不等式證明例題講解

1、不等式證明例題講解例1已知a，bR，求證a2 + b2ab + a + b1證明： (a2 + b2)(ab + a + b1) ， a2 + b2ab + a + b1，當(dāng)且僅當(dāng)a = b = 1時(shí)等號(hào)成立評(píng)述 這是一個(gè)用求差比較法證明的不等式，對差式的變形是拆項(xiàng)和配方，以利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)：a20此不等式的證明還可采用函數(shù)的方法：設(shè)f ( a ) = ( a2+b2 )(ab + a + b1) = a2(b + 1)a + b2b + 1，這是一個(gè)a的二次函數(shù)式，由于二次項(xiàng)系數(shù)大于0，且= (b+1)24(b2b+1) =3(b1)20，故 f ( a )0對一切aR恒成立例2已知a，b為不

2、相等的正數(shù)，求證：分析 由于a，b為不等正數(shù)，所證不等式中各式都是冪與積的結(jié)構(gòu)，可選用求商比較法證明：a，b為不等正數(shù)，不失一般性，設(shè)a > b > 0 a > b > 0 ，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知 ，故 同理 故 綜上可得 例3已知a，b，cR+，求證：分析 直接作差，再通分變形，所得分式很繁，使判定差式符號(hào)十分困難為此將含三個(gè)字母的差式作分項(xiàng)變形，以使每一差式只含兩個(gè)字母，就會(huì)使判定差式符號(hào)變得容易證明： a，b，cR+， 同理 ，三式相加，可得：，即評(píng)述 采用比較法證明不等式時(shí)，對差式或商式的變形至關(guān)重要例4已知a，b，cR，求證：分析：此不等式的左邊是關(guān)于a，b，c

3、的三個(gè)根式，而右邊是關(guān)于a，b，c的整式，采用恒等變換難以化簡各個(gè)根式為此應(yīng)選用適當(dāng)?shù)姆趴s變換使各根式的被開方式化為完全平方式就有可能通過化簡根式證明不等式證明： a2 + b2 2ab， 2 (a2 + b2) a2 + 2ab + b2 = (a + b)22即 兩邊開方，得 ，同理可得 ， 三式相加，得評(píng)述 此不等式的證明采用的是綜合法，在由因?qū)Ч耐评磉^程中，選用了合理的放縮變換，而這一變換是在分析了不等式兩邊的差異后尋求到的例5已知x，y，zR，且x + y + z =1，求證：分析 條件與結(jié)論有次數(shù)上的差異，升次或降次可拉近兩者的距離條件與結(jié)論均含三個(gè)字母，利用等式x + y +

4、z =1 可實(shí)施等量代換，以取得消元的效果證法一： x + y + z =1 (x + y + z)2 =1證法二：由x + y + z =1 得 z = 1xy，因此評(píng)述 這是一個(gè)條件不等式的證明問題，抓住條件與結(jié)論的特征和差異，就能設(shè)計(jì)出有效的變形策略由于結(jié)論中不等式的左邊是二次齊次式實(shí)施配方是很自然的例6已知a，b，c是不等正數(shù)，且abc = 1，求證：分析 所證不等式的兩邊有根式與分式的差異，在題設(shè)的abc =1的條件下，或?qū)⒆笫阶冃螢?，或?qū)⒆笫阶冃螢閎c + ca + ab，都有可能拉近左、右兩式的距離，找到進(jìn)行不等式變換的途徑證法一： a，b，c是不等正數(shù)，且abc =1， 證法二

5、： a，b，c是不等正數(shù)，且abc =1 = bc + ca + ab=評(píng)述 例4例6都是采用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，為能有效地揭示條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，需要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系，不等式兩邊之間的差異和聯(lián)系在此基礎(chǔ)上實(shí)施有效的等式變換與不等式變換例7已知a，bR+，且a + b =1，求證：3a + 3b < 4分析 此題中已知條件的結(jié)構(gòu)簡單，而求證的不等式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，利用a + b =1 消元，將結(jié)論化為一元不等式后逐步化簡，尋求使其成立的充分條件證明：由于a + b =1，a，bR+3a + 3b < 4 3a + 31-a < 4 (3a 1) (3a

6、 3) < 0 1< 3a < 3 0 < a < 1 而在 a，bR+，且a + b =1的條件下，0 < a < 1一定成立，故3a + 3b < 4成立例8已知a + b > 0，求證：證明：由于a + b > 0，a2 + 1 > 0，b2 + 1 > 0 (a + b)2 ( a2 + 1) ( b2 + 1 ) a2 + 2ab + b2 a2 b2 + a2 + b2 + 1 a2 b2 2ab +1 0 (ab1)2 0不等式 (ab1)2 0一定成立，故 成立例9設(shè)函數(shù)f ( x ) = tan x，已知

7、x1，x2，且x1x2，求證證明 ( * )由于x1，x2，且x1x2，可知x1 + x2(0，)，且x1x20，因此：sin (x1 + x2) > 0，0 < cos ( x1 + x2 ) + cos ( x1x2 ) < 1 + cos ( x1 + x2 )由此可知，不等式（*）一定成立，故不等式成立評(píng)述 例7例9 都是采用分析法執(zhí)果索因證明不等式從所需證明的不等式出發(fā)，逐步尋求使其成立的充分條件的過程，同時(shí)具有簡化結(jié)論的作用，用分析法比較適宜例9中的“切”化“弦”就是一種簡化例10已知a，b，cR，且 a + b + c > 0，ab + bc + ca &

8、gt; 0，abc > 0，求證a，b，c全是正數(shù)分析 此題的已知條件結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜（分別是a，b，c的和、兩兩乘積之和，以及積均為正數(shù)），而結(jié)論只是a，b，c的符號(hào)求證的結(jié)論及對結(jié)論的否定的結(jié)構(gòu)都比較簡單，因此可從對結(jié)論的否定的假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理，并推出矛盾，從而推證結(jié)論成立，即采用反證法證明：假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，則由abc > 0可知a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)不失一般性，設(shè)a < 0，b < 0，c > 0 a + b + c > 0， c >( a + b ) > 0兩邊同乘以負(fù)數(shù)a + b ，得c (a + b) <

9、 ( a + b )2即ca + bc < a22abb2由此可得 ab + bc + ca < a2abb2 = (a2 + ab + b2) < 0，與已知ab + bc + ca > 0矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，故a，b，c全是正數(shù)評(píng)述 采用反證法證明不等式的關(guān)鍵步驟有兩個(gè)，一是提出與結(jié)論相反，即對結(jié)論的否定的假設(shè)；二是由假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行正確的推理，推出矛盾此命題的逆命題“若a，b，c全是正數(shù)，則a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0”也是真命題，因此可得出“a，b，c全是正數(shù)的充要條件是a + b + c > 0

10、，ab + bc + ca > 0，abc > 0”的結(jié)論例11求證：當(dāng)nN，n2時(shí)，證明：1 當(dāng)n =2時(shí)，左邊=，右邊=，不等式成立2 假設(shè)當(dāng)n = k（k2）時(shí)不等式成立：則 ， 由此可得 ，說明當(dāng)n = k+1時(shí)不等式仍成立由1、2可知不等式對一切不小于2的自然數(shù)n都成立評(píng)述 此題采用數(shù)學(xué)歸納法證明是很自然的、有效的但數(shù)學(xué)歸納法并不是惟一的證法采用放縮變換也可證明此不等式 nN，n2， 例12已知i，m，n是正整數(shù)，且1< i m < n（1）證明 ；（2）證明 (1+ m )n > (1 + n )m分析 ，是兩個(gè)排列數(shù)，各是i個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積第（1）問應(yīng)采用商值比較法第（2）問所需證明的不等式兩邊都是二項(xiàng)式，應(yīng)從其展開式的項(xiàng)數(shù)及對應(yīng)項(xiàng)的大小入手進(jìn)行證明證明：（1） i，m，n是正整數(shù)，且1< i m < n ， m < n， 對整數(shù) k = 1，2，i1，n (mk)m ( nk ) = k ( mn ) < 0即 0 < n (mk