不定積分的參考

1、目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords21 引言32 求不定積分的思想方法3 2.1直接積分的思想方法3 2.2換元積分的思想方法3 2.2.1第一類換元積分的思想方法3 2.2.2第二類換元積分的思想方法3 2.3分部積分的思想方法4 2.4拆項(xiàng)的思想方法43 常見(jiàn)的不定積分類型44 例題分析 7 5 不定積分的方法與歸類10結(jié)束語(yǔ)11謝辭11參考文獻(xiàn)11 對(duì)不定積分一題多解的分析（咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng)）摘 要 隨著社會(huì)進(jìn)入信息時(shí)代，積分的語(yǔ)言已經(jīng)滲透到各個(gè)領(lǐng)域。積分的出現(xiàn)不僅是數(shù)學(xué)史上也是人類歷史上一個(gè)偉大的創(chuàng)舉。它的產(chǎn)生是由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和生產(chǎn)技術(shù)

2、的進(jìn)步的需要促成的，也是自古以來(lái)許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期辛勤發(fā)展起來(lái)的一連串?dāng)?shù)學(xué)思想的結(jié)晶。因此，他在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。 研究不定積分要重在提高自己的邏輯思維能力、科學(xué)分析能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力、聯(lián)想運(yùn)算能力以及應(yīng)用能力。求解不定積分的過(guò)程對(duì)學(xué)生的科學(xué)思維和文化素質(zhì)的培養(yǎng)所起的作用極為明顯。數(shù)學(xué)與不同學(xué)科的結(jié)合形成新興學(xué)科，都體現(xiàn)了量化方法已經(jīng)成為研究經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)的重要方法。掌握了它，會(huì)使我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)及工作中占有一定的優(yōu)勢(shì)。 本文的題目是“對(duì)不定積分一題多解的分析”。一題多解其實(shí)就是培養(yǎng)學(xué)生的多方向性和開(kāi)放性思維，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維最有效的方法。其主要解法有三種，分別是：直接積分法、

3、換元積分法以及分部積分法。對(duì)于同一題可以用不同的方法來(lái)解。關(guān)鍵字：積分；直接積分法；換元積分法；分部積分法;一題多解1 引 言 怎樣計(jì)算不定積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)不定積分的求解方法技巧性很強(qiáng)，靈活性也比較大，而且對(duì)于同一個(gè)不定積分可能有多種不同的求解方法為了開(kāi)拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，使學(xué)生能夠更好的理解和使用多種積分方法，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果，教學(xué)中往往要讓學(xué)生進(jìn)行一題多解的練習(xí) 在學(xué)生初步掌握不定積分的基本積分方法后，我們不能局限于一題一解，要試圖一題多解。為了正確使用各種積分方法求解不定積分，我們必須掌握它的概念和性質(zhì)以及積分的基本公式，才能夠在以后的解題

4、中做題自如，進(jìn)行同類遷移。2. 求不定積分思想方法2.1 直接積分的思想方法 觀察所求積分的形式是否可用積分基本公式直接求解。2.2 換元積分的思想方法2.2.1 第一類換元（湊微分法）的思想方法（1）被積函數(shù)有一個(gè)因式，主要是觀察被積函數(shù)與積分基本公式中的哪一個(gè)公式的被積函數(shù)相似，即所應(yīng)用的基本積分公式；然后再根據(jù)與基本積分公式相似的形式進(jìn)行湊微分，湊微分的目的是為了應(yīng)用積分基本公式和性質(zhì)求積分。（2）被積函數(shù)有兩個(gè)因式時(shí)，先由一個(gè)因式找到與基本積分公式相似的公式，余下一個(gè)因式與 結(jié)合湊微分，進(jìn)而可由積分基本公式求出結(jié)果。2.2.2 第二類換元的思想方法主要可以分為以下三類：1.三角代換 2

5、.根式代換 3.倒數(shù)代換 第二類換元積分法主要是通過(guò)對(duì)所求積分進(jìn)行化簡(jiǎn)。（1） 根式代換：如果被積函數(shù)中，含有因子，我們可以通過(guò)去掉根 式，以便化簡(jiǎn)后的積分式能直接積分或使用簡(jiǎn)單的變形湊微分后可直接用積分基 本公式，故選取要保證去掉根式。（2）三角代換法：如果被積函數(shù)中，含有因式，時(shí)，我 們由根號(hào)下式子的特點(diǎn)，能夠聯(lián)想到三角公式的平方關(guān)系式，以及由此來(lái)選擇，以此來(lái)去掉根號(hào)。當(dāng)遇到時(shí)， 先將進(jìn)行配方成，三種形式中的一種，再用 公式或利用三角代換積分。若果遇到，我們對(duì)它先進(jìn)行分母有理化，在對(duì) 其分子進(jìn)行配方就可化簡(jiǎn)為，三種形式中的一種，可根 據(jù)上述方法進(jìn)行求解。 （3）倒數(shù)代換：當(dāng)積分表達(dá)式分母中

6、自變量的冪較高于分子時(shí)，我們可以采用 進(jìn)行化簡(jiǎn)求解2.3 分部積分的思想方法分部積分法是運(yùn)用公式進(jìn)行求解不定積分，通常適用于兩類不同函數(shù)相乘的積分。此法的關(guān)鍵是，的選擇。通常來(lái)講，先選定，使選定的能容易的湊出微分且積分后不是很復(fù)雜，求導(dǎo)后變簡(jiǎn)單，一次分部積分后，未積出的部分要比原來(lái)的積分簡(jiǎn)單。如果被積函數(shù)是反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)中任意兩類函數(shù)的乘積，那么，我們可以考慮按照反、對(duì)、冪、三、指的順序來(lái)選取，另一個(gè)函數(shù)想辦法湊成進(jìn)行分部積分。2.4 拆項(xiàng)的思想方法 對(duì)形如這種形式的積分，我們很難進(jìn)行用以上公式進(jìn)行求解，那么我們可以對(duì)它進(jìn)行拆項(xiàng)已達(dá)到可以用以上方法求解的效果。

7、我們把可以分解為。例：（和C均為任意常數(shù)）3 常見(jiàn)函數(shù)的積分類型 （1）有理函數(shù)的積分一般情況下，是把有理函數(shù)變形為有理整函數(shù)與真分式函數(shù)之和的形式，把真分式函數(shù)化成部分分式函數(shù)之和的形式，然后利用積分的一些方法將有理函數(shù)的積分積出來(lái)。（2）無(wú)理函數(shù)的積分如果所求積分不能用直接積分法、換元法、分部積分法求解的話，可將無(wú)理函數(shù)通過(guò)一系列的變形化為有理三角函數(shù)或有理函數(shù)。(3)三角函數(shù)的積分 所求積分是三角函數(shù)的積分時(shí)，通常是運(yùn)用三角等式進(jìn)行變換。形如和的積分，可直接利用第一類換元積分法進(jìn)行計(jì)算；形如或的積分當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，即，則將可將被積函數(shù)化簡(jiǎn)成與的乘積，再利用三角恒等式可將正弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦或

8、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦，如：或進(jìn)行計(jì)算不定積分；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，即，則可利用三角恒等式將被積函數(shù)進(jìn)行先化簡(jiǎn)后計(jì)算。即被積表達(dá)式可化為 或 進(jìn)行計(jì)算不定積分。形如、的積分我們這里只以型的積分為例進(jìn)行說(shuō)明，其它積分解法與此相似。當(dāng)時(shí)，我們可先利用二倍角公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)后再用第一類換元積分法進(jìn)行計(jì)算。即 當(dāng)時(shí)，我們可以利用積化和差公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)后再用第一類換元積分法進(jìn)行計(jì)算，即形如的積分若時(shí)，則化為或型的積分；若時(shí)，如果為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)令就可把上式化為多項(xiàng)式的積分，積分后把回代即可；如果為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)令就可把上式化為多項(xiàng)式的積分，積分后把回代即可；如果、均為奇數(shù)時(shí)，我們?nèi)?、中比較小的數(shù)按上述方

9、法進(jìn)行計(jì)算；如果、均為偶數(shù)時(shí)，我們利用三角恒等式可將被積函數(shù)降次化簡(jiǎn)，然后再用上述方法換元進(jìn)行計(jì)算。形如的積分如果為正偶數(shù)時(shí)，則，此時(shí)令就可把上式化為多項(xiàng)式的積分；如果時(shí)，則得積分，此時(shí)可利用將積分化為上面的情形和積分上去?；蛘咭部衫脫Q元公式化為分母為的有理函數(shù)的積分；如果為奇數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，利用恒等式以及不定積分的線性性，最后可化為形如的積分；如果為奇數(shù)時(shí)，則，此時(shí)令就把上式化為多項(xiàng)式的積分。形如、的積分一般利用或化簡(jiǎn)進(jìn)行求解如果為偶數(shù)時(shí)， 由得一遞推公式，則的積分問(wèn)題即得解決。解決的積分類似于的積分 如果為奇數(shù)時(shí)， 4 例題分析例1 求解：（方法1）（分析：所求積分可以看做兩個(gè)分式的乘積的

10、積分，那么我們可把它拆成兩個(gè)分式的差的積分） （方法2）（分析：的導(dǎo)數(shù)為，而乘以恰巧也等于因此，我們可以對(duì)其進(jìn)行換元，然后再進(jìn)行拆項(xiàng)求解）2（方法3）（分析：所求積分的分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，因此我們可以考慮用倒代換法）（方法4） 例2 求解 （方法1）（所求積分包含，其導(dǎo)數(shù)等于，恰好可利用此特點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行湊微分）原式 （方法2）（分析：所求積分含有根式，因此我們可以考慮用根式代換求解）原式 例3 求解 方法1 原式 （此解法采用了分部積分法,令，）方法2 令 原式 （此解法采用了三角代換進(jìn)行求解。當(dāng)積分表達(dá)式中含有，時(shí)，可分別令，進(jìn)行換元計(jì)算）例4 求解：方法1（因?yàn)楸环e函數(shù)是三角有理式，所

11、以我們很自然地想到用萬(wàn)能代換進(jìn)行換元， 轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的不定積分來(lái)做）原式 方法2（因?yàn)楸环e函數(shù)的分母是一個(gè)和式，如果能化成一個(gè)整體再拆成部分分式之和可能有助于問(wèn)題的解決，所以我們自然地想到用倍角公式來(lái)試一下）原式 方法3（湊微分法是不定積分的常用方法，通過(guò)觀察將被積函數(shù)適當(dāng)變形，再進(jìn)行湊微分是我們應(yīng)該掌握的技巧）原式方法4（此法是通過(guò)三角函數(shù)的恒等變形（分子與分母同時(shí)除以）轉(zhuǎn)化成的湊微分法，結(jié)合了有理真分式拆分成部分分式之和）原式 例 5 求解 （方法1）（分析：因?yàn)榉帜缚梢苑纸鉃閮蓚€(gè)因式的乘積，因此我們可以聯(lián)想到用拆項(xiàng)法可以對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)）原式（方法2）（分析：因?yàn)榉帜笧橐辉问?，因此，?/p>

12、們可以對(duì)其進(jìn)行配方，然后觀察其特點(diǎn)，又用了第一類換元法）原式 5 不定積分的方法與歸類當(dāng)我們?cè)诜e分時(shí)，如果所求積分中含有如下特點(diǎn)，我們可以考慮一下其對(duì)應(yīng)解決方法。含 令或 三角代換 令 三角代換 令 三角代換 令 根式代換 令 根式代換 令 倒數(shù)代換我們?cè)谇蠓e分時(shí)遇見(jiàn)與如下形式相似的，可采用湊微分法。1. 2.（）3. 4.5. 6.7. 8.9. 10.11.結(jié)束語(yǔ) 為什么一道題會(huì)有多種解法呢？這是因?yàn)橥坏李}兼有不同類型的積分的特點(diǎn)，因而兼屬于幾種不同的積分類型；或同一個(gè)積分類型兼有不同的積分方法。 對(duì)于一些簡(jiǎn)單的基本的不定積分，我們可以通過(guò)基本的積分公式直接進(jìn)行求解。對(duì)于難以直接用基本積

13、分公式的積分，我們有第一類換元積分法和第二類換元積分法，以及分部積分法。對(duì)于某些特殊類型的不定積分，如一些有理函數(shù)的和可以化為有理函數(shù)的不定積分，無(wú)論不定積分有多么復(fù)雜，我們都可以按照一定的步驟求解。對(duì)于有理函數(shù)的不定積分，我們可以用待定系數(shù)法把它拆成一些分式的和，再按照基本積分公式求解；對(duì)于高階的積分，我們可以運(yùn)用多次分部積分法遞推公式，也可以通過(guò)一些公式代換將它化為有理函數(shù)的不定積分，但在具體計(jì)算時(shí)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)而采用簡(jiǎn)單靈活的代換；一些無(wú)理根式的不定積分，可以運(yùn)用換元法將其化為有理函數(shù)的不定積分，再按照有理函數(shù)的不定積分方法進(jìn)行求解。 謝 辭 在我選了論文題目之后，我曾經(jīng)一度痛苦

14、、彷徨，我不知道該怎么寫(xiě)，該怎樣找到有效的資料。通過(guò)指導(dǎo)老師的細(xì)心點(diǎn)撥，使我在對(duì)這次論文的寫(xiě)作有了明確的方向。老師的嚴(yán)格教導(dǎo)，對(duì)教學(xué)的細(xì)心認(rèn)真，是我在寫(xiě)作過(guò)程中的問(wèn)題與不足都被老師一一發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行指正。如今，伴隨著這篇畢業(yè)論文的最終成稿，復(fù)雜的心情煙消云散，自己甚至還有一點(diǎn)成就感。 非常感謝伊老師在我大學(xué)的最后階段畢業(yè)設(shè)計(jì)階段給予指導(dǎo)，從資料收集，開(kāi)題報(bào)告，到寫(xiě)作，修改，到論文定稿，她給了我耐心的指導(dǎo)和無(wú)私的幫助。同時(shí)，感謝所有任課老師和所有同學(xué)在這幾年里給我的指導(dǎo)和幫助，是他們教會(huì)了我專業(yè)知識(shí)，教會(huì)了我如何學(xué)習(xí)，教會(huì)了我如何做人。正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進(jìn)步，在此向他們表示由衷的

15、感謝。 參考文獻(xiàn)1方秋金.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論選講M.北京師范大學(xué)出版社，1992.2何廣榮.提倡發(fā)散思維%搞好數(shù)學(xué)教學(xué)J.數(shù)學(xué)通報(bào)，1986，（3）.3郭思樂(lè).努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)J.數(shù)學(xué)通報(bào)，1993，（1）.4李永樂(lè)、李正元，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū)M.北京：國(guó)家行政學(xué)院出版社，2007.5龔友運(yùn)，等.高等數(shù)學(xué)一冊(cè)M.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2006.6期刊論文黃軍華.HUANG Jun-hua 不定積分的一題多解 -玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）2005,26(3)討論了不定積分的一題多解,擴(kuò)展了不定積分的解題思路.7期刊論文吳維峰.Wu Weifeng 探求不定積分的一題多解莫忘解法的正確性 -濰坊教育學(xué)院學(xué)報(bào)2009,22(4)以一個(gè)不定積分題為例,對(duì)其多種代換解法的正確性進(jìn)行了分析.8期刊論文蘇曉宇.趙連慶不定積分中的一題多解 -科技資訊2010(27)通過(guò)對(duì)積dx分的多種求解來(lái)展現(xiàn)方法和技巧在不定積分的重要作用,使學(xué)生今后能夠靈活運(yùn)用