近世代數(shù)模擬試題1及答案

1、近世代數(shù)模擬試題一. 單項選擇題(每題5分，共25分)1、在整數(shù)加群（Z，）中，下列那個是單位元（ ）.A. 0 B. 1 C. 1 D. 1/n，n是整數(shù)2、下列說法不正確的是（ ）.A . G只包含一個元g，乘法是ggg。G對這個乘法來說作成一個群;B . G是全體整數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群;C . G是全體有理數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群;D. G是全體自然數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群.3. 如果集合M的一個關(guān)系是等價關(guān)系，則不一定具備的是( ).A . 反身性 B. 對稱性 C. 傳遞性 D. 封閉性4. 對整數(shù)加群Z來說，下列不正確的是（ ）.A. Z沒有

2、生成元. B. 1是其生成元. C. 1是其生成元. D. Z是無限循環(huán)群.5. 下列敘述正確的是（ ）。A. 群G是指一個集合.B. 環(huán)R是指一個集合.C. 群G是指一個非空集合和一個代數(shù)運算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.D. 環(huán)R是指一個非空集合和一個代數(shù)運算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.二. 計算題(每題10分，共30分)1. 設G是由有理數(shù)域上全體2階滿秩方陣對方陣普通乘法作成的群，試求中G中下列各個元素，的階.2. 試求出三次對稱群 的所有子群.3. 若是環(huán)的惟一左單位元，那么是的單位元嗎？若是，請給予證明. 三. 證明題(第1小題10分，第2小題15分，第3小題20分，

3、共45分).1. 證明: 在群中只有單位元滿足方程 2 設是正有理數(shù)乘群，是整數(shù)加群. 證明： 是群到的一個滿同態(tài)，其中是整數(shù)，而.3 設是環(huán)的一個子環(huán).證明: 如果與都有單位元，但不相等，則的單位元必為的一個零因子.近世代數(shù)模擬試題答案2008年11月一、 單項選擇題(每題5分，共25分)1. A 2. D 3. D 4 . A 5 . C二. 計算題(每題10分，共30分)1. 解：易知 c的階無限， (3分)d的階為2. （3分） 但是 （2分） 的階有限，是2. （2分）2. 解：的以下六個子集 （7分）對置換乘法都是封閉的，因此都是的子集. （3分）3. 解： 是的單位元。事實上，任取 則因是的左單位元，故即 也是的左單位元。故有題設得 即 是的單位元.三、證明題(每小題15分共45分)1 證明： 設是的單位元，則顯然滿足所說的方程 （3分） 另外， 設且，則有 即 （5分）即只有滿足方程 （2分）2. 證明： 顯然是到的一個滿射 （3分）又由于 當時有 （4分）且 （6分）故 是群到的一個同態(tài)滿射。 （2分）3 證明： 分別用和表示與的單位元，且，于是不是的單位元。 （3分）因此