選修22導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測(cè)

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1.已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖，則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是()Af(xA)>f(xB) Bf(xA)<f(xB) Cf(xA)f(xB) D不能確定2任一作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s3tt2，則物體的初速度是()A0 B3 C2 D32t3已知曲線y2ax21過(guò)點(diǎn)(，3)，則該曲線在該點(diǎn)處的切線方程為()Ay4x1 By4x1 Cy4x11 Dy4x74若點(diǎn)P在曲線yx33x2(3)x上移動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是()A. B. C. D.5函數(shù)f(x)x3ax2在區(qū)間(

2、1，)內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，) B3，) C(3，) D(，3)6下列等式成立的是()A0dxba Bxdx C|x|dx2|x|dx D(x1)dxxdx7已知a>0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)減函數(shù)，則a的最大值為()A1 B2 C3 D48若函數(shù)f(x)asin xcos x在x處有最值，那么a等于()A. B C. D9已知 f(x)dx3，則f(x)6dx等于()A9 B12 C15 D1810設(shè)aR，若函數(shù)yeax3x，xR有大于零的極值點(diǎn)，則()Aa>3 Ba<3 Ca> Da<11函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是()A(，1

3、) B(1，) C(，1)，(1，) D(，1)，(1，)12某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款量與存款利率成正比，比例系數(shù)為k (k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去若存款利率為x (x(0,0.048)，則存款利率為多少時(shí)，銀行可獲得最大利益()A0.012 B0.024 C0.032 D0.036二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是_14設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1 (xR)，若對(duì)于x1，1，都有f(x)0，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)15.如圖，內(nèi)接于拋物線y1x2的矩形A

4、BCD，其中A、B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C、D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是_16已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，x2,2表示過(guò)原點(diǎn)的曲線，且在x±1處的切線的傾斜角均為，有以下命題：f(x)的解析式為f(x)x34x，x2,2 f(x)的極值點(diǎn)有且只有一個(gè)f(x)的最大值與最小值之和等于零 其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(10分)若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6，)上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍18(12分)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x與x1時(shí)都取得極值(1)求a，b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)

5、間；(2)若對(duì)x1,2，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范圍19.(12分)一艘漁艇停泊在距岸9 km處，今需派人送信給距漁艇3 km處的海岸漁站，如果送信人步行速度為5 km/h，漁船為4 km/h，問(wèn)：應(yīng)在何處登岸再步行可以使抵達(dá)漁站的時(shí)間最短？20(12分)某大型商廈一年內(nèi)需要購(gòu)進(jìn)電腦5 000臺(tái)，每臺(tái)電腦的價(jià)格為4 000元，每次訂購(gòu)電腦的其它費(fèi)用為1 600元，年保管費(fèi)用率為10%(例如，一年內(nèi)平均庫(kù)存量為150臺(tái)，一年付出的保管費(fèi)用60 000元，則10%為年保管費(fèi)用率)，求每次訂購(gòu)多少臺(tái)電腦，才能使訂購(gòu)電腦的其它費(fèi)用及保管費(fèi)用之和最小？21.(12分)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)

6、f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln 21且x>0時(shí)，ex>x22ax1.22(12分)已知函數(shù)f(x)x2ln x.(1)求函數(shù)f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求證：當(dāng)x(1，)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在g(x)x3x2的下方答案1Bf(xA)和f(xB)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)A、B處的切線斜率，故f(xA)<f(xB)2B物體的初速度即為t0時(shí)物體的瞬時(shí)速度，即函數(shù)s(t)在t0處的導(dǎo)數(shù)s(0)s|t0(32t)|t03.3B曲線過(guò)點(diǎn)(，3)， 32a21，a1，切點(diǎn)為(1,3)由導(dǎo)數(shù)定義可得y4ax4x，該點(diǎn)處

7、切線斜率為k4， 切線方程為y34(x1)，即y4x1.4B5Bf(x)3x2a.令3x2a0， 則a3x2，x(1，)，a3.6C由積分的幾何意義及性質(zhì)得0dx0，y|x|是偶函數(shù)，故C顯然正確7C8Af(x)acos xsin x，由題意f0，即a·×0，a.9Cf(x)6dxf(x)dx6dx31215.10B由ya·eax30，得eax>0，a<0， 0<eax<1，0<<1， a<3.11Cf(x)>0，又x1，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，1)，(1，)12B由題意知，存款量g(x)kx (k>0)，銀

8、行應(yīng)支付的利息h(x)xg(x)kx2，x(0,0.048)設(shè)銀行可獲得收益為y，則y0.048kxkx2.于是y0.048k2kx，令y0，解得x0.024，依題意知y在x0.024處取得最大值故當(dāng)存款利率為0.024時(shí)，銀行可獲得最大利益13(，1解析f(x)x，又f(x)在(1，)上是減函數(shù)，即f(x)0在(1，)上恒成立，又x2>0，故x22xb0在(1，)上恒成立，即x22xb0在(1，)上恒成立又函數(shù)yx22xb的對(duì)稱軸為x1，故要滿足條件只需(1)22×(1)b0，即b1.144解析若x0，則不論a取何值，f(x)0，顯然成立；當(dāng)x>0，即x(0,1時(shí)，f(

9、x)ax33x10 可轉(zhuǎn)化為a，設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而a4；當(dāng)x<0，即x1,0)時(shí)，f(x)ax33x10 可轉(zhuǎn)化為a，設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增因此g(x)ming(1)4，從而a4，綜上所述，a4.15.解析設(shè)CDx，則點(diǎn)C坐標(biāo)為.點(diǎn)B坐標(biāo)為，矩形ABCD的面積Sf(x)x·x (x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x時(shí)，f(x)>0，f(x)是遞增的，x時(shí)，f(x)<0，f(x)是遞減的，當(dāng)x時(shí)，f(x)取最大值.16解析f(x)3

10、x22axb，由題意得f(0)0，f(1)f(1)tan 1.，a0，b4，c0. f(x)x34x，x2,2故正確由f(x)3x240得x1，x2.根據(jù)x1，x2分析f(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn).x2(2，)(，)(，2)2f(x)00f(x)00x是極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn) x是極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)f(x)minf(x)max0.錯(cuò)，正確17解f(x)x2axa1，由題意知f(x)0在(1,4)上恒成立，且f(x)0在(6，)上恒成立由f(x)0得x2axa10，即x21a(x1)x(1,4)，x1(0,3)，ax1. 又x1(2,5)，a5，由f(x)0得x2axa10，即x21

11、a(x1)x(6，)，x1>0，ax1. 又x1(7，)，a7，同時(shí)成立，5a7.經(jīng)檢驗(yàn)a5或a7都符合題意， 所求a的取值范圍為5a7.18解(1)f(x)x3ax2bxc， f(x)3x22axb，由fab0， f(1)32ab0得a，b2.f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)>0，得x<或x>1， 令f(x)<0，得<x<1.所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是和(1，)，遞減區(qū)間是.(2)f(x)x3x22xc，x1,2，由(1)知，當(dāng)x時(shí)，fc為極大值，而f(2)2c，則f(2)2c為最大值，要使f(x)<c2，x1,2恒成立，則只

12、需要c2>f(2)2c，得c<1或c>2.19.解如圖所示，設(shè)BC為海岸線，A為漁艇停泊處，C為海岸漁站，D為海岸上一點(diǎn)AB9，AC3， BC15.設(shè)由A到C所需時(shí)間為t，CD的長(zhǎng)為x， 則tx (0x15)，t令t0，解得x3，x27(舍)在x3附近，t由負(fù)到正，因此在x3處取得極小值又t(0)，t(15)，t(3)，比較可知t(3)最小在距漁站3 km處登岸可使抵達(dá)漁站的時(shí)間最短20解設(shè)每次訂購(gòu)電腦的臺(tái)數(shù)為x，則開(kāi)始庫(kù)存量為x臺(tái)，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期的正常均勻銷售后，庫(kù)存量變?yōu)榱?，這樣又開(kāi)始下一次的訂購(gòu)，因此平均庫(kù)存量為x臺(tái)，所以每年的保管費(fèi)用為x·4 000·

13、;10%元，而每年的訂貨電腦的其它費(fèi)用為·1 600元，這樣每年的總費(fèi)用為·1 600x·4 000·10%元令y·1 600x·4 000·10%， y·5 000·1 600·4 000·10%.令y0，解得x200(臺(tái))也就是當(dāng)x200臺(tái)時(shí)，每年訂購(gòu)電腦的其它費(fèi)用及保管費(fèi)用總費(fèi)用達(dá)到最小值，最小值為80 000元21(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(

14、ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設(shè)g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)a>ln 21時(shí)，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)a>ln 21時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)>g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)>0，即exx22ax1>0，故ex