《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》學(xué)案導(dǎo)學(xué)

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)案導(dǎo)學(xué)第二編 一元函數(shù)積分學(xué)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解原函數(shù)、不定積分概念，了解定積分概念，會(huì)求變上限定積分。2、熟練掌握積分基本公式和直接積分法，掌握第一換元積分法和分部積分法。3、掌握用不定積分和定積分求總成本、總收入和利潤(rùn)或其增量的方法；會(huì)求平面圖形的面積。4、了解微分方程的有關(guān)概念，掌握變量可分離的微分方程和一階線性微分方程的解法。二、主要學(xué)習(xí)內(nèi)容：主要概念：原函數(shù) 不定積分 定積分 無窮限積分 微分方程 方程的階 解 齊次、非齊次方程主要公式：基本積分公式主要定理：定理4.1（不定積分的第一換元積分法）定理4.2（不定積分的分部積分法）定理4.3（定積分的換元積分法）主要性

2、質(zhì)：不定積分性質(zhì)線性性質(zhì)、與導(dǎo)數(shù)（微分的關(guān)系）定積分性質(zhì)（積分區(qū)間的可加性、線性性質(zhì)）主要方法：求函數(shù)不定積分的方法求函數(shù)定積分的方法判斷無窮積分的斂散性求解一階可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的方法求解積分在經(jīng)濟(jì)分析中應(yīng)用問題的方法用定積分求簡(jiǎn)單平面曲線圍成的圖形的面積的方法三、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：積分概念與計(jì)算。四、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：積分的計(jì)算與應(yīng)用。五、典型例題分析：（一）、積分計(jì)算    熟記積分基本公式和下列積分計(jì)算方法l         直接積分法l   

3、      第一換元積分法l         分部積分法     注意積分運(yùn)算中的技巧和常見手法，由公式將定積分與不定積分的計(jì)算相聯(lián)系。例1 計(jì)算下列積分（1）      （2）（3）          （4）解 （1）直接積分法。先利用冪函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，再利用積分基本性質(zhì)和積分基本公式求積分。

4、   （2）第一換元積分法。   =（3）第一換元積分法。第一換元積分是積分計(jì)算的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。換元的目的是使容易求出原函數(shù)，并在計(jì)算中，記住常用的湊微分形式，多做練習(xí)掌握方法。（4）分部積分法。令則                          （二）、求解微分方程形如為可分離變量的微分方程，求解方法是初等積分

5、法。形如為一階線性微分方程，通解公式為              例7   （1）求微分方程的通解（2）求微分方程滿足的特解解 （1）此方程為可分離變量的微分方程，求解時(shí)先將變量分離，再積分求解。經(jīng)計(jì)算得（2），   由已知條件，于是方程的特解為。(三)、求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題熟練掌握用不定積分和定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)或其增量的方法。例8 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 (萬元/百臺(tái))，邊際收入為（萬元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，

6、若固定成本為10萬元，問（1） 產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？（2） 從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？解 （1）邊際利潤(rùn) 令 ，得 （百臺(tái)）又是的唯一駐點(diǎn)，根據(jù)問題的實(shí)際意義可知存在最大值，故是的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大。（2）利潤(rùn)的變化 即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少20萬元。 六、自我檢測(cè)： （一）、單項(xiàng)選擇題 1已知，則（ ） A B C D 2=（ ） A B C D 3若存在且連續(xù)，則（ ） A B C D 4. （ ） A B C D 5若，則=（ ） A B C D 6下列積分值為0的是（ ） A B C D 7若為定義在-a，a上的連

7、續(xù)奇函數(shù)，且時(shí)，則由，及x軸所圍圖形面積S =（ ）為不正確A. B. C. D. 8=（） A B Ce D. 9.微分方程的階是（ ）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10下列各微分方程中為一階線性方程的是（） A B C D. （二）、填空題 11若則 12= 13 14= 15微分方程的通解為 （三）、解答題161718. 計(jì)算積分19已知，且，求的值20求微分方程的通解21求微分方程滿足 的特解（四）、應(yīng)用題 22生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺(tái))，邊際收入為（萬元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，問： (1) 產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？(2) 從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？（五）、證明題 23試證： 七、自我檢測(cè)答案:（一）、單項(xiàng)選擇題1B 2. C 3. D 4. B 5. B 6C 7. A 8. A 9. C 10. D（二）、填空題11. 12 13. 14. 15（三）、解答題16解 = = 17解 = =18 解 19解 因?yàn)?于是 ，即 所以 20 解 在微分方程中，由通解公式= 21解 分離變量，兩邊求積分，得 通解為： 由，得 所以，滿足初始條件的解為： （四）、應(yīng)用題 22. 解 （1） 令 得 （百臺(tái)）又是