專題中點的妙用

1、 中點的妙用教學(xué)目標(biāo)：運用三角形的中位線，延長過中點的線段構(gòu)造全等三角形，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，或直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，解決有關(guān)中點的問題重點：中點方法的靈活運用難點：解決中點問題的能力【方法指導(dǎo)】與中點有關(guān)的圖形問題，是初中數(shù)學(xué)的重要題型，除了線段的中點的定義，我們又學(xué)過很多與中點有關(guān)的重要結(jié)論。聯(lián)想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，善于聯(lián)想，才能更好的尋求解決問題的方法。同學(xué)們當(dāng)你遇到中點時，你會產(chǎn)生哪些聯(lián)想呢？當(dāng)你看到這個專題后，能給你帶來一定的啟示?？吹街悬c該想到什么？下面介紹四種在做題過程中最常用又使很多學(xué)生糾結(jié)的方法:1、等腰三角形+底邊的中點，“三線合一”要出現(xiàn)。

2、2、直角三角形+斜邊的中點，“斜邊上的中線等于斜邊的一半”要出現(xiàn)。3、三角形+兩邊的中點，“三角形的中位線”要應(yīng)用。4、線段的中點+平行線，“八字型的全等”要出現(xiàn)。意思是：遇到兩條平行線所截得的線段的中點時，常聯(lián)想“八字型”全等三角形；這個方法來源于梯形的一種作輔助線方法：“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構(gòu)成三角形。（如圖）5、有中點時，常會出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）；6、圓中遇到弦的中點，常聯(lián)想“垂徑定理”【知識回顧】等腰三角形的底邊上的 、 和頂角的 三線合一。直角三角形斜邊上的中線等于 。三角形中位線定理： 【題型賞析】一、等腰三角形

3、+底邊的中點，“三線合一”要出現(xiàn)。例1：如圖，在ABC中，A=90°，AB=AC，O是BC的中點，如果在AB和AC上分別有一個動點M、N在移動，且在移動時保持AN=BM，請你判斷OMN的形狀，并說明理由點撥：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)解答該題的關(guān)鍵一步是根據(jù)等腰直角三角形ABC的“三線合一”的性質(zhì)推知OA=OB=OC練習(xí)：如圖1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC中點，MNAC于點N，則MN等于（ ）A B C D二、直角三角形+斜邊的中點，“斜邊上的中線等于斜邊的一半”要出現(xiàn)例2：如圖，在四邊形ABCD中，DAB=DCB=90&#

4、176;，對角線AC與BD相交于點O，M、N分別是邊BD、AC的中點（1）求證：MNAC；（2）當(dāng)AC=8cm，BD=10cm時，求MN的長點撥：本題綜合考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理解題時，通過作輔助線AM、MC構(gòu)建了直角三角形斜邊上的中線，然后利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”來解答問題三、三角形+兩邊的中點，“三角形的中位線”要運用。常用的輔助線：三角形兩邊有中點，構(gòu)造中位線；兩線段有中點，構(gòu)造三角形；取中點 ,連中位線。三角形兩邊有中點，構(gòu)造中位線；例3：已知：ABC中，AD是BC中線，E、F分別是AB、AC中點.求證：AD、EF互相平分.點撥：本題考查了三角形的中位

5、線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明兩條線段互相平分常用的方法是轉(zhuǎn)化為平行四邊形的判定兩線段有中點，構(gòu)造三角形；例4：如圖，點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的四邊中點，求證四邊形EFGH是平行四邊形。點撥：此題主要考查了中點四邊形，關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半（8）歸納總結(jié)：如圖，在任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，閱讀下列材料，回答問題：連結(jié)AC、BD，由三角形中位線的性質(zhì)定理可證四邊形 EFGH是 ；對角線AC、BD滿足條件 時，四邊形 EFGH是矩形。對角線AC、BD滿足條件 時，四邊形 EFGH是

6、菱形。對角線AC、BD滿足條件 時，四邊形 EFGH是正方形。變式：在四邊形ABCD中，若ABCD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點，求證：四邊形EFGH是菱形。 變式：如圖：點E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點，則四邊形EFGH是什么圖形？并說明理由。“取中點 ,連中位線”例5：如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E、F分別是AB、CD的中點，且AC=BD求證：OM=ON點撥：本題考查了三角形的中位線性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形的中位線運用三角形的中位線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系進行分析證明。一、線段的中點+平行線，“八字型的全等“要出現(xiàn)。例6

7、：已知如圖，梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中點，DECE，求證：AD+BC=DC。點撥：本題考查梯形的知識，因為點E是中點，所以應(yīng)該聯(lián)想到構(gòu)造“八字型”全等三角形，這是經(jīng)常用到的解題思路，同學(xué)們要注意掌握例7：如圖，ABC中，D為BC中點，AB=5，AD=6，AC=13。求證：ABAD點撥：因為點E是中點，所以聯(lián)想到構(gòu)造“八字型”全等三角形，但是缺少了平行線的條件，因此我們要通過作平行線創(chuàng)造條件，這也是經(jīng)常用到的解題思路練習(xí)：（2010雅安）如圖，已知點O是ABC中BC邊上的中點，且，則= 。  （2004十堰）如圖，已知ABC中，AB=AC，D、E分別是AB和BC上的點，連接

8、DE并延長與AC的延長線交于點F，若DE=EF，求證：BD=CF例8：如圖，E是正方形ABCD邊AB的中點，DFCE于點M說明：AM=AD點撥：本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵。練習(xí)：1、已知：如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長線上一點，CE=AC，F(xiàn)是AE的中點（1）求證：BFDF；（2）若AB=8，AD=6，求DF的長2、（2012·廣州·25題）如圖10，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD中點，CEAB于點E，設(shè)ABC= （1）當(dāng)時，求CE的長；（2）當(dāng)，是否存在

9、正整數(shù)，使得EFD=AEF？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由課后練習(xí)1、填空題：順次連結(jié)四邊形各邊中點所得的四邊形是_.順次連結(jié)平行四邊形各邊中點所得的四邊形是_;順次連結(jié)矩形各邊中點所得的四邊形是_;順次連結(jié)菱形各邊中點所得的四邊形是_;順次連結(jié)正方形各邊中點所得的四邊形是_;順次連結(jié)梯形各邊中點所得的四邊形是_;順次連結(jié)等腰梯形各邊中點所得的四邊形是_;2、（2011無錫）如圖，在RtABC中，ACB=90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD=5cm，則EF= cmAEBFCGDH3、已知如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中

10、點。若AB2，AD4，則圖中陰影部分的面積為（ ）A3 B4 C6 D84、如圖，已知矩形ABCD，R、P分別是DC、BC上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（ ）A：線段EF的長逐漸增大。 B：線段EF的長逐漸減少。C：線段EF的長不變。 D：線段EF的長不能確定。5、（2010攀枝花）如圖所示，在ABC中，BCAC，點D在BC上，且DC=AC，ACB的平分線CF交AD于點F點E是AB的中點，連接EF（1）求證：EFBC；（2）若四邊形BDFE的面積為6，求ABD的面積6、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點（1）求證：四邊形EFGH平行四邊形；（2）當(dāng)梯形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形；（3）在（2）的條件下，梯形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形7、在ABCD的對角線相交于點O. E、F、P分別OB、OC、AD的中點，且AC=2AB求證：EP=EF8、（2009綏化）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則BME=CNE（不必證明）（1）如圖（2），在四邊形AD