【數(shù)學】1[1]11《變化率問題》13

1、1.1.1 1.1.1 變化率問題變化率問題高二數(shù)學組：江志宏高二數(shù)學組：江志宏問題問題1 氣球膨脹率氣球膨脹率 在吹氣球的過程中在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn)可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)學的角度從數(shù)學的角度, 如如何描述這種現(xiàn)象呢何描述這種現(xiàn)象呢? 氣球的體積氣球的體積V(單位單位:L)與半徑與半徑r (單位單位:dm)之間的函數(shù)關系是之間的函數(shù)關系是343V(r) r .若將半徑若將半徑 r 表示為體積表示為體積V的函數(shù)的函數(shù), 那么那么33V (V) .4r當空氣容量當空氣容量V從從0L增加到增加到1L

2、, 氣球半徑增加了氣球半徑增加了 (1) (0)0.62(dm),rr氣球的平均膨脹率為氣球的平均膨脹率為 (1) (0)0.62(dm/L),1 0rr當空氣容量當空氣容量V從從1L增加到增加到2 L , 氣球半徑增加了氣球半徑增加了 (2) (1)0.16(dm),rr氣球的平均膨脹率為氣球的平均膨脹率為 (2) (1)0.16(dm/L),2 1rr 隨著隨著氣球體積氣球體積逐漸變大逐漸變大,它的平均它的平均膨脹率逐膨脹率逐漸變小漸變小思考一：l當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?2121()()r Vr VVV問題問題2 高臺跳水高臺跳水 在高臺跳水運動中在高臺跳水運

3、動中, 運動員相對于水面的高度運動員相對于水面的高度 h (單單位位:m)與起跳后的時間與起跳后的時間 t (單位單位:s) 存在函數(shù)關系存在函數(shù)關系2( )4.96.510h ttt 如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度 描述其運描述其運動狀態(tài)動狀態(tài), 那么那么:v在在0 t 0.5這段時間里這段時間里,在在1 t 2這段時間里這段時間里,(0.5)(0)4.05(m/s);0.50hhv(2)(1)8.2(m/s);2 1hhv 思考二：思考二： (1) 當空氣容量從當空氣容量從V1增加到增加到V2時時,氣球的平氣球的平均膨脹率是多少均膨脹率是多少?2121

4、()()r Vr VVV12(2) tt運動員在 到 這段時間內(nèi)的平均速度是多少？2121( )( )h th ttt定義定義:平均變化率平均變化率: 式子式子 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)從x1到到 x2的的平均變化率平均變化率.2121()()f xf xxx令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,則則2121()() y f xf xxxx特別提示：特別提示：.xx是一個整體符號，而不是與 相乘例題講解例題講解: 001yx , xxx 例題一：求函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率。00000011y()() ,()f xxf xxxxxx xx 解：0001xy1 .(

5、)yxxxx xx 在附近的平均變化率為：鞏固練習：鞏固練習：21.565yx求函數(shù)在區(qū)間 3，內(nèi)的平均變化率。222(5)(3)5 56(5 36)80: 405322 563540.yffxyx解函數(shù)在區(qū)間 ，內(nèi)的平均變化率為22.( )2.1,2 2f xxx已知函數(shù)求函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的平均變化率22 2 (2)(2)=2 (2+)1 (2 21) =82()yfxfxxx 解：282()82yxxxxx ( )2,2xf xx故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率為8+2.歸納：歸納： 1.式子中式子中x 、 y 的值可正、可負，但的值可正、可負，但 x值不能為值不能為0， y 的值可以為的值可以為

6、0 2.若函數(shù)若函數(shù)f (x)為常函數(shù)時，為常函數(shù)時， y =0 3. 變式變式:211121()()( )() f xf xf xxf xxxxx y 思考三:l觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?121)()f xxx2f(x直線直線AB的斜率的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1) 計算運動員在計算運動員在 這段時間里的平均速度這段時間里的平均速度,并思考下面的問題并思考下面的問題:65049t (1) 運動員在這段時間里是靜止的嗎運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2) 你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎你認為用平均速度描

7、述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?探探 究究:思考四：思考四： 在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中, 運動員相對于水面的高度運動員相對于水面的高度 h (單位單位:m)與起跳后的時間與起跳后的時間 t (單位單位:s) 存在存在函數(shù)關系函數(shù)關系2( )4.96.510h ttt 例題講解例題講解: 26.510. (1)22; (2)0.1,0.01,0.1,0.01.tttttttt 例題二：在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系h(t)=-4.9t求到的平均速度當時的平均速度22221.4.9(2)6.5 2t) 10( 4.9 26.5

8、 2 10) 13.14.9,t2213.94.9 4.913.1ttttthttvttt 解：因為 h（ 所以從到的平均速度為：20.14.9( 0.1)13.112.61 0.014.9( 0.01)13.113.0510.14.90.113.113.590.014.90.0113.113.149tvtvtvtv （ ）當時，當時， 當時， 當時，鞏固練習鞏固練習: 2.已知函數(shù)已知函數(shù) f (x) = 2 x +1, g (x) = , 分別計算在下列區(qū)間上分別計算在下列區(qū)間上 f (x) 及及 g (x) 的平均變化率的平均變化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .223xx203.yxxx求函數(shù)在附近的平均變化率21.( ),( ). A 3 , B 3, C 3, D 322f xxxyxxxxxxx 已知函數(shù)+ 的圖像上的點A(-1,-2)及附近一點B(-1+，-2+則D(1) 2 2 (2) -12 3 02xx課后小結：課后小結：l1.函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率2121()() y f xf xxxxl2.求函數(shù)的平均變化率的步驟求函數(shù)的平均變化率的步驟: