比和比例奧數(shù)講義

1、比和比例在應(yīng)用題的各種類型中，有一類與數(shù)量之間的（正、反）比例關(guān)系有關(guān) 在解答這類應(yīng)用題時(shí)，我們需要對題中各個(gè)量之間的關(guān)系作出正確的判斷。成正比或反比的量中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量.一種量（記作x）變化時(shí)另一種量（記作y）也隨著變化.與這兩個(gè)量聯(lián)系著，有一個(gè)不 變的量（記為k） 在判斷變量x 與 y 是否成正、反比例時(shí)，我們要緊緊抓住這個(gè)不變量k.如成正比例；如果k是y與x的積，即在x 變化時(shí)，y與x的積不變：xy=k,那么y與x成反比例.如果這兩 個(gè)關(guān)系式都不成立，那么y 與 x 不成（正和反）比例下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開始例 1 下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？速

2、度一定，路程與時(shí)間.路程一定，速度與時(shí)間.路程一定，已走的路程與未走的路程.總時(shí)間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個(gè)零件所用的時(shí)間.總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積.整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商.同時(shí)同地，竿高和影長.半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積.兩個(gè)齒輪嚙合轉(zhuǎn)動時(shí)轉(zhuǎn)速和齒數(shù)圓的半徑和面積（11） 長方體體積一定，底面積和高（12）正方形的邊長和它的面積（13）乘公共汽車的站數(shù)和票價(jià)（14）房間面積一定，每塊地板磚的面積與用磚的塊數(shù)（15）汽車行駛時(shí)每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量分析 以上每題都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成

3、比例呢？關(guān)鍵是能否把兩個(gè)兩種形式，或只能寫出加減法關(guān)系，那么這兩種量就不成比例.例如X零件數(shù)=總時(shí)間，總時(shí)間一定，制造每個(gè)零件用的時(shí)間與要制造的零件總數(shù)成反比例路程一定，已走的路程和未走的路程是加減法關(guān)系，不成比例解：成正比例的有：、（15）成反比例的有：、（11）、（14）不成比例的有：、（12）、（13）.例 2 一條路全長60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長的比依次是1:2: 3,某人走各段路程所用時(shí)間之比依次是 4 ： 5 ：6，已知他上坡的速度是每小時(shí)3 千米，問此人走完全程用了多少時(shí)間？分析 要求此人走完全程用了多少時(shí)間，必須根據(jù)已知條件先求出此人走上坡路用了多少時(shí)間，

4、必須知道走上坡路的速度（題中每小 時(shí)行3千米）和上坡路的路程，已知全程 60千米，又知道上坡、平 路、下坡三段路程比是1 ： 2 ： 3,就可以求出上坡路的路程.解：上坡路的路程：60 X 1=10 （千米）12 3走上坡路用的時(shí)間：110+3=31（小時(shí)）3上坡路所用時(shí)間與全程所用時(shí)間比：444 5 6 一行走完全程所用時(shí)間：31 = 121 （小時(shí)）3152答：此人走完全程共用121小時(shí)。2例3 一塊合金內(nèi)銅和鋅的比是2 : 3,現(xiàn)在再加入6克鋅，共得 新合金36克，求新合金內(nèi)銅和鋅的比？分析 要求新合金內(nèi)銅和鋅的比，必須分別求出新合金內(nèi)銅和鋅 各自的重量.應(yīng)該注意到銅和鋅的比是 2： 3

5、時(shí)，合金的重量不是36 克，而是（36-6）克.銅的重量始終沒有變.解：銅和鋅的比是2： 3時(shí)，合金重量：36-6= 30 （克）.銅的重量：30X 二-=12 （克）2 3新合金中鋅的重量：36-12=24 （克）.新合金內(nèi)銅和鋅的比:12 : 24= 1 : 2.答：新合金內(nèi)銅和鋅的比是1 : 2.例4師徒兩人共加工零件168個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用5分鐘, 徒弟加工一個(gè)零件用9分鐘，完成任務(wù)時(shí)，兩人各加工零件多少個(gè)？分析 師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，每分鐘可加工1個(gè)零件；徒5弟加工一個(gè)零件用9分鐘，每分鐘可加工零件1個(gè)。師、徒兩人效率9的比是1： 1,由于兩人的工作時(shí)間是一定的，根據(jù)=工作時(shí)

6、間5 9工作效率（一定），工作量與工作效率成正比例.解法1:設(shè)師傅加工x個(gè)，徒弟加工（168x）個(gè).1x ）占168-x 一19解得x=108.168x= 168 108 = 60 （個(gè)）.答：師彳t加工108個(gè)，徒弟加工60個(gè).解法2:由于師、徒兩人工作效率的比是1/，那么他們工作量5 9的比也是1/，因此師傅工作量是徒弟工作量的1 + 1=1« （倍），徒5 9595弟的工作量為1倍量。168 + （1+1 + 1） =60 （個(gè)）（徒弟）5960 X （1 + 1） =108 （個(gè)）（師傅）59解法3:師傅每分鐘加工1個(gè)，徒弟每分鐘加工1個(gè)，用相遇問59題思考方法可求出兩人各用

7、了多少分鐘然后用師、徒每分鐘各自的效率，分別乘以540就是各自加工零件的個(gè)數(shù)。168 - （- + -） =540 （分鐘）59-X 540=108 （個(gè)）5-X 540=60 （個(gè)）9解法4:按比例分配做168 乂 - = 108 （個(gè)）9 5168 乂2=60（個(gè)）9 5例5洗衣機(jī)廠計(jì)劃20天生產(chǎn)洗衣機(jī)1600臺，生產(chǎn)5天后由于 改進(jìn)技術(shù)，效率提高25%,完成計(jì)劃還要多少天?分析 這是一道比例應(yīng)用題，工效和工時(shí)是變量，不變量是計(jì)劃 生產(chǎn)5天后剩下的臺數(shù).從工效看，有原來的效率 1600+ 20= 80臺/ 天，又有提高后的效率 80X （1+25%） =100臺/天.從時(shí)間看，有 原來計(jì)劃

8、的天數(shù)，要求效率提高后還需要的天數(shù).根據(jù)工效和工時(shí)成反比例的關(guān)系，得：提高后的效率X所需天數(shù)=剩下的臺數(shù).解法1:設(shè)完成計(jì)劃還需x天.1600+20X （ 1 + 25%） Xx= 1600- 1600+ 20X580X 1.25Xx=1600 400100x=1200x=12.答：完成計(jì)劃還需12天.解法2:此題還可以轉(zhuǎn)化成正比例.根據(jù)實(shí)際效率是原來效率的1 + 25%=11倍，把原來效率看成“ 1”，實(shí)際和原來效率的比是11： 441=5: 4。因?yàn)楣ばШ凸r(shí)成反比例，所以實(shí)際與原來所需時(shí)間的比是4： 5,如果設(shè)實(shí)際還需要x天，原來計(jì)劃的天數(shù)是20- 5=15天，根 據(jù)實(shí)際與原來時(shí)間的比等

9、于實(shí)際天數(shù)與原來天數(shù)的比， 可以用正比例 解答.設(shè)完成計(jì)劃還需x天.4 _ x5一20一5解得x=12.解法3:（按工程問題解）設(shè)完成計(jì)劃還需 x天.X （1 + 25% Xx =1 1X52020解得x=12例6 一個(gè)長方形長與寬的比是14: 5,如果長減少13厘米，寬 增加13厘米，則面積增加182平方厘米，那么原長方形面積是多少 平方厘米？畫出圖便于解題：13厘米解法1: BC的長：182+ 13= 14 （厘米），BD 的長：14+ 13= 27 （厘米），從圖中看出AB長就是原長方形的寬，AD與AB的比是14 : 5,AB 與 BD 的比是 5 : （14 5） = 5 ： 9,AB

10、的長是27+ 9=15 （厘米）5AD 的長是15+9=42 （厘米）14原長方形面積是42X 15= 630 （平方厘米）.答：原長方形面積是630平方厘米.解法2:設(shè)原長方形長為14x,寬為5x.由圖分析得方程（14x13） X 13 5xX13=182,x= 3.則原長方形面積：（14X3） X （5X3） =630 （平方厘米）.例4、例5、例6是綜合性較強(qiáng)的題，介紹了幾種不同解法.要 求大家從不同角度、綜合、靈活運(yùn)用所學(xué)知識，多角度去思考解答應(yīng) 用題，從而提高自己思維判斷能力。習(xí)題1 . 一塊長方形的地，長和寬的比是 3： 2,長比寬多24米，這 塊地的面積是多少平方米？2 . 一塊

11、長方形的地，長和寬的比是 3 : 2,長方形的周長是120 米，求這塊地的面積？3 .水果店運(yùn)來橘子、蘋果共96筐，橘子和蘋果筐數(shù)的比是5： 3,求橘子、蘋果各是多少筐？4 .化肥廠計(jì)劃生產(chǎn)化肥1400噸，由于改進(jìn)技術(shù)5天就完成了計(jì) 劃的25%,照這樣計(jì)算，剩下的任務(wù)還需多少天完成？5 .小強(qiáng)買了一件上衣和兩條褲子，小明買了同樣價(jià)錢的上衣和 褲子各一件，他們用去錢數(shù)的比是 4 ： 3,已知一件上衣7元，求一 條褲子多少元？6,小剛讀一本書，第一天讀了全書的第二天比第一天多讀15了 6頁，這時(shí)已讀的頁數(shù)與剩下的頁數(shù)的比是 3: 7。小剛再讀多少 頁就能讀完這本書？7 .甲、乙兩車由A、B兩地同時(shí)

12、出發(fā)相向而行，甲乙兩車速度 比是2: 3,已知甲車走完全程用51小時(shí)。求兩車幾小時(shí)后在中途相2遇？8 .“長江”號輪船第一次順流航行 21公里又逆流航行4公里， 第二次在同一河流中順流航行12公里，逆流航行7公里，結(jié)果兩次 所用的時(shí)間相等.求順?biāo)倥c逆水船速的比。習(xí)題二解答321. 24+ （二-二）=120 （米）， 3+2 3+23120X- = 72 （米），120X- = 48 （米），72 X 48= 3456 （平方米）2. 120-2 = 60 （米），360X = 36 （米），260X= 24 （米），36X24 = 864 （平方米）.3. 5 + 3 = 8,96x&#

13、163; = 60筐（橘子），O396X -= 36筐（蘋果）.84 .設(shè)剩下的任務(wù)還需x天完成.25% 1-25%x-'25%x=75%X5,x=15.5 .設(shè)一件上衣與一條褲子的價(jià)錢之比是1 : x,則小強(qiáng)和小明用去錢數(shù)的 比是：l + 2x _41 + x =3r3（1 + 2x） =4 （1 + x）,3 + 6x = 4 + 4x,2x = l,1X= 2,7x1 = 3. 5 （元）（一條褲子）.乙3976. 6+（希-X2）X 有= 126 （頁）.7.設(shè)乙車行完全程用x小時(shí).13x = 2X5-,乙2x=3-,1+（斗+占）=2：（小時(shí)）.3： 5=5328.順?biāo)伲?/p>

14、逆水船速=（21-12）:（7-4）=3： 1.一、比和比的分配最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比 .例1甲、乙兩個(gè)長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是 3： 2,乙的長與寬之比是7 ： 5.求甲與乙的面積之比.解：設(shè)甲的周長是2.32甲的長與寬分別是g與5，乙的長與寬分別是方與記.I- H1 占甲與乙的面積之比是I 3 275(百HR77M. =864 5 875答：甲與乙的面積之比是 864：875.作為答數(shù)，求出的比最好都寫成整數(shù).例2如右圖，ABC比一個(gè)才!形，E是AD的中點(diǎn)，直線 CE把梯形分成甲、乙兩部分， 它們的面積之比是 10 ： 7.求

15、上底AB與下底CD的長度之比.解：因?yàn)镋是中點(diǎn)，三角形 CDE與三角形CEA面積相等.三角形ADCI三角形ABC高相等，它們的底邊的比 AB： CD三角形ABC的面積：三角形 ADC勺面積=(10-7) : ( 7X 2) = 3 ： 14.答：AB： CD=3： 14.兩數(shù)之比，可以看作一個(gè)分?jǐn)?shù)，處理時(shí)與分?jǐn)?shù)計(jì)算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分?jǐn)?shù)不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點(diǎn) .例3大、中、小三種杯子，2大杯相當(dāng)于5中杯，3中杯相當(dāng)于4小杯.如果記號表示 2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.解：大杯與中杯容量之比是 5 : 2=10 : 4,中杯與小杯容量之比是 4 ： 3,大杯、中杯與小杯

16、容量之比是10 ： 4 ： 3.：=(10X 2+4X 3+3X 4) : (10X5+4X 4+3X3)=44 : 75.答：兩者容量之比是 44 : 75.把5 ： 2與4 ： 3這兩個(gè)比合在一起，成為三樣?xùn)|西之比10 ： 4 ： 3,稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個(gè)更一般的例子.甲：乙二3 ： 5,乙：丙二7 ： 4,3 : 5=3 X 7 : 5X7=21 ： 35,7 : 4=7 X 5 : 4X5=35 : 20,甲：乙：丙二21 ： 35 ： 20.例4甲、乙、丙三人同去商場購物，甲花錢數(shù)的;等于乙花錢數(shù)的上 乙花錢數(shù)的，等于丙花錢數(shù)的結(jié)果丙比甲多花錢93元，問他們?nèi)?/p>

17、人共花了多少錢？解：根據(jù)比例與乘法的關(guān)系，甲數(shù)乂；=乙數(shù)xg,即】甲數(shù)：乙數(shù)=-'5 = 2： 3,34乙數(shù)乂了二丙數(shù)父亍，即：乙數(shù)：丙數(shù)=加217 A連比后是甲：乙：丙=2X16 : 3X16 ： 3X2=32 : 48 : 63.三人共花了 9型究：48；63=429 (元)53 - 32答：甲、乙、丙三人共花了 429元.例5 有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙長度的比是6 : 5,甲釘子的三釘入墻內(nèi)，甲與丙釘入墻內(nèi)的部分之比5 : 4,而它們留在墻外的部分一樣長 .問：甲、乙、丙的長度之比是多少？解：設(shè)甲的長度是6份.那么甲在墻外的部分是6* (?奉 =2.甲釘入墻內(nèi)的部

18、分是5乂勺=4,丙釘入墻內(nèi)的部分為心滿足比例式4:x=5 : 4.16S = 因此丙的長度是與+2.乙與丙的長度之比是5 : (y+2)=25 : 26,而甲與乙的長度之比是 6 : 5=30 : 25.甲：乙：丙=30 ： 25 ： 26.答：甲、乙、丙白長度之比是30 ： 25 ： 26.設(shè)甲的長度是6,也就是把甲分成6份，以它的:作為長度單位這樣便 6于利用已知條件6 ： 5,使大部分計(jì)算都整數(shù)化.這是解比例和分?jǐn)?shù)問題的常用手段.例6甲、乙、丙三種糖果每千克價(jià)分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價(jià)是多少元？解一：設(shè)每種糖

19、果所花錢數(shù)為 1,因此平均價(jià)是j j = 27,5 （兀）,+ + 22 30 33答：這些糖果每千克平均價(jià)是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但計(jì)算卻使人感到不易.最好的計(jì)算方法是，用22, 30, 33的最小公倍數(shù)330,乘這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子與分母，就有：3x330 / 一、-=27 5 C兀）15 + 11 + 10事實(shí)上，有稍簡捷的解題思路.解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比 .不妨設(shè)，所花錢數(shù)是 330,立即可求出，所買數(shù)量之比是甲：乙：丙 二15： 11 ： 10.平均數(shù)是（15+11 + 10） - 3=12.單價(jià)33元的可買10份，要買12份，單價(jià)是I 10,一、33X -

20、 = 27.5 （兀）下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當(dāng)一個(gè)數(shù)量被分成若干個(gè)數(shù)量，如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量例7 一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23,分母加32,新的分?jǐn)?shù)約分后是條原來的分?jǐn)?shù)是多少？解：新的分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是（10+23+32）,而分子與分母之比 2 : 3.因此2分子二（100 + 23 + 32）X 7 = 62.分母=（100 + 23 + 32）X - = 93.h 一八頭占自62 - 23；39原來分?jǐn)?shù)7 =93 - 3261等原來分?jǐn)?shù)是言61例8加工一個(gè)零件，甲需 3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個(gè)零

21、件要 加工，為盡早完成任務(wù)，甲、乙、丙應(yīng)各加工多少個(gè)？所需時(shí)間是多少？解：三人同時(shí)加工，并且同一時(shí)間完成任務(wù)，所用時(shí)間最少，要同時(shí)完成，應(yīng)根據(jù)工作 效率之比，按比例分配工作量 .三人工作效率之比是1 : 1=28 ： 24 ： 2133.54'他們分別需要完成的工作量是no中完成花25X靠問=7。0 （個(gè)”24乙完成】825X元目=6。0 （個(gè)）21丙完成全亞二班（個(gè)）所需時(shí)間是700X 3=2100 分鐘）=35 小時(shí).答：甲、乙、丙分別完成 700個(gè)，600個(gè)，525個(gè)零件，需要35小時(shí).這是三個(gè)數(shù)量按比例分配的典型例題.例9某團(tuán)體有100名會員，男會員與女會員的人數(shù)之比是14 ：

22、 11,會員分成三個(gè)組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會員與女會員人數(shù)之比是：甲：12 ： 13,乙：5 ： 3,丙：2 ： 1 ,那么丙有多少名男會員？解：甲組的人數(shù)是100 + 2=50 （人）.全體男會員人數(shù)是100乂癡*=56 （人）,甲組男會員人數(shù)是50X蕓有=24 （A） I乙、丙兩組男會員人數(shù)是 56-24=32（人）.乙組男會員占全組人數(shù)的 盤-122丙組男會員占全組人數(shù)的.二1如果丙阻男會員也是占兩組男會員只有50X3萼，因此丙組總88 o人數(shù)是（32-尋也）=18（人）o J O丙組男會員人數(shù)是18乂 1=12 （大）答：丙組有12名男會員.上面解題的最后一段，

23、實(shí)質(zhì)上與“雞兔同籠”解法一致，可以設(shè)想，“兔的腳數(shù)”是:“雞的腳數(shù)”是）憶總腳數(shù)”是32,"總頭數(shù)”是50一例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次是1 ： 2 ： 3.小龍走各段路程所用時(shí)間之比依次是 4： 5 ： 6.已知他上坡時(shí)速度為每小時(shí) 3千米，路程全長50千 米.問小龍走完全程用了多少時(shí)間？解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比上坡、平路、下坡的速度之比是123 4562124平路速度是3X亍-=彳（千米/小時(shí)）21下坡速度是3乂三一彳=6 1千米f小時(shí)）64走完全程所用時(shí)間50X 150X 2 24 5。乂3 ,3 +5

24、 +61+2+31+2+3 5 1+2+3_ 100 + 125 + 150二 36=1$ （小時(shí)）.答：小龍走完全程用了 10小時(shí)25分.上面是通常思路下解題.1 ： 2 ： 3計(jì)算中用了兩次，似乎重復(fù)計(jì)算，最后算式也頗費(fèi)事 事實(shí)上，靈活運(yùn)用比例有簡捷解法 .解二：全程長是上坡這一段長的(1+2+3) =6 (倍).如果上坡用的時(shí)間是4份，全程都是上坡，所用時(shí)間是4X6 (份)，具體時(shí)間是三(小時(shí))設(shè)小龍走完全程用 x小時(shí).可列出比例式x -50=（4+5 + 6）：2415x 二然 ''32410磊(小時(shí)).二、比的變化已知兩個(gè)數(shù)量的比，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也

25、發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個(gè)數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容例11甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是 5： 4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的 分?jǐn)?shù)比是5 ： 7.甲、乙原來各得多少分？解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒有變化 .原來要分成5+4=9份，變化后要分成 5+7=12 份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是 36,我們讓變化前后都按36份來算.5 : 4= (5X4) : (4X4) =20 ： 16.5 : 7= (5X3) : ( 7X 3) =15 : 21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來甲得 22

26、.5 + 5X 20=90 (分)，乙得 22.5 +5X 16=72 (分).答：原來甲得90分，乙得72分.我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程解二：設(shè)原先甲的得分是 5x,那么乙的得分是 4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式(5X-22.5 ) : ( 4X+22.5 ) =5 ： 7即 5 (4X+22.5 ) =7 ( 5X-22.5 )15x=12X 22.5x=18.甲原先得分18X5=90 （分），乙得18X4=72 （分）.例12有一些球，其中紅球占！當(dāng)再放入8個(gè)紅球后，紅球占總球數(shù) 的后，問現(xiàn)在共有多少球？解：其他球的數(shù)量沒有改變.增加8個(gè)紅球后，紅球

27、與其他球數(shù)量之比是5 : （ 14-5 ） =5 ： 9.在沒有球增加時(shí)，紅球與其他球數(shù)量之比是1 ： （ 3-1 ） =1 ： 2=4.5 : 9.因此8個(gè)紅球是5-4.5=0.5 （份）.現(xiàn)在總球數(shù)是5 + 98X 二 224 （個(gè)）0.5答：現(xiàn)在共有球224個(gè).本題的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)量中，有一個(gè)數(shù)量沒有變.把1 ： 2寫成4.5 ： 9,就是充分利用這一特點(diǎn).本題也可以列出如下方程求解：（x+8） : 2x=5 : 9.例13張家與李家的收入錢數(shù)之比是8 ： 5,開支的錢數(shù)之比是 8 : 3,結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余 270元.問每家各收入多少元？解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.如果他

28、們開支的錢數(shù)之比也是8： 5,那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是8： 5.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余 x元.有240 : x=8 : 5, x=150 （元）.實(shí)際上李家結(jié)余 270元，比150元多120元.這就是8 ： 5中5份與8 ： 3中3份的差， 每份是120+ （ 5-3） =60.（元）.因此可求出李家60 X 3=180180+270450張家開支 60 X 8=480 收入 480+240=720答：張家收入 720元，李家收入 450元.解二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一 樣多.我們畫出一個(gè)示意圖：創(chuàng)分X3./40一*5 份 X3.h -2皿

29、足也一張家開支的3倍是（8份-240） X 3.李家開支的8倍是（5份-270） X 8.從圖上可以看出5X 8-8 X 3=16份，相當(dāng)于270 X 8-240 X 3=1440 （元）.因此每份是1440+ 16=90 （元）.張家收入是 90X 8=720 （元），李家收入是 90X 5=450 （元）.本題也可以列出比例式：（8x-240 ） : （ 5x-270 ） =8 ： 3.然后求出x.事實(shí)上，解方程求x的計(jì)算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù) 味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些.例14 A和B兩個(gè)數(shù)的比是8 : 5,每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個(gè)數(shù).解：減少相同

30、的數(shù)34,因此未減時(shí)，與減了以后， A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時(shí)要 充分利用這一點(diǎn).8 ： 5,就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2 ： 1,兩者相 差1.將前項(xiàng)與后項(xiàng)都乘以 3,即2 ： 1=6 ： 3,使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2 （份） 或5-3=2 （份）.因此，每份是34： 2=17.A數(shù)是 17X8=136, B數(shù)是 17X5=85.答：A B兩數(shù)分別是136與85.本題也可以用例13解一 “假設(shè)”方法求解，不過要把減少后的2 ： 1,改寫成8 : 4.例15 小明和小強(qiáng)原有的圖畫紙之比是4： 3,小明又買來15張.小強(qiáng)用掉了 8張，現(xiàn)有

31、的圖畫紙之比是 5 ： 2.問原來兩人各有多少張圖畫紙？解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性 .4+3=7, 5+2=7, 15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成 7份，總數(shù)多了 7張, 因此，新的1份=原來1份+1原來4份，新的5份，5-4=1 ,因此新的1份有15-1 X4=11 （張）.小明原有圖畫紙11X5-15=40 （張），小強(qiáng)原有圖畫紙11X2+8=30（張）.答：原來小明有40張，小強(qiáng)有30張圖畫紙.解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法.先要將兩個(gè)比中的前項(xiàng)化成同一個(gè)數(shù)（實(shí)際上就是通分）4 : 3=20 ： 155 : 2=20 : 8.假設(shè)小強(qiáng)也買來15X：二?（張

32、），那么變化后的比仍應(yīng)是2。： 15,但現(xiàn)在是20 : 8,因此這個(gè)比的每一份是（不 *8）'（15一出 = 了小明現(xiàn)有20 X（張），原有55-15 = 40 （張）,小強(qiáng)現(xiàn)有*乂 y = 22 G長），原有22 + 8 = 30 （張）.當(dāng)然，也可以采用實(shí)質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法解三：設(shè)原來小明有4 “份”，小強(qiáng)有3 “份”圖畫紙.把小明現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘2,小強(qiáng)現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘 5,所得到的兩個(gè)結(jié)果相等.我們可以畫出如下示意圖：,日3 4份X 2-小映Z -tm 15X23 侏乂5小強(qiáng)MS 從圖上可以看出，3X 5-4 X 2=7 （份）相當(dāng)于圖畫紙 15X2+8X5=70

33、 （張）.因此每份是10張，原來小明有 40張，小強(qiáng)有30張.例11至15這五個(gè)例題是同一類型的問題 .用比例式的方程求解沒有多大差別 .用算術(shù)方 法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法， 也啟示一些隨機(jī)應(yīng)變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運(yùn)算，對小學(xué)生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運(yùn)用 .從課外的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進(jìn)思維例16粗蠟燭和細(xì)蠟久長短一樣.粗蠟燭可以點(diǎn)5小時(shí)，細(xì)蠟燭可以點(diǎn) 4小時(shí).同時(shí)

34、點(diǎn) 燃這兩支蠟燭，點(diǎn)了一段時(shí)間后，粗蠟燭長是細(xì)蠟燭長的 2倍.問這兩支蠟燭點(diǎn)了多少時(shí)間？解.設(shè)粗，細(xì)蠟燭長度是1,每小時(shí)，粗蠟燭點(diǎn)去，細(xì)蠟燭點(diǎn)去;我們把問題改變一下：設(shè)細(xì)蠟燭長度是2,每小時(shí)點(diǎn)去,，問過多長時(shí)間兩支蠟燭長度相等現(xiàn)在兩者相關(guān)是（2-1） t每小時(shí)能縮小差距（彳-2），因此兩者相等需要時(shí)間是（2-0 +=4 （小時(shí)）答：這兩支蠟燭點(diǎn)了 3小時(shí)20分.把細(xì)蠟燭的長度和每小時(shí)燒掉的長度都乘以2,使原來要考慮的“ 2倍”變成“相等”，思考就簡捷了 .解這類問題這是常用的技巧.再請看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.例17箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15

35、只紅球，經(jīng)過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？解：因?yàn)榧t球是白球的 3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球, 每次取15只，最后應(yīng)剩51只.因?yàn)榘浊蛎看稳?只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7X3=21只，最后 應(yīng)剩 3 X 3= 9 只.因此.共取了（51- 3 X3） + （ 7X3-15） = 7 （次）.紅球有 15 X 7+ 53 = 158 （只）.白球有7 X 7+3=52 （只）.原來紅球比白球多 158-52 = 106 （只）.答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.三、比例的其他問題比例關(guān)系可以

36、用比表示，也可以用分?jǐn)?shù)袤示，例如，甲比乙的4多7,這里必須用分?jǐn)?shù)來說，而不能用比.實(shí)際上它還是隱含著比例關(guān)系：（甲-7）:乙=2 ： 3.因此，有些分?jǐn)?shù)問題，就是比例問題.例18有一些畫片，小明取了其中的;還多考長，小強(qiáng)取了剩下的g再加33張，他們兩人取的畫片一樣多.問這些畫片有多少張？1?解：設(shè)這些畫片是整體L小明取走"加3張，乘仆的是|少球，取剩下 的冬就是取少3乂, = 1（張）2小強(qiáng)取到5加（方-D張.12因?yàn)閮扇巳〉囊粯佣?，q與二的差，相當(dāng)于（33-1）與3的差29.10這些畫片有29十=261 （張）.答：這些畫片有261張.9例19 一個(gè)容器內(nèi)貯有一些水現(xiàn)在倒掉其中,的

37、水，剩下的水和容器2共重7.2千克再倒掉剩下水的!,此時(shí)水與容器的重量，是原來（:第一次倒 掉水之前）的；問原來容器中有多少千克的水？解：設(shè)最初的水量是1,因此最后剩下的水是|母=葛按照題目條件，尚的水加一個(gè)容器的重量與彳的水加的容器重量一樣重，就有常器的重量=in容器重量=因此原有水的重量是72+ （洛）-8.4 （千克）.答：容器中原來有 8.4千克水.例18和例19,通常在小學(xué)數(shù)學(xué)中，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 .“比”有前項(xiàng)和后項(xiàng)，當(dāng)兩項(xiàng)合 在一起寫成一個(gè)分?jǐn)?shù)后，才便于與其他數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算.這就是把比（或除法）寫成分?jǐn)?shù)的好處.下面一個(gè)例題卻是要把分?jǐn)?shù)寫成比，計(jì)算就方便些例20 有兩堆棋子，A堆有

38、黑子350個(gè)和白子500個(gè)，B堆有黑子400個(gè)和白子100個(gè)為了使A堆中黑子占A堆的，B堆中黑子占1要從B堆中拿到A堆黑子、白子各多少個(gè)？弊要B堆中黑子占宗即黑子與白子之比是3： 1先從B堆中拿出黑子100個(gè)，使余下黑子與白子之比是（40-100 ） ： 100 = 3： 1.再要從B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持3： 1的比.現(xiàn)在A堆已有黑子350 + 100 = 450個(gè)），與已有白子 500個(gè)，相差50個(gè)要黑子占上就是兩種棋子一樣多從B堆再拿出黑子與白子，要相差 50個(gè)，又要符合3： 1這個(gè)比，要拿出白子數(shù)是50+ （ 3-1 ） = 25 （個(gè)）.再要拿出黑子數(shù)是

39、 25 X 3= 75 （個(gè)）.答：從B堆拿出黑子175個(gè)，白子25個(gè).例21高中學(xué)生的人數(shù)是初中學(xué)生人數(shù)的葭 高中畢業(yè)生的人數(shù)是初中0畢業(yè)生人數(shù)的標(biāo)，高.初中畢業(yè)生畢業(yè)后，高.初中留下的人數(shù)都是520人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？解一：先畫出如下示意圖：17傍初中印520 A.>|高盛如幽融I6-5 = 1,相當(dāng)于圖中相差 17-12 =5（份），初中總?cè)藬?shù)是 5X6=30份，因此，每份 人數(shù)是520+ （ 30-17 ） = 40 （人）.因此，高、初中畢業(yè)生共有40X （ 17+12） = 1160 （人）.答：高、初中畢業(yè)生共 1160人.解二E用2乘初中人數(shù)，應(yīng)與高中人數(shù)一樣

40、多，就產(chǎn)生如下算式，可6計(jì)算出每份是（520-520X 1）一（17X 1- 12）= 40 （大）66例21與例14是完全一樣的問題， 解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現(xiàn)？） 解 二是通常分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，顯然計(jì)算不如解一簡便例18, 19, 20, 21四個(gè)例題說明分?jǐn)?shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當(dāng)然關(guān) 鍵還是在于靈活運(yùn)用.3例22張、王、李三個(gè)人共有108元，張用了自己錢數(shù)的于 王用了自 己錢數(shù)的：，李用了自己錢數(shù)的三，各買了一支相同的鋼筆，問張和李剩43下的錢共有多少元？解：設(shè)鋼筆的價(jià)格是1.張有的錢數(shù)是一江|,王有的錢數(shù)是1-5=$2 3李有的錢數(shù)是L這樣就可以求出，鋼筆價(jià)格是5 4108 + C7T +3 310 + S + 9=108+-6=24 （元）一張剩下的錢數(shù)是24X （1-1） =16 （元），李剩下的錢數(shù)3_24 乂（/）= I2（兀），16+ 12= 2S （元），答：張、李兩人剩下的錢共 28元.題中有三個(gè)分?jǐn)?shù)，但它們比的基準(zhǔn)是不一樣的.為了統(tǒng)一計(jì)算單位，設(shè)定鋼筆的價(jià)格為1 .每個(gè)人原有的錢和剩下的錢都可以通過“1”統(tǒng)一地折算.解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，設(shè)定統(tǒng)一的計(jì)算單位是常用的解題技巧.作為這一講最后的內(nèi)容，我們通過兩個(gè)例題，介紹一下“混合比”例23 一頭豬賣銀幣，一頭山羊賣上銀幣