三十六 疊合圖形的面積

1、三十六 疊合圖形的面積為了說明什么是重疊問題，請(qǐng)聽下面一段師生對(duì)話老師：你家有幾口人？圖36-1學(xué)生：我家有兩對(duì)父子倆學(xué)生：不，我家有三口人同學(xué)們，你知道這是怎么回事嗎？如果你一時(shí)想不起來，那么圖36-1給出了問題的謎底原來，老師的錯(cuò)誤在于他重疊地計(jì)算了“爸爸”一次老師所犯的錯(cuò)誤決不是偶然的事實(shí)上，重疊問題經(jīng)常給人們?cè)斐伤季S上的誤區(qū)和“陷阱”，使你犯錯(cuò)誤或漏解看來，處理重疊問題在學(xué)習(xí)和研究中是必不可少的非常有必要來探討它重疊問題非常廣泛，下僅討論重疊的平面圖形的面積問題361每邊長(zhǎng)為10厘米的正方形紙片，正中間挖了一個(gè)正方形的洞，成為一個(gè)寬度是1厘米的方框把5個(gè)這樣的方框放在桌面上成為如圖36

2、-2所示的圖案問桌面上被這些方框蓋住部分的面積是多少？圖36-2解法1每個(gè)正方形的面積為102平方厘米，挖去的正方形的面積是（10-1-1）2平方厘米，故每個(gè)方框的面積為102-82=36（平方厘米）圖中雖有5個(gè)這樣的方框，但有8個(gè)面積為1的小正方形是重疊的，故覆蓋桌面的面積為365-8=172（平方厘米）解法2每個(gè)方框的面積可這樣圖36-3求：它有四條邊（如圖36-3），每條邊長(zhǎng)為9厘米，寬為1厘米，故每個(gè)方框面積為（91）4=36（平方厘米）再仿上可求桌面被覆蓋的面積為172平方厘米問題362如圖36-4，將長(zhǎng)方形ABCD的寬增加5厘米，長(zhǎng)減少3厘米，正好得到一個(gè)正方形，且正方形的面積比長(zhǎng)

3、方形多45平方厘米求正方形的面積S分析顯然長(zhǎng)方形ABCD與正方形有重疊部分，它是長(zhǎng)方形ABEF因此正方形的面積比長(zhǎng)方形多45平方厘米，可歸結(jié)為長(zhǎng)方形HAFG的面積比長(zhǎng)方形FECD的面積多45平方厘米圖36-4為了求得正方形的邊長(zhǎng)，我們補(bǔ)一個(gè)長(zhǎng)方形GFDK（因?yàn)檠a(bǔ)了后得到長(zhǎng)方形GECK，此長(zhǎng)方形不但與長(zhǎng)方形HAFG等長(zhǎng)，且這個(gè)長(zhǎng)就是正方形的邊長(zhǎng)）易算出長(zhǎng)方形GFDK的面積是35=15（平方厘米），易見長(zhǎng)方形HAFG的面積比長(zhǎng)方形GECK的面積多45-15=30（平方厘米）但它們的長(zhǎng)都是一樣的，且均為正方形的邊長(zhǎng)，而它們的寬相差5-3=2（厘米），故長(zhǎng)方形HAFG的面積比長(zhǎng)方形GECK的面積多的那

4、30平方厘米就相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)方形面積，此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與正方形的邊長(zhǎng)相等，而寬為2所以正方形的邊長(zhǎng)為302=15（厘米）故S=1515=225（平方厘米）問題363如圖36-5，正方形邊長(zhǎng)為4厘米，以邊長(zhǎng)為半徑，相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心在正方形內(nèi)畫弧，構(gòu)成圖中陰影部分的“葉形”求葉形的面積分析我們只會(huì)求正方形、長(zhǎng)方形、圓、扇形、三角形、梯形的面積，圖中的“葉形”面積我們不會(huì)求，怎么辦呢？一個(gè)很自然的思路是：設(shè)法把所求面積轉(zhuǎn)化成上述已會(huì)求面積的圖形去求圖36-5下文中出現(xiàn)的S、S、S、S正分別表示區(qū)域、和正方形的面積 S=16-12.56=3.44（平方厘米）再由對(duì)稱性知：S=S=3.44平方厘米由圖可知

5、S=S正-S-S=16-23.44=9.12（平方厘米）注意：本題中正方形面積是一個(gè)定數(shù)，區(qū)域是一個(gè)不規(guī)則圖形“解法1”是用“互補(bǔ)思想”求得的S，同時(shí)又用到“對(duì)稱原理”才使問題得到解決212.56=25.12（平方厘米）由圖可知，此面積之和正好比正方形的面積多了一個(gè)S故S=25.12-S正=25.12-16=9.12（平方厘米）解法3如圖366，取一條對(duì)角線把“葉形”面積分成兩個(gè)相等的部圖36-612.56-8=4.56（平方厘米）故所求面積為24.56=9.12（平方厘米）由本問題求解可見，求疊合圖形的面積的方法有時(shí)不唯一，要注意擇優(yōu)選法問題 364圖367中，正方形邊長(zhǎng)為2厘米，求陰影部分

6、的面積S解法1連如圖368所示的虛線，S就是ABC的面積減去兩個(gè)全等積，即解法2先求出圖369（1）中陰影部分的面積顯然正方形面積減掉一個(gè)整圓面積再除以2就是它的面積：（4-12）2=0.862=0.43（平方厘米）再把原圖分割成圖369（2）的形狀，區(qū)域是面積為1的正方形，而區(qū)域、合起來正好與圖（1）中陰影部分的面積相等，即S=10.43=1.43（平方厘米）解法3先求葉形的面積如圖3610，以每邊為直徑作半圓即得4個(gè)全等的葉形它們的面積之和為正方形面積減去圖369（1）中陰影部分面積的4倍，即4個(gè)葉形的面積和為4-40.43=2.28（平方厘米）故一個(gè)葉形面積為：2.284=0.57（平方

7、厘米）由圖367可見陰影部分的面積S=4-2半圓面積葉形面積=4-+0.57=1.43（平方厘米）問題365 圖3611里，中間4個(gè)陰影圖形面積的和與四周的四個(gè)陰影圖形面積之和哪個(gè)大？解設(shè)小圓半徑為r，則大圓半徑為2r4個(gè)小圓的面積之和為4（r2），而大圓的面積（2r）2也等于4r2，即它們相等由此易知4圓重疊的部分與空出的部分面積相等圖36-11即題中所述的兩個(gè)面積之和相等問題 366桌面上放置了3個(gè)面積為100平方厘米，且兩兩重疊的圓（如圖3612）這些圓蓋住桌面的總面積為144平方厘米，圖中疊了三層的面積是42平方厘米求圖中陰影部分的面積之和圖36-12分析中間的區(qū)域重疊了三層，而陰影部

8、分重疊了兩層首先三圓蓋住桌面積144平方厘米，已經(jīng)將中間部分和陰影部分的面積各計(jì)算了一次，再只需要計(jì)算一次陰影部分面積和兩次中間部分面積就正好等于三圓總面積3100平方厘米由此得到下面的解法解陰影部分面積為310014424272（平方厘米）問題367國(guó)際奧委會(huì)的會(huì)旗上的圖案是由代表五大洲的五個(gè)環(huán)組成的，每個(gè)環(huán)內(nèi)外直徑分別為8和10，如圖3613圖中兩兩相交的小曲邊四邊形（黑色部分）的面積相等已知5個(gè)環(huán)覆蓋的總面積是122.5，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積（取3.14）圖36-13解因?yàn)榄h(huán)內(nèi)、外半徑分別為4、5，故每個(gè)環(huán)的面積為52-42=9=28.26而 5個(gè)環(huán)的總面積為 528.26=141.

9、3，但覆蓋的面積只有122.5，則重疊的總面積為：141.3-122.5=18.8 重疊的小曲邊四邊形共有8個(gè)，故每個(gè)這樣的四邊形面積為：18.88=2.35問題 368求圖3614中陰影部分的面積S和周長(zhǎng)C圖36-14分析在圖3614中，我們會(huì)求面積的圖形只有長(zhǎng)方形和扇形要把圖中陰影部分通過“分”、“補(bǔ)”或“加”、“減”，組合轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形和扇形不但困難，簡(jiǎn)直就是束手無策，我們另起一個(gè)思路：和這個(gè)和不但把長(zhǎng)方形內(nèi)兩塊非陰影部分（這個(gè)不在S中）的面積算進(jìn)去了，而且把長(zhǎng)方形內(nèi)陰影面積也重復(fù)地算了一次，即一共正好多算了一個(gè)長(zhǎng)方形的面積 問題369將圖36-15（1）中的三角形紙片沿虛線折疊得到的粗實(shí)

10、線圖形（圖（2）的面積與原三角形面積之比為23已知圖（2）中三個(gè)陰影三角形的面積之和為1，那么重疊部分的面積是多少？分析把折過去的小三角形重新翻回來如圖3616，則折疊后的圖形面積與原三角形除掉梯形ABCD后的面積正好相等因?yàn)檎郫B后的圖形面積是形ABCD的面積與梯形CDFE的面積相等，所以這兩個(gè)梯形的面積都與三個(gè)小三角形面積之和相等，故重疊部分的面積仍然為1問題3610大寶和小貝是一對(duì)孿生兄妹，今天滿8歲媽媽特意給他們訂做了一個(gè)面積為S的正方形生日蛋糕爸爸要大寶把蛋糕均分成四份，使家里一人吃一塊大寶首先切一塊給爸爸，但不小心把蛋糕切成了如圖3617的形狀（O是正方形的中心）妹妹小貝連忙責(zé)備大寶

11、，大寶也很難為情但爸爸、媽媽說大寶沒有切錯(cuò)同學(xué)們你知道這是怎么回事嗎？可為此，延長(zhǎng) BO和 AO（如圖3617中的虛線），即得4個(gè)完全相同的四邊形故問題得證圖36-17實(shí)驗(yàn)剪兩個(gè)面積為S的正方形，先固定其中一個(gè)而把另一個(gè)的某一頂點(diǎn)用針釘?shù)焦潭ǖ恼叫沃行狞c(diǎn)上，然后轉(zhuǎn)動(dòng)后一個(gè)正方形，并觀察這兩個(gè)正方形重疊部分面積的變化情況不難發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)過程中有兩個(gè)特殊位置的疊合面就來證實(shí)這一猜想如圖3619，設(shè)四邊形OBCA是上述正方形轉(zhuǎn)到任一位置的重疊部分顯然要直接計(jì)算它的面積是困難的，只有來找它與特殊位置（比如圖3618（1）的關(guān)系為此，在圖3619中作出特殊位置的小正方形ONCM因?yàn)橹苯荗MA與直角ONB完全一樣，故可把OMA割下來補(bǔ)到ONB的位置上，即得到四練 習(xí) 36 1圖3620