波利亞“怎樣解題”表在解題中的應(yīng)用

1、波利亞“怎樣解題”表在解題中的應(yīng)用著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是教會(huì)年輕人思考，他把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑他專(zhuān)門(mén)研究解題的思維過(guò)程，分解解題的思維過(guò)程得到一張“怎樣解題”表 ：3第一步：理解題目    1已知是什么？未知是什么？要確定未知數(shù)，條件是否充分？    2畫(huà)張圖，將已知標(biāo)上    3引入適當(dāng)?shù)姆?hào)    4把條件的各個(gè)部分分開(kāi)    第二

2、步：擬定方案1你能否轉(zhuǎn)化成相似的、熟悉的問(wèn)題？2你能用自己的語(yǔ)言重新敘述問(wèn)題？3回到定義去4你能否解決問(wèn)題的一部分？5你是否利用了所有的條件？     第三步：執(zhí)行方案  1勇敢地寫(xiě)出你的方法   2你能否說(shuō)出你寫(xiě)的每一步的理由？ 第四步：回顧    1你能否一眼就看出結(jié)論？    2你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)論？    3你能否把這個(gè)題目或這種方法用于解決其他的問(wèn)題？ 下面，我們就按“怎樣解題”中的步驟來(lái)

3、分析兩個(gè)例題的解題過(guò)程：例1：已知函數(shù)f(x)=mx3x的圖象上，以N(1，n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為， (1)求m，n的值； (2)是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f(x)k1991對(duì)于x1，3恒成立？如果存在，請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)求證：|f(sinx)f(cosx)|2f(t)(xR，t>0)理解題目：函數(shù)f(x)=mx3x，以點(diǎn)N(1，n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為 解：(1) f(x)=3mx21，依題意，得tan，即1=3m1，m=，n=擬定方案：對(duì)f(x)求導(dǎo)，由x=1處的導(dǎo)數(shù)等于1，算 出m，再根據(jù)n=f(1)算出n先求出f(x)于1，3 上

4、的最大值，k就易得到由求證的不等式知，只要證明|f(sinx)f(cosx)|的最大值小于2f(t)（t>0）的最小值即可 (2)令f(x)=2x21=0，得x=±當(dāng)1<x<時(shí)，f(x)=2x21>0；當(dāng)<x<3時(shí)，f(x)=2x21>0 f(1)=，f()=，f()=，f(3)=15因此，當(dāng)x1，3時(shí)f(x)15；要使不等式f(x)k1991對(duì)于x1，3恒成立，使不得等式f(x)k1991對(duì)于x1，3恒成立必須：k2006所以，存在最小的正整數(shù)k=2006，執(zhí)行方案：對(duì)|f(sinx)f(cosx)|的最大值，有兩種方法：（a）將x=sin

5、x和x=cosx代入f(x)，整理得出|f(sinx)f(cosx)| 的表達(dá)式，再利用三角 函數(shù)的性質(zhì)求最大值（b）由絕對(duì)值不等式得：|f(sinx)f(cosx)|f(sinx)|f(cosx)|，再利用f（x）的單調(diào)性得：|f(sinx)| ，|f(cosx)|，最大值容易算出2f(t)（t>0）的最小值也有兩種方法：（a）t>0，t2f(t)=2(t)(t21)1 （b）利用t 及f(x)于1，上遞增，也能求出最小值 (3)（法一）|f(sinx)f(cosx)|=|(sin3xsinx)(cos3xcosx)|=|(sin3xcos3x)(sinxcosx)|=|(sin

6、xcosx)(sin2xsinxcosxcos2x)1|=|sinxcos|x|sinxcosx|=|sinx+cosx|3=|3綜上可得，|f(sinx)f(cosx)|2f(t)(xR，t>0)2f(t)=2(t)(t21)1又t>0，t (法2)由(2)知，函數(shù)f(x)在1，上是增函數(shù)；在，上是減函數(shù)；在，1上是增函數(shù)；綜上可得，|f(sinx)f(cosx)|2f(t)(xR，t>0)所以，當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)，即|f(x)|sinx，cosx1，1，|f(sinx)| ，|f(cosx)|f(sinx)f(cosx)| |f(sinx)|f(cosx)| 又t&g

7、t;0t且函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，2f(t)2f()=2()3=又f(1)=， 回顧：檢驗(yàn)每一步的正確性及所得結(jié)果，有沒(méi)其它解法？仔細(xì)分析波利亞的怎樣解題表，不難發(fā)現(xiàn)：將解題的思維過(guò)程的分解為四個(gè)過(guò)程，把它們告訴學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生按照這五個(gè)思維過(guò)程，在解題過(guò)程中，有意識(shí)地調(diào)控他們自己的思維活動(dòng)，這是提高學(xué)生的思維品質(zhì)的一個(gè)有效途徑學(xué)生這種對(duì)自身學(xué)習(xí)活動(dòng)和思維過(guò)程的認(rèn)知和調(diào)控能力，實(shí)際上就是心理學(xué)上的元認(rèn)知能力簡(jiǎn)單的說(shuō)，元認(rèn)知是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知教師在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生了解元認(rèn)知知識(shí)，經(jīng)歷元認(rèn)知體驗(yàn)，學(xué)會(huì)元認(rèn)知監(jiān)控，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展是十分重要的從元認(rèn)知的角度來(lái)講，波利亞“怎樣解題”表至少有以下價(jià)值：（1）發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，或通俗一點(diǎn)，就是教會(huì)學(xué)生去思考（2）向?qū)W生傳授元認(rèn)知的知識(shí)，發(fā)展元認(rèn)