a=1，則f（x）=xex2（2x1），當x=0時，f（0）=2，f'（x）=xex+ex4，當x=0時，f'（0）=3，所以所求切線方程為y=3x+2（3分）（2）由條件可得，首先f（1）0，

9、得，而f'（x）=a（x+1）ex2（a+1），令其為h（x），h'（x）=a（x+2）ex恒為正數(shù)，所以h（x）即f'（x）單調遞增，而f'（0）=2a0，f'（1）=2ea2a20，所以f'（x）存在唯一根x0（0，1，且函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0+）上單調遞增，所以函數(shù)f（x）的最小值為，只需f（x0）0即可，又x0滿足，代入上式可得，x0（0，1，即：f（x0）0恒成立，所以（13分）6函數(shù)f（x）=xexax+b的圖象在x=0處的切線方程為：y=x+1（1）求a和b的值；（2）若f（x）滿足：當x0時，f（x）lnx

10、x+m，求實數(shù)m的取值范圍【解答】解：（1）f（x）=xexax+b，f（x）=（x+1）exa，由函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為：y=x+1，知：，解得a=2，b=1（2）f（x）滿足：當x0時，f（x）lnxx+m，mxexxlnx+1，令g（x）=xexxlnx+1，x0，則=，設g（x0）=0，x00，則=，從而lnx0=x0，g（）=3（）0，g（1）=2（e1）0，由g（）g（1）0，知：，當x（0，x0）時，g（x）0；當x（x0，+）時，g（x）0，函數(shù)g（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+）上單調遞增g（x）min=g（x0）=x0lnx0=x0lnx0=x

11、0x0+x0=1mxexxlnx+1恒成立mg（x）min，實數(shù)m的取值范圍是：（，1本資料分享自千人教師QQ群 高中數(shù)學資源大全7已知函數(shù)f（x）=3ex+x2，g（x）=9x1（1）求函數(shù)（x）=xex+4xf（x）的單調區(qū)間；（2）比較f（x）與g（x）的大小，并加以證明【解答】解：（1）'（x）=（x2）（ex2），令'（x）=0，得x1=ln2，x2=2；令'（x）0，得xln2或x2；令'（x）0，得ln2x2故（x）在（，ln2）上單調遞增，在（ln2，2）上單調遞減，在（2，+）上單調遞增（2）f（x）g（x）證明如下：設h（x）=f（x）g（x

12、）=3ex+x29x+1，h'（x）=3ex+2x9為增函數(shù)，可設h'（x0）=0，h'（0）=60，h'（1）=3e70，x0（0，1）當xx0時，h'（x）0；當xx0時，h'（x）0h（x）min=h（x0）=，又，=（x01）（x010），x0（0，1），（x01）（x010）0，h（x）min0，f（x）g（x）8已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x1）2（a0）（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）在區(qū)間（0，1）內有唯一的零點x0，證明：【解答】解：（1），當0a2時，f'（x）0，y=f（x）在（0，+）上單調遞增，當a

13、2時，設2ax22ax+1=0的兩個根為，且，y=f（x）在（0，x1），（x2，+）單調遞増，在（x1，x2）單調遞減（2）證明：依題可知f（1）=0，若f（x）在區(qū)間（0，1）內有唯一的零點x0，由（1）可知a2，且于是：由得，設，則，因此g（x）在上單調遞減，又，根據(jù)零點存在定理，故9已知函數(shù)f（x）=，其中a為常數(shù)（1）若a=0，求函數(shù)f（x）的極值；（2）若函數(shù)f（x）在（0，a）上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若a=1，設函數(shù)f（x）在（0，1）上的極值點為x0，求證：f（x0）2【解答】解：（1）f（x）=的定義域是（0，+），f（x）=，令f（x）0，解得0x，令f（x）

14、0，解得：x，則f（x）在（0，）遞增，在（，+）遞減，故f（x）極大值=f（）=，無極小值；（2）函數(shù)f（x）的定義域為x|x0且xa=，要使函數(shù)f（x）在（0，a）上單調遞增，則a0，又x（0，a）時，ax+a0，只需1+2lnx0在（0，a）上恒成立，即a2xlnxx在（0，a）上恒成立，由y=2xlnxx的導數(shù)為y=2（1+lnx）1=1+2lnx，當x時，函數(shù)y遞增，0x時，函數(shù)y遞減，當a即a0時，函數(shù)遞減，可得a0，矛盾不成立；當a即a時，函數(shù)y在（0，）遞減，在（，a）遞增，可得y2aln（a）+a，可得a2aln（a）+a，解得1a0，則a的范圍是1，0）；（3）證明：a=1

15、，則f（x）=導數(shù)為f（x）=，設函數(shù)f（x）在（0，1）上的極值點為x0，可得12lnx0=0，即有2lnx0=1，要證f（x0）2，即+20，由于+2=+2=，由于x0（0，1），且x0=，2lnx0=1不成立，則+20，故f（x0）2成立10已知函數(shù)f（x）=lnxx+1，函數(shù)g（x）=axex4x，其中a為大于零的常數(shù)（）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（）求證：g（x）2f（x）2（lnaln2）【解答】解：（）（2分）x（0，1）時，f'（x）0，y=f（x）單增；x（1，+）時，f'（x）0，y=f（x）單減 （4分）（）證明：令h（x）=axex4x2lnx+2x2=

16、axex2x2lnx2（a0，x0）（5分）故 （7分）令h'（x）=0即 ，兩邊求對數(shù)得：lna+x0=ln2lnx0即 lnx0+x0=ln2lna（9分），h（x）2lna2ln2（12分）11已知函數(shù)f（x）=x2（a2）xalnx（aR）（）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；（）當a=1時，證明：對任意的x0，f（x）+exx2+x+2【解答】解：（）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+），f（x）=2x（a2）= （2分）當a0時，f（x）0對任意x（0，+）恒成立，所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+）單調遞增；（4分）當a0時，由f（x）0得x，由f（x）0，得0x，所以，函數(shù)在區(qū)間

17、（，+）上單調遞增，在區(qū)間（0，）上單調遞減；（）當a=1時，f（x）=x2+xlnx，要證明f（x）+exx2+x+2，只需證明exlnx20，設g（x）=exlnx2，則問題轉化為證明對任意的x0，g（x）0，令g（x）=ex=0，得ex=，容易知道該方程有唯一解，不妨設為x0，則x0滿足ex0=，當x變化時，g（x）和g（x）變化情況如下表x（0，x0）x0（x0，）g（x）0+g（x）遞減遞增g（x）min=g（x0）=ex0lnx02=+x02，因為x00，且x01，所以g（x）min22=0，因此不等式得證本資料分享自千人教師QQ群 高中數(shù)學資源大全12已知函數(shù)（）當a=2時，（i

18、）求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（ii）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（）若1a2，求證：f（x）1【解答】解：（）當a=2時，定義域為（0，+），f（1）=12=3，f'（1）=22=0；所以切點坐標為（1，3），切線斜率為0所以切線方程為y=3；（ii）令g（x）=2lnx2x2，所以g（x）在（0，+）上單調遞減，且g（1）=0所以當x（0，1）時，g（x）0即f'（x）0所以當x（1，+）時，g（x）0即f'（x）0綜上所述，f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，1），單調遞減區(qū)間是（1，+）（）證明：f（x）1，即設，設（x）=ax2lnx+2所以'（x）在（0，+）小于零恒成立即h'（x）在（0，+）上單調遞減因為1a2，所以h'（1）=2a0，h'（e2）=a0，所以在（1，e2）上必存在一個x0使得，即，所以當x（0，x0）時，h'（x）0，h（x）單調遞增，當x（x0，+）時，h'（x）0，h（x）單調遞減，所以，因為，所以，令h（x0）=0得，因為1a2，所以，因為，所以h（x0）0恒成立，即h（x）0恒成立，綜上所述，當1a2時，f（x）113已知函數(shù)f（x）=（xa）lnx+x，（其中aR）（1）若曲線y=f（x）在點（x0，f