平面向量的內(nèi)積教(學(xué))案

1、平面向量的積【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)：(1 )了解平面向量積的概念及其幾何意義(2) 了解平面向量積的計(jì)算公式 為利用向量的積研究有關(guān)問題奠定基礎(chǔ)能力目標(biāo)：通過實(shí)例引出向量積的定義 ，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力.【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的概念及計(jì)算公式 【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)量積的概念及利用數(shù)量積來計(jì)算兩個(gè)非零向量的夾角.【教學(xué)設(shè)計(jì)】教材從某人拉小車做功出發(fā)，引入兩個(gè)向量積的概念需要強(qiáng)調(diào)力與位移都是向量， 而功是數(shù)量因此，向量的積又叫做數(shù)量積.在講述向量積時(shí)要注意：(1) 向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量的夾角余 弦的乘積其符號(hào)是由夾角決定；(2) 向量數(shù)量積的正確書寫方法是

2、用實(shí)心圓點(diǎn)連接兩個(gè)向量 教材中利用定義得到積的性質(zhì)后面的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常遇到，其中：h(1 )當(dāng) <a,b> = 0 時(shí)，a b =|a|b| ；當(dāng) <a,b> = 180 時(shí)，a b = -可以記憶為:兩個(gè)共線向量，方向相同時(shí)積為這兩個(gè)向量模的積；方向相反時(shí)積為這兩個(gè)向量模的積的相反數(shù).(2) |a| = . a a顯示出向量與向量的模的關(guān)系，是得到利用向量的坐標(biāo)計(jì)算向量模的 公式的基礎(chǔ)；a b(3) cos< a,b> =，是得到利用兩個(gè)向量的坐標(biāo)計(jì)算兩個(gè)向量所成角的公式的|a|b|基礎(chǔ);(4) “a b = 0 a b”經(jīng)常用來研究向量垂直問題，是推出兩個(gè)

3、向量積坐標(biāo)表示的重要基礎(chǔ).【教學(xué)備品】教學(xué)課件.【課時(shí)安排】2課時(shí).（80分鐘）【教學(xué)過程】*揭示課題7.3平面向量的積*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入F如圖7 21所示，水平地面上有一輛車，某人用 100 N的力，朝著與水平線成 30角 的方向拉小車，使小車前進(jìn)了100 m 那么，這個(gè)人做了多少功？動(dòng)腦思考探索新知【新知識(shí)】我們知道，這個(gè)人做功等于力與在力的方向上移動(dòng)的距離的乘積.如圖7 22所示，設(shè)水平方向的單位向量為i，垂直方向的單位向量為 j,則F xi + y j F sin30； i |f|cos30 j ,即力F是水平方向的力與垂直方向的力的和，垂直方向上沒有產(chǎn)生位移，沒有做功，水平 方向上產(chǎn)

4、生的位移為 s,即:QW =| F I cos 30 I s 1= 100 x -10 = 500 J 3 (J)2y丿卜F(x,y)貳1j / :OixF, s的模及它這里，力F與位移s都是向量，而功 W是一個(gè)數(shù)量，它等于由兩個(gè)向量數(shù)量積們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量F與向量s的積,它是一個(gè)數(shù)量，又叫做圖 7-23如圖7 23 ,設(shè)有兩個(gè)非零向量 a, b ,作OA = a, OB=b ,由射線OA與OB所形成的角叫做向量 a與向量b的夾角，記作< a,b> 兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的積，記作ab,即a b =| a|b|cos< a,b

5、>(7.10)上面的問題中，人所做的功可以記作W = F s.由積的定義可知a 0 = 0, 0 a = 0.由積的定義可以得到下面幾個(gè)重要結(jié)果:(1) 當(dāng)< a,b> = 0 時(shí)，a b = |a|b| ；當(dāng) < a,b> = 180時(shí)，a b = - |a|b|.(3) 當(dāng) b = a 時(shí)，有 <a,a> = 0,所以 a a = |a|a|= |a|2,即 | a|= . a a .(4) 當(dāng) a,b 90時(shí)，a b ,因此，a b = a b cos90 0,因此對(duì)非零向量 a, b ,a b = 0 a b.可以驗(yàn)證，向量的積滿足下面的運(yùn)算律

6、：(1) a b = b a .(2) ( a) b =(a b) = a( b).(3) (a + b) c = a c+ b c.注意：一般地，向量的積不滿足結(jié)合律，即a (b c) z(a b) c.請(qǐng)結(jié)合實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證*鞏固知識(shí)典型例題例 1 已知 |a|= 3,|b |= 2, < a,b> = 60，求 a b .解 a b = |a|b| cos< a,b> = 3X2 xcos 60 = 3 .例 2 已知 |a|=|b|= . 2 ,a b =. 2 ,求 <a,b> .cos< a,b > =、-22 、2由于0« a

7、,b > <180 ,所以思考并回答下面的問題:<a,b> = 135 . *理論升華 整體建構(gòu)平面向量積的概念、幾何意義結(jié)論:兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的積，記作a b,即a b的幾何意義就是向量 a的模與向量b在向量a上的投影的乘積.知識(shí)典型例題例3求下列向量的積：(1)a= (2,-3), b = (1,3);運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1. 已知|a| = 7, |b| = 4, a和b的夾角為60，求a b .2. 已知 a a = 9,求 |a|.3. 已知 |a| = 2,|b |= 3, < a,b > = 30，求(2a

8、 + b) b.動(dòng)腦思考探索新知設(shè)平面向量a= (xi,yi),b = (x2,y2), i, j分別為x軸，y軸上的單位向量，由于i丄j,故i j = 0,又 | i | = |j| = 1，所以a b = (x1 i + y1j) (x2 i + y2j)=X1X2 i?i +x1y2i?j+x2y1i?j+ y1y2j?j=X1 X2 |j|2 + y1 y2 |j|2=X1 X2+ y1 y2.這就是說，兩個(gè)向量的積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即a b = X1 X2 + y1 y2(7.11)利用公式(7 . 11)可以計(jì)算向量的模設(shè)a = (x,y),貝Ua -、, x2y2，即a

9、. x2 y2(7.12)由平面向量積的定義可以得到，當(dāng)a、b是非零向量時(shí),a b|a|b|X1 X?y1 y2(7.13)利用公式(7.13)可以方便地求出兩個(gè)向量的夾角由于a b a b = 0，由公式(7.11)可知xi X2 + yi y2 = 0 .14)因此a bxi X2+ yi y2 = 0.利用公式（7.14）可以方便地利用向量的坐標(biāo)來研究向量垂直的問題.*鞏固知識(shí)典型例題例3求下列向量的積：(2) a= (2,-3), b = (1,3);(3) a= (2, -1), b = (1,2)；(4) a= (4,2), b = (-2, -3).解(1) a b = 2 X1

10、 + (- 3) X3 = -7 ；(2) ab = 2 X1 + (-1) X2 = 0 ；(3) ab = 2 x(- 2) + 2 x(-3) = -14 .例 4 已知 a = (- 1,2), b = (-3,1).求 a b, |a|,|b|, < a,b> .解a b = (-1)( - 3) + 2 X1 = 5 ；|a|= . a a ( 1)2225 ；|b| = b b . ( 3)212.10 ;, a b572cos< a,b> =|a|b|V10V52所以<a,b> = 45；.例5 判斷下列各組向量是否互相垂直：(1) a =

11、(-2, 3),b = (6, 4)； a = (0, -1),b = (1, -2).解 (1)因?yàn)?a b = (-2) X6 + 3 X4 = 0,所以 a b . 因?yàn)閍 = 0 xi +(-1)x(- 2) = 2，所以a與b不垂直.運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1. 已知 a = (5, - 4), b = (2,3)，求 a b .2. 已知 a = (1, 3), b = (0,3 ),求 <a,b> .3. 已知 a = (2, -3), b = (3, 4), c = (-1,3),求 a (b + c).4. 判斷下列各組向量是否互相垂直:(3) a = (-2,1), b = (3,4).(1) a = (-2, -3), b = (3, -2); (2) a = (2,0) , b = (0, -3);5. 求下列向量的模：a = (-2, -4), b = (3, -2) ；(2) a = (2,1) , b = (4, -3)；歸納小結(jié)強(qiáng)化思想本次課學(xué)了哪些容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么