高三數(shù)學(xué)-參數(shù)方程講義

1、高三數(shù)學(xué)參數(shù)方程講義.txt大悲無淚，大悟無言，大笑無聲。我們手里的金錢是保持自由的一種工具。女人在約會(huì)前，一定先去美容院；男人約會(huì)前，一定先去銀行。 本文由lhh20011981貢獻(xiàn) doc文檔可能在WAP端瀏覽體驗(yàn)不佳。建議您優(yōu)先選擇TXT，或下載源文件到本機(jī)查看。 高三數(shù)學(xué)參數(shù)方程講義 數(shù)學(xué) 參數(shù)方程講義 一 知識結(jié)構(gòu) 二 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)： 1根據(jù)問題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)的意義。 2分析直線，圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程。 難點(diǎn)： 根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。 三本講內(nèi)容提要 1參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系

2、中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) 變數(shù) 的函數(shù) 都是某個(gè) 并且對于 的每一個(gè)允許值， 由這個(gè)方程所確定的點(diǎn) 線上，那么這 個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程， 聯(lián)系變數(shù) 的變數(shù) 都在這條曲 叫做參變數(shù)， 簡稱參數(shù)。 相對于參數(shù) 方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。 2圓 的參數(shù)方程可表示為 .參數(shù) 的幾何意義是 圓上一點(diǎn)和圓心的連線與 X 軸正半軸的夾角。 3橢圓 參數(shù)方程 （ 為參數(shù)） 4雙曲線 參數(shù)方程 （ 為參數(shù)） ， 5拋物線 的參數(shù)方程可表示為 . t 為以拋物線上一點(diǎn) （X,Y）與其頂 點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)。 6 經(jīng)過點(diǎn) ， 傾斜角為 的直線 l 的參數(shù)方程可表示為 （t 為參

3、數(shù)） 。 設(shè) M(x,y)為直線上的任意一點(diǎn)，參數(shù) t 的幾何意義是指從點(diǎn) P 到點(diǎn) M 的位移，可以 用有向線段 數(shù) 量來表示。參數(shù) t 帶符號. 四 典型例題 1直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用 求直線上點(diǎn)的坐標(biāo) 1一個(gè)小蟲從 出發(fā)，已知它在 x 軸方向的分速度是3，在 y 軸方向的分 速度是 4，問小蟲 3s 后的位置 Q。 分析：考慮 t 的實(shí)際意義，可用直線的參數(shù)方程 (t 是參數(shù))。 解：由題意知?jiǎng)t直線 PQ 的方程是 。 關(guān)于直線 l： ，其中時(shí)間 t 是參數(shù)，將 代入得 2求點(diǎn) 的對稱點(diǎn) 的坐標(biāo)。 解：由條件，設(shè)直線 的參數(shù)方程為 (t 是參數(shù))， A 到直線 l 的距離 ， 代入直線的

4、參數(shù)方程得 。 點(diǎn)評：求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的基本方法是先作垂線，求出交點(diǎn)，再用中點(diǎn)公式，而此 處則是充分利用了參數(shù) t 的幾何意義。 求解中點(diǎn)問題 3 已知雙曲線 的中點(diǎn) 的軌跡方程。 ， 過點(diǎn) 的直線交雙曲線于 ， 求線段 分析：中點(diǎn)問題與弦長有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有 解：設(shè) M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，則直線 P1P2 的方程是 代 入 雙 曲 線 方 程 (t 是參數(shù))， 得 ： 由題意 ，即 ，得 。 又直線 的斜率 ，點(diǎn) 在直線 上， 求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離 ，即 為所求的軌跡的方程。 4直線 l 過點(diǎn) P(1，2)，其參數(shù)方程為 交于點(diǎn) ，求 。 (t 是參數(shù))，直線

5、l 與直線 解：將直線 l 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式， 代入 得 點(diǎn)評：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯(cuò)，一般要將方程改成以位 移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。 5經(jīng)過點(diǎn) 求 和 ，傾斜角為 的值。 的直線 l 與圓 相交于 兩點(diǎn)， 解：直線 l 的方程可寫成 設(shè)點(diǎn) A，B 對應(yīng)的參數(shù)分別是 由 與 的符號相反知 ，代入圓的方程整理得： ，則 ， ， ， 點(diǎn)評： 解決本題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù)， 二是注意兩個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)的符號的 異同。 求直線與曲線相交弦的長 6已知拋物線 ，過焦點(diǎn) 作傾斜角為 的直線交拋物線于 兩點(diǎn)， 求證： 分析：弦長 。 解：由條件可設(shè) 得 的方程為 ( 是參數(shù))，

6、代入拋物線方程， 由韋達(dá)定理： ， 。 7已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，過橢圓左焦點(diǎn) F 且傾斜角為 60°的直 線交橢圓于 分析： 兩點(diǎn)，若 ，求則橢圓的離心率。 或 。 轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中的 解：設(shè)橢圓方程為 ，左焦點(diǎn) ，直線 的方程為 ，代入橢圓整理可得： ，由于 ，則 ， 代入， 得： ，將 ，得 ，故 。 點(diǎn)評： 在研究線段的長度或線段與線段之間的關(guān)系時(shí)， 往往要正確寫出直線的參數(shù)方程， 利用 t 的幾何意義，結(jié)合一些定理和公式來解決問題，這是直線參數(shù)的主要用途；通過直 線參數(shù)方程將直線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用同一參變量 t 來表示，可以將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題來 求解，體

7、現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 2圓的參數(shù)方程 8已知曲線 C1： （ 為參數(shù)） ， 曲線 C2： （t 為參數(shù)） （）指出 C1，C2 各是什么曲線，并說明 C1 與 C2 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （）若把 C1，C2 上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半，分別得到曲線 出 的參 數(shù)方程 與 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和 C 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明你的 寫 理由 分析：從參數(shù)方程來看曲線 C1 為圓，曲線 C2 為直線，也可以通過消參數(shù)，求得曲線 的普通方程判斷。并由參數(shù)方程進(jìn)行圖象的變換，得到曲線 方程解方程組判斷其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 ，再將其方程化為普通 解： ） 是圓， 是直線 的普通方程為 （ 半徑 的普通

8、方程為 的距離為 ， 所以 與 只有一個(gè)公共點(diǎn) ， 圓心 ， 因?yàn)閳A心 到直線 （）壓縮后的參數(shù)方程分別為 ： （ 為參數(shù)） ； ： （t 為參數(shù)） 化為普通方程為： 聯(lián)立消元得 所以壓縮后的直線 ： ， ，其判別式 ： ， ， 與 公共點(diǎn)個(gè) 與橢圓 仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)， 和 數(shù)相同 點(diǎn)評： 本題較為綜合的考查了參數(shù)方程和普通方程之間的轉(zhuǎn)化， 在研究圖象的伸縮變換 時(shí)用參數(shù)方程比較容易得到。而判斷兩曲線的位置關(guān)系則用普通方程通過解方程組得到較 好。 9若直線 與曲線 為參數(shù)，且 有兩個(gè)不同的 交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 分析：本題中參數(shù)方程表示的是圓的一部分，可以通過圖形解答。 解：曲線 為參

9、數(shù)，且 表示的以原點(diǎn)為圓心， 以 1 為半徑的右半圓， 如圖，直線 與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 直線應(yīng)介于兩直線之間則 答案： 點(diǎn)評：對于熟悉的曲線常用數(shù)形結(jié)合法解答. 10在平面直角坐標(biāo)系 xy 中，直線 L 的參數(shù)方程為 ， （參數(shù) ） ， 圓的參數(shù)方程為 （參數(shù) ） ，則圓的圓心坐標(biāo)為，圓心 到直線 L 的距離為。 分析：把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,并由點(diǎn)到直線的距離公式求解. 解：消去 的參數(shù) ，得 ；消去 的參數(shù) ， 得 xy6，所以圓的圓心坐標(biāo)是（0，2） 。圓心到直線 L 的距離是 ， 或直線的方程為 x+y-6=0，圓心到直線 L 的距離是 d= 答案： ； 。 點(diǎn)評：對于含有正弦

10、余弦的參數(shù)方程常常利用正弦余弦的平方和消參轉(zhuǎn)化. 11設(shè)曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)） ，直線 的方程為 ，則曲線 A、1 解：化曲線 B、2 上到直線 距離為 C、3 D、4 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) 的參數(shù)方程為普通方程： ， 圓心 線和圓相交， 到直線 的距離 ，直 過圓心和 平行的直線和圓的 2 個(gè)交點(diǎn)符合要求，又 在直線 的另外一側(cè)沒有圓上的點(diǎn)符合要求，所以選 B. 點(diǎn)評：解決這類問題首先把曲線 ， 的參數(shù)方程為普通方程，然后利用圓心到直線的距 離判斷直線與圓的位置關(guān)系，這就是曲線 上到直線 距離為 ，然后再判斷知 ，進(jìn)而得出結(jié)論. 3圓錐曲線的參數(shù)方程 11. 已知橢圓方程為 橢圓上任

11、一點(diǎn)，引 方程。 ， ，橢圓長軸的左、右頂點(diǎn)分別為 A1、A2，P 是 ，且 與 的交點(diǎn)為 ，求點(diǎn) 的軌跡 解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 （ ） ， 則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 由題意知， ， . A1Q 的方程為 y= A2Q 的方程為 y= × ，得 · . 化簡整理，得 即為所求的軌跡方程。 12已知定點(diǎn) 、 ，動(dòng)點(diǎn) C 在橢圓 上運(yùn)動(dòng)（如圖） 。求 面積的最大值和最小值。 解：依題設(shè)易求得 的方程為 ， 已知橢圓的參數(shù)方程為 則橢圓上點(diǎn) 到直線 PQ 的距離 顯然，當(dāng) = 時(shí)，d 最大，且 d 最大值= 此時(shí) SPQC 的最大值是 ×d 最大值× ； 當(dāng) 13直

12、線 和 時(shí)，d 最短，d 最小值= 與拋物線 長為 ，求 此時(shí) SPQC 的最小值為 相交于原點(diǎn)和 的值 。 點(diǎn)， 為拋物線上一點(diǎn)， 垂直，且線段 解析： 設(shè)點(diǎn) 分別為 ， 則 ， 的坐標(biāo)分別為 14已知 程 解析：設(shè) ， ， 為拋物線 上兩點(diǎn)，且 ，求線段 中點(diǎn)的軌跡方 據(jù) 的幾何意義，可得 設(shè)線段中點(diǎn) ，則 消去參數(shù) 得 五 本周測試 一、選擇題 點(diǎn)的軌跡方程為 1曲線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（ ） A B C D 2直線 被圓 截得的弦長為（ ） A B C D 3若點(diǎn) A 二、填空題 在以點(diǎn) B 為焦點(diǎn)的拋物線 C D 上，則 等于（ ） 4直線 的斜率為。 5參數(shù)方程 的普通方程為 6 已知直線 則 。 與直線 相交于點(diǎn) ， 又點(diǎn) ， 7直線 被圓 截得的弦長為。 三、解答題 8已知點(diǎn) （1）求 （2）若 是圓 的取值范圍； 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。 上的動(dòng)點(diǎn)， 9在橢圓 上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線 的距離的最小值。 1