Koch分形雪花圖的面積計(jì)算

1、Koch分形雪花圖的面積計(jì)算一、問(wèn)題敘述分形幾何圖形最基本的特征是自相似性，這種自相似性是指局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似。在具有自相似性的圖形中，圖形局部只是整體的縮影，而整體圖形則是局部的放大。而本文我們要分析的是Koch分形雪花圖，包含以下三個(gè)問(wèn)題：1.描述Koch分形雪花2.證明Koch分形雪花圖的邊數(shù)為 3.求Koch分形雪花圖的面積（數(shù)據(jù)），求 二、問(wèn)題分析在分析Koch分形雪花圖之前，我們首先介紹Koch分形曲線。Koch分形曲線的繪制原理是：從一條直線段開(kāi)始，將線段中間的三分之一部分用一個(gè)等邊三角形的兩邊代替，形成四條線段的折線，如圖2.1所

2、示：圖2.1 對(duì)一條線段進(jìn)行第一次Koch分形然后，對(duì)形成的四條直線段的每一條的中間的三分之一部分用等邊三角形的兩邊代替，形成十六條線段的折線。這種迭代繼續(xù)進(jìn)行下去可以形成Koch分形曲線。在迭代過(guò)程中，圖形中的點(diǎn)數(shù)將越來(lái)越多，而曲線的最終顯示細(xì)節(jié)的多少將取決于迭代次數(shù)和顯示系統(tǒng)的分辨率。設(shè)P1和P2分別是原始的兩個(gè)端點(diǎn)，現(xiàn)在需要在直線段的中間依次插入點(diǎn)Q1，Q2,Q3以產(chǎn)生第一次迭代圖形。顯然，Q1位于P1右端直線段的三分之一處，Q3位于P1點(diǎn)右端直線段的三分之二處，而Q2點(diǎn)的位置可以看作由Q3繞Q1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度而得到的，故可以處理 經(jīng)過(guò)正交變換而得到 。算法如下：（1） （2） ;（3

3、）。在算法中，用正交矩陣A構(gòu)造正交變換，其功能作用是對(duì)向量作旋轉(zhuǎn)，使之成為長(zhǎng)度不變的另一向量。在繪制Koch曲線的過(guò)程中，取旋轉(zhuǎn)的角度為 ，則正交矩陣A應(yīng)取為： 1.Koch分形雪花的描述Koch分形雪花的原始圖形是等邊三角形，它是由三條相等的線段圍成的三角形。根據(jù)前面介紹的一條線段的Koch分形的原理可知，Koch分形雪花的形成是對(duì)等邊三角形的三條邊進(jìn)行Koch分形，隨著迭代次數(shù)的增加，即可形成Koch分形雪花圖。2.證明Koch分形雪花圖的邊數(shù)為證：對(duì)于一條線段，第1次迭代生成的圖形包含4條線段，第2次迭代后生成的共有16條線段，第3次迭代后共有64條線段，以此類(lèi)推，第n次迭代后共有條線段

4、。所以，第n個(gè)圖形（即第n-1次迭代）共有 條線段。對(duì)于該等邊三角形，三條線段都進(jìn)行Koch分形，進(jìn)行n-1次迭代 ，生成的雪花圖的的直線段數(shù)為，也即雪花圖邊數(shù)為： 。3.求Koch分形雪花圖的面積(1)遞推法首先,假設(shè)要進(jìn)行分形的正三角形的邊長(zhǎng)為a,面積為S，則。設(shè)第一個(gè)圖形為，面積為，則=S;第二個(gè)圖形為 ，面積為，則；第三個(gè)圖形為，面積為，則，以此類(lèi)推，第n個(gè)圖形為，面積為，則，依次迭代，將最終表示成的形式為： 括號(hào)內(nèi)的和式為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，一共（n-1）項(xiàng)，所以 = = 因此， = 其中。所以,當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，= （其中，a是正三角形的邊長(zhǎng)）結(jié)論：當(dāng)時(shí)，Koch分形雪

5、花圖的面積為初始正三角形面積的1.6倍。（2）格林公式法計(jì)算多邊形面積法 多邊形面積算法： 令可得區(qū)域D的面積計(jì)算公式為: ,其中是圍繞多邊形D的逆時(shí)針?lè)较虻拈]合曲線。對(duì)進(jìn)行劃分, (j=1,2,n)參數(shù)方程: = = 所以,多邊形面積公式為: 頂點(diǎn)按逆時(shí)針排列，且。根據(jù)上述原理,我們用MATLAB首先編寫(xiě)Koch分形雪花圖形生成程序的編寫(xiě),然后將生成的所有的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)放在一個(gè)數(shù)組中(第一列代表點(diǎn)的橫坐標(biāo),第二列代表點(diǎn)的縱坐標(biāo)),應(yīng)用多邊形面積算法求解Koch分形雪花的面積。最后驗(yàn)證隨著迭代次數(shù)的增加，Koch分形雪花的面積是否收斂于1.6S（S代表原始正三角形的面積）。三、MATLAB實(shí)驗(yàn)

6、程序及注釋程序一：%Koch函數(shù)實(shí)現(xiàn)一條線段Koch分形function p1 h1=Koch(a,b,c,f,h)%（a,b）,(c,f)表示初始線段的兩個(gè)端點(diǎn);h表示迭代次數(shù)%p1表示迭代h次后，所有點(diǎn)的坐標(biāo)；h1表示迭代h次后節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)p=a b;c f;n=2;%與x軸平行的那一條線段順時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)60度，其他兩條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度if (a=0)&&(c=10) A=cos(pi/3) sin(pi/3);-sin(pi/3) cos(pi/3);else A=cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3);endfor k=1:h%對(duì)指定

7、線段的進(jìn)行h次迭代d=diff(p)/3;m=4*n-3;q=p(1:n-1,:);p(5:4:m,:)=p(2:n,:);p(2:4:m,:)=q+d;p(3:4:m,:)=q+d+d*A'p(4:4:m,:)=q+2*d;n=m;endp1=p;h1=m;plot(p(:,1),p(:,2),'b');hold on程序二：%Koch分形雪花圖的生成程序function s,s1,s3,t,h0=tol(n)%s表示迭代次數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，Koch分形雪花圖的面積%s1表示用格林公式求多邊形的面積法，求得n次迭代后，Koch分形雪花圖的面積%s3表示用迭代法，求得n次

8、迭代后，Koch分形雪花圖的面積%t表示s-s1的面積差值%h0表示第n次迭代后，Koch分形雪花圖的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)%對(duì)正三角形的三邊進(jìn)行Koch分形p1 h1=Koch(0,0,10,0,n);p2 h2=Koch(5,5*sqrt(3),10,0,n);p3 h3=Koch(0,0,5,5*sqrt(3),n);%構(gòu)造數(shù)組p,表示迭代n次后，所有節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)； p=p1;p(h2+1:1:2*h2-1,:)=p2(h2-1:-1:1,:);p(2*h3:1:3*h3-2,:)=p3(h3-1:-1:1,:);plot(p(:,1),p(:,2),'b');fill(p(:,1),

9、p(:,2),'b');s1=0;%格林公式求Koch分形雪花圖的面積法for j=1:3*h1-3 s2=p(j,1)*p(j+1,2)-p(j+1,1)*p(j,2); s1=s1+s2;ends1=s1/2;s=1.6*(1.0/4)*sqrt(3)*100;s4=(1.0/4)*sqrt(3)*100; t1=1-(4.0/9)n;s3=(1+3*t1/5)*s4;%用迭代法求Koch分形雪花圖的面積法t=s-s1;%計(jì)算隨著迭代次數(shù)的增加，Koch分形雪花圖的面積距離極限的逼近程度h0=3*h1-3;%計(jì)算n次迭代后，Koch分形雪花圖的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)四、實(shí)驗(yàn)圖形及數(shù)據(jù)在本

10、次實(shí)驗(yàn)中，我們采用由三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正三角形作為Koch分形雪花圖的原始圖形，該正三角形的邊長(zhǎng)為10。1.Koch分形雪花圖 第0次迭代 第1次迭代 第2次迭代 第3次迭代 第4次迭代 第5次迭代 第6次迭代 第7次迭代 第8次迭代 第9次迭代經(jīng)過(guò)9次迭代，Koch分形的雪花圖的繪制基本完成。2.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果及分析用上述編寫(xiě)的MATLAB程序，算出第n次迭代后，用迭代法和格林公式法計(jì)算多邊形面積法計(jì)算出此時(shí)圖形的面積，并和迭代次數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)的面積比較，比較結(jié)果如下表所示。ns1s3sth0s1/s043.301343.301369.282025.980830.6250157.735057.735

11、069.282011.5470120.8333264.150064.150069.28205.1320480.9259367.001167.001169.28202.28091920.9671468.268368.268369.28201.01377680.9854568.831568.831569.28200.450530720.9935669.081869.081869.28200.2002122880.9971769.193069.193069.28200.0890491520.9987869.242569.242569.28200.03961966080.9994969.264569.264569.28200.01767864320.99971069.274269.274269.28200.007831457280.9999其中，n為迭代次數(shù)；s1是用格林公式求多邊形的面積法，求得的n次迭代后Koch分形雪花圖的面積；s3表示用迭代法，求得n次迭代后，Koch分形雪花圖的面積；s表示迭代次數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，Koch分形雪花圖的面積；t