一元一次方程及其解法

1、3.1一元一次方程及其解法1一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，且等式兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程如：75x3,3(x2)4x等都是一元一次方程解技巧 正確判斷一元一次方程判斷一元一次方程的四個條件是：只含有一個未知數(shù)(元)；未知數(shù)的次數(shù)都是一次；未知數(shù)的系數(shù)不能為0；分母中不含未知數(shù)，這四個條件缺一不可(2)方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解一元方程的解，也叫做方程的根方法：要檢驗?zāi)硞€數(shù)值是不是方程的解，只需看兩點：一看，它是不是方程中未知數(shù)的值；二看，將它分別代入方程的左邊和右邊，若方程左、右兩邊的值相等，則它是方程的解如

2、x3是方程2x42的解，而y3就不是方程2x42的解(3)解方程求方程的解的過程叫做解方程方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的結(jié)果，它是一個數(shù)值(或幾個數(shù)值)，而解方程是指求出方程的解的過程【例11】 下列各式哪些是一元一次方程()ASab；B.xy0；C.x0；D.1；E.312；F.4y51；G.2x22x10；H.x2.解析：E中不含未知數(shù)，所以不是一元一次方程；G中未知數(shù)的次數(shù)是2，所以不是一元一次方程；A與B中含有的未知數(shù)不是一個，也不是一元一次方程；H雖然形式上字母的個數(shù)是一個，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知數(shù)，不是一元一次方程；只有C，F(xiàn)符合一

3、元一次方程的概念，所以它們是一元一次方程答案：CF【例12】 x3是下列方程()的解A5(x1)4(x2)B4x21Cx55D3x10解析：對于選項A，把x3代入所給方程的左右兩邊，左邊5(31)20，右邊4(32)20，因為左邊右邊，所以x3是方程5(x1)4(x2)的解；對于選項B，把x3代入所給方程的左右兩邊，左邊4(3)210，右邊1，因為左邊右邊，所以x3不是方程4x21的解，選項C，D按以上方法加以判斷，都不能使方程左右兩邊相等，只有A的左右兩邊相等，故應(yīng)選A.答案：A2等式的基本性質(zhì)(1)等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式用式子

4、形式表示為：如果ab，那么acbc，acbc.性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能是零)，所得結(jié)果仍是等式用式子形式表示為：如果ab，那么acbc，(c0)性質(zhì)3：如果ab，那么ba.(對稱性)如由8y，得y8.性質(zhì)4：如果ab，bc，那么ac.(傳遞性)如：若160，21，則260.(2)等量代換在解題過程中，根據(jù)等式的傳遞性，一個量用與它相等的量代替，簡稱等量代換談重點 應(yīng)用不等式的性質(zhì)的注意事項(1)應(yīng)用等式的基本性質(zhì)1時，一定要注意等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，才能保證所得結(jié)果仍是等式這里特別要注意：“同時”和“同一個”，否則就會破壞相等關(guān)系(2)等式

5、的基本性質(zhì)2中乘以(或除以)的僅僅是同一個數(shù)而不包括整式，要注意與性質(zhì)1的區(qū)別(3)等式兩邊不能都除以0，因為0不能作除數(shù)或分母【例21】 下列運用等式的性質(zhì)對等式進行的變形中，正確的是()A若4y23y1，則y1B若7a5，則aC若0，則x2D若11，則x61解析：首先觀察等式的左邊是如何由上一步變形得到的，確定變形的依據(jù)，再對等式的右邊進行相應(yīng)的變形，得出結(jié)論A根據(jù)等式的基本性質(zhì)1，等式的兩邊都減去3y2，左邊是y，右邊是3，不是1；C根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，兩邊都乘以2，右邊應(yīng)為0，不是2；D根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，左邊乘以6，而右邊漏乘6，故不正確；只有B根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，兩邊都除以7

6、，得到a.答案：B【例22】 利用等式的基本性質(zhì)解方程：(1)5x812；(2)4x22x；(3)x16；(4)3x7.分析：利用等式的基本性質(zhì)求解先利用等式的基本性質(zhì)1將方程變形為左邊只含有未知數(shù)的項，右邊含有常數(shù)項，再利用等式的基本性質(zhì)2將未知數(shù)的系數(shù)化為1.解：(1)方程的兩邊同時加上8，得5x20.方程的兩邊同時除以5，得x4.(2)方程的兩邊同時減去2x，得2x20.方程的兩邊同時加上2，得2x2.方程的兩邊同時除以2，得x1.(3)方程兩邊都同時減去1，得x1161，x61.x5.(4)方程兩邊都加上x，得3xx7x,37x，方程兩邊都減去7，得377x7，4x，即x4.3.解一元

7、一次方程(1)移項移項的概念及依據(jù)：把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項因為方程是特殊的等式，所以移項的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1.移項的目的：把所有含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，常數(shù)項移到方程的另一邊移項的過程：移項的過程是項的位置改變和符號變化的過程即對移動的項進行變號的過程，如，23x7，把2從方程的左邊移到右邊，2在原方程中前面帶有性質(zhì)符號“”，移到右邊后需變成“”，在移動的過程中同時變號，沒有移動的項則不變號所以由移項，得3x72.要注意移項和加法交換律的區(qū)別：移項是把某一項從等式的一邊移到另一邊，移項要變號；而加法交換律中交換加數(shù)位置只是改變排列的順序，

8、符號隨著移動而不改變?nèi)纾?5x1，把3從方程的左邊移到右邊要變號，得5x13，是屬于移項；而把5x15x11x11變成5x11x15x11，是利用加法交換律，不是移項而是位置的移動，所以不變號辨誤區(qū) 移項時應(yīng)注意的問題在移項時注意“兩變”：一變性質(zhì)符號，即“”號變?yōu)椤啊碧?，而“”號變?yōu)椤啊碧?；二變位置，把某項由等號的一邊移到另一?2)解一元一次方程的步驟解一元一次方程的一般步驟有：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.具體見下表：變形名稱具體做法變形依據(jù)注意事項去分母方程左右兩邊的每一項都乘以各分母的最小公倍數(shù)等式的基本性質(zhì)2不能有漏乘不含分母的項；分子是多項式的去掉分母后，要加小括

9、號去括號可由小到大，或由大到小去括號分配律；去括號的法則不要漏乘括號內(nèi)的項；括號前是“”號的，去括號時括號內(nèi)的所有項都要變號移項移項就是將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊等式的基本性質(zhì)1移項要變號合并同類項將方程化為axb的最簡形式合并同類項的法則只將系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變化系數(shù)為1方程的左右兩邊同時除以未知數(shù)系數(shù)或乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)等式的基本性質(zhì)2分子、分母不能顛倒解技巧 巧解一元一次方程值得注意的是：(1)這些步驟在解方程時不一定全部都用到，也不一定按照順序進行，可根據(jù)方程的形式，靈活安排步驟；(2)為了避免錯誤，可將解出的結(jié)果代入原方程進行檢驗【例31】 下列各選項

10、中的變形屬于移項的是()A由2x4，得x2B由7x3x5，得7x35xC由8xx5，得xx58D由x93x1，得3x1x9解析：選項A是把x的系數(shù)化成1的變形；選項B中x5變成5x是應(yīng)用加法交換律，只是把位置變換了一下；選項C是作的移項變形；選項D是應(yīng)用等式的對稱性“ab，則ba”所作的變形所以變形屬于移項的是選項C.答案：C【例32】 解方程5.分析：方程有分母，將方程兩邊每一項都要乘以各分母的最小公倍數(shù)12，去掉分母得4(2x)603(x1)，再按照步驟求解，特別注意5不能漏乘分母的最小公倍數(shù)12.解：去分母，方程兩邊都乘以12，得4(2x)603(x1)去括號，得84x603x3.移項，

11、得4x3x3860.合并同類項，得7x49.兩邊同除以7，得x7.4解復(fù)雜的一元一次方程解方程是代數(shù)中的主要內(nèi)容之一，一元一次方程化成標準方程后，就成為未知數(shù)系數(shù)不是0的最簡方程一元一次方程不僅有很多直接應(yīng)用，而且解一元一次方程是學習解其他方程和方程組的基礎(chǔ)解方程的過程，實際上就是把方程式不斷化簡的過程，一直把方程化為xa(a是一個已知數(shù))(1)復(fù)雜的一元一次方程的解法與簡單方程的解法其思路是一樣的方程中若含有相同的代數(shù)式，可以把此代數(shù)式看作一個整體來運算；方程中若含有小數(shù)或百分數(shù)，就要根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，把小數(shù)或百分數(shù)化為整數(shù)再去分母運算(2)要注意把分母整數(shù)化和去分母的區(qū)別：分母整數(shù)化是在

12、某一項的分子、分母上同乘以一個不等于零的數(shù)，而去分母是在方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)【例4】 解方程.分析：由于和的分子、分母中含有小數(shù)，可利用分數(shù)的基本性質(zhì)把小數(shù)化為整數(shù)，在式子的分子、分母中都乘以10，變?yōu)椋谑阶拥姆肿?、分母中都乘?00，變?yōu)?，然后去分母，再按解一元一次方程的步驟求解解：分母整數(shù)化，得.去分母，得6(4x90)15(x5)10(32x)去括號，得24x54015x753020x.移項，得24x15x20x5407530.合并同類項，得11x495.兩邊同除以11，得x45.5.與一元一次方程的解相關(guān)的問題方程的解不僅是方程的重要概念，也是考查方程知識時的主要命題點解題

13、的關(guān)鍵是理解方程的解的概念(1)已知方程的解求字母系數(shù)：若已知方程的解，將方程的解代入方程，一定使其成立，則得到一個關(guān)于另一個未知數(shù)的方程，解這個方程，即可求出這個字母系數(shù)的值(2)同解方程：因為兩方程的解相同，可直接解第一個方程，求出未知數(shù)的值，再把未知數(shù)的值代入第二個方程，求出相關(guān)字母的值【例51】 關(guān)于x的方程3x50與3x3k1的解相同，則k()A2 B C2 D解析：解方程3x50，得x.將x代入方程3x3k1，得53k1，解得k2，故應(yīng)選C.答案：C【例52】 若關(guān)于x的方程(m6)xm4的解為x2，則m_.解析：把x2代入方程(m6)xm4，得(m6)2m4，解得m8.答案：86

14、.一元一次方程的常用解題策略我們已經(jīng)知道，解一元一次方程一般有五個步驟，去分母，去括號，移項，合并同類項，化未知數(shù)的系數(shù)為1，可有些一元一次方程，若能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，靈活運用運算性質(zhì)與解題技巧，則不但可以提高解題速度與準確性，而且還可以使解題過程簡捷明快，下面介紹解一元一次方程常用的幾種技巧(1)有括號的一元一次方程一般是先去括號，去括號的順序一般是由小到大去，但有些題目是從外向里去括號，計算反而簡單，這就要求仔細觀察方程的特點，靈活運用使計算簡便的方法(2)對于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解題的一般步驟，先去分母則復(fù)雜繁瑣，若根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點，先移項、合并同類項，則使運算顯得簡捷明快

15、有些特殊的方程卻要打破常規(guī)，靈活運用一些解題技巧，使運算快捷、簡便巧解可激活思維，使我們克服思維定式，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，從而增強學習數(shù)學的興趣【例61】 解方程x1.分析：注意到1，把乘以中括號的每一項，則可先去中括號，4x1，再去小括號為x3x1，再按步驟解方程就非常簡捷了解：去括號，得x3x1.移項，合并同類項，得x.兩邊同除以1，得x.【例62】 解方程.分析：此題可按照解方程的一般步驟求解，但本題若直接去分母，則兩邊乘以最小公倍數(shù)420，運算量大容易出錯，我們可兩邊分別通分，把分子整理后再按照解一元一次方程的步驟求解解：方程兩邊分別通分，得.化簡，得.去分母，得12(2x1)35(x10)

16、去括號，得24x1235x350.移項、合并同類項，得11x362.兩邊同除以11，得x.7列一元一次方程解題(1)利用方程的解求未知系數(shù)的值當已知方程的解求方程中字母系數(shù)或有關(guān)的代數(shù)式時，常常采用代入法，即將方程的解代入原方程，得到關(guān)于字母系數(shù)的等式(或者可以看作關(guān)于字母系數(shù)的方程)，再求解即可(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定義，可以列方程求出相關(guān)的字母的取值，如根據(jù)同類項的定義或一元一次方程的定義求字母的值列方程求值的關(guān)鍵是根據(jù)所學的知識找出相等關(guān)系再列出方程，解方程從而求出字母的取值談重點 列一元一次方程注意挖掘隱含條件許多數(shù)學概念、性質(zhì)的運用范圍、限制條件或使用前提有的是

17、以隱含條件的形式出現(xiàn)在題目中，由此可發(fā)掘隱含的條件，列一元一次方程解題，發(fā)掘隱含條件時需要全面、深刻地理解掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識【例71】 (1)當a_時，式子2a1與2a互為相反數(shù)(2)若6的倒數(shù)等于x2，則x的值為_解析：(1)根據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，可得一元一次方程2a1(2a)0，解得a3；(2)由倒數(shù)的概念：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，可得一元一次方程6(x2)1，解得x.答案：(1)3(2)【例72】 已知x2是方程x的解，求k的值分析：把x2代入原方程，原方程就變成了以k為未知數(shù)的新方程，解含有未知數(shù)k的方程，可以求出k的值解：把x2代入原方程，得(2).去分母，得2(2k)3k2(2)63(2k)去括號，得42k3k21263k.移項、合并同類項，得2k16.方程兩邊同除以2，得k8.課后作業(yè)黑體小四【題01】 下列變形中，不正確的是（ ）A若，則B若則C若，則D若，則【題02】 下列各式不是方程的是（ ）ABCD【題03】 解為的方程是