立體幾何垂直證明-教師

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體幾何垂直證明題常見模型及方法垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直 線面垂直 面面垂直； 基礎篇類型一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）（1） 共面垂直：實際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直 （只需要同學們掌握以下幾種模型）等腰（等邊）三角形中的中線 菱形（正方形）的對角線互相垂直 勾股定理中的三角形1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等證明直角。例：在正方體中，O為底面ABCD的中心，E為,求證：（2） 異面垂直 （利用線面垂直來證明，高考中的意圖）例1 在正四面體ABCD中，求證變式1 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，已知證明：；變式2如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，PAC=PBC=

2、90 º證明：ABPC類型二：線面垂直證明 方法 利用線面垂直的判斷定理 例2：在正方體中，O為底面ABCD的中心，E為,求證：變式1：在正方體中，,求證：DACOBE變式2：如圖：直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=2，ACB=90°.E為BB1的中點，D點在AB上且DE=.求證：CD平面A1ABB1；變式3：如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，求證：平面BCD；變式4 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，求證：平面 利用面面垂直的性質(zhì)定理例3：在三棱錐P-ABC中，,，。方法點撥：此種情形，條件中含有面面垂直。ABCDEF變式1,

3、在四棱錐，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB是等腰三角形，且,求證：類型3：面面垂直的證明。(本質(zhì)上是證明線面垂直) 例1 如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，為的中點.(1) 求證：平面；(2) 求證：平面平面；例2 如圖，在四棱錐中，底面，是的中點（1） 證明； （2）證明平面；變式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分別是棱CC與BB上的點，且EC=BC=2FB=2（1）求證：平面AEF平面AACC；練習：1.設M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個命題：bMbM.其中正確的命題是 ( )A. B. C. D.2.下列命題中正確的是 ( )A.若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩

4、條直線，則這條直線垂直于這個平面B.若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平面C.若一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必定垂直于這條直線D.若一條直線垂直于一個平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面3.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點.現(xiàn)在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P.那么，在四面體PDEF中，必有 ( )第3題圖A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.設a、b是異面直線，下列命題正確的是 ( )A.過不在a、b上的一點P一

5、定可以作一條直線和a、b都相交B.過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直C.過a一定可以作一個平面與b垂直D.過a一定可以作一個平面與b平行5.如果直線l,m與平面,滿足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圓的直徑，C是圓周上一點，PC垂直于圓所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，則P到AB的距離為 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三個命題：垂直于同一個平面的兩條直線平行；過平面的一條斜線l有且僅有一個平面與垂直；異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直其中正確命題的個數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2

6、 D.38.d是異面直線a、b的公垂線，平面、滿足a，b，則下面正確的結(jié)論是 ( )A.與必相交且交線md或m與d重合B.與必相交且交線md但m與d不重合C.與必相交且交線m與d一定不平行D.與不一定相交9.設l、m為直線，為平面，且l，給出下列命題 若m，則ml；若ml，則m；若m，則ml；若ml，則m，其中真命題的序號是 ( )A. B. C. D.10.已知直線l平面，直線m平面，給出下列四個命題：若，則lm；若，則lm；若lm，則；若lm，則.其中正確的命題是 ( )A.與 B.與 C.與 D.與二、能力提高14.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH側(cè)面VBC,且H是VBC的垂心，BE是

7、VC邊上的高.第14題圖(1)求證:VCAB;(2)若二面角EABC的大小為30°,求VC與平面ABC所成角的大小.15.如圖所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.第15題圖(1)求證：MN平面PAD. (2)求證：MNCD.(3)若PDA45°，求證：MN平面PCD.16.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BAD60°，AB4，AD2，側(cè)棱PB，PD.(1)求證：BD平面PAD. (2)若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角PBCA的大小.第16題圖17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=

8、90°,BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中點，求證：AB1A1M18.如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長為a，M是AD的中點，N是BD上一點，且DNNB12，MC與BD交于P.(1)求證：NP平面ABCD. 第18題圖(2)求平面PNC與平面CCDD所成的角.(3)求點C到平面DMB的距離.空間中的計算 基礎技能篇類型一：點到面的距離方法1：直接法把點在面上的射影查出來，然后在直角三角形中計算例1：在正四面體ABCD中，邊長為a，求點A到面BCD的距離。 變式1 在正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD邊長為a,側(cè)棱長為b.求頂點V到底面ABCD的距離。變

9、式2在正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD邊長為a,側(cè)棱長為b.求頂點A到底面VCD的距離。方法2：等體積法求距離-在同一個三棱錐中利用體積不變原理，通過轉(zhuǎn)換不同的底和高來達到目的。例2 已知在三棱錐VABC中，VA,VB,VC兩兩垂直，VA=VB=3，VC=4，求點V到面ABC的距離。變式1：如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截而得到的，其中 （1）求的長；（2）求點到平面的距離 _A_B_D_C_O變式2 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是四邊長為1的菱形，, 面, ,求點B到平面OCD的距離變式3在正四面體ABCD中，邊長為a，求它的內(nèi)切求的半徑。類型二：其它種類的距離的計算（點到

10、線，點到點 ）例3 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是四邊長為1的菱形，, 面, ,M為OC的中點，求AM和點A到直線OC的距離_A_B_D_C_O習題：1正三棱錐P-ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點 到側(cè)面的距離是A B C6 D2如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點的最短路線的長為A10 B20 C30 D40二、填空題：3太陽光照射高為m的竹竿時，它在水平地面上的射影為1m，同時，照射地面上一圓球時，如圖所示，其影子的長度AB等于cm,則該球的體積為_4若一個正三棱柱的三視圖如下圖所示，則這個正三棱柱的高和底面邊長分別為_主視圖俯視

11、圖2左視圖三、解答題：5已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN2C1N求點B1到平面AMN的距離6一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M、N分別是AF、BC的中點）.（1）求證：MN平面CDEF； （2）求多面體ACDEF的體積7一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點.（1）求證：（2）當FG=GD時，在棱AD上確定一點P，使得GP/平面FMC,并給出證明SBCFDAEO8如圖，已知正四棱錐,設為的中點，為的中點，為邊上的點（1）求證：平面；（2）試確定點的位置，使得

12、平面底面BAACAC1AB1AA1AMN主視圖左視圖俯視圖9一個多面體的直觀圖、主視圖、左視圖、俯視圖如圖所示，、分別為、的中點（1） 求證：平面；（2） 求證：平面（3）求點A到面ANM的距離10正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4. E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，EFBD=G.（）求證：平面B1EF平面BDD1B1；（）求點D1到平面B1EF的距離d；（）求三棱錐B1EFD1的體積V.圖92111.在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.（如圖921）（）證明：SCBC；（）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小

13、；（）求三棱錐的體積VSABC.第4課線面垂直習題解答1.A 兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平行.2.C 由線面垂直的性質(zhì)定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 過a上任一點作直線bb,則a，b確定的平面與直線b平行.5.A依題意,m且m,則必有,又因為l=則有l(wèi),而m則lm,故選A.6.D過P作PDAB于D，連CD，則CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性質(zhì)知三個命題均正確.8.A 顯然與不平行.9.D 垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10.B ，l，lm11.cm2 設正三角

14、ABC的邊長為a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件ACBD(或任何能推導出這個條件的其它條件，例如ABCD是正方形，菱形等)時,有A1CB1D1(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).點評：本題為探索性題目，由此題開辟了填空題有探索性題的新題型，此題實質(zhì)考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應靈活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)證明:H為VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE為斜

15、線AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC為二面角EABC的平面角，EDC=30°,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影為CD.VCD為VC與底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90°,故ECD=60°,VC與面ABC所成角為60°.15.證明：(1)如圖所示，取PD的中點E，連結(jié)AE，EN，則有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE為平行四邊形.MNAE.第15題圖解AE平面PAD，M

16、N平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD.又PDA45°，E為PD的中點.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如圖(1)證：由已知AB4，AD，BAD60°，第16題圖解故BD2AD2+AB2-2AD·ABcos60°4+16-2×2×4×12.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90°，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得

17、PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD與底面ABCD所成的角.PDE60°，PEPDsin60°.作EFBC于F，連PF，則PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小為arctan.17.連結(jié)AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90°.A1MAC1,又ABC-A1B1C1為直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂線定理知AB1A1M. 點評：要證AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證AC1A1M，而AC1A1M一定會成