數(shù)字信號(hào)處理(第一章)

1、1 121.1 引言引言p本書研究的對(duì)象是數(shù)字信號(hào)的分析和處理。本書研究的對(duì)象是數(shù)字信號(hào)的分析和處理。p信號(hào)通常分為：信號(hào)通常分為： 連續(xù)時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)、數(shù)字信號(hào)。連續(xù)時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)、數(shù)字信號(hào)。 通常把時(shí)間連續(xù)、幅度也連續(xù)的信號(hào)稱為通常把時(shí)間連續(xù)、幅度也連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)或稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)。模擬信號(hào)或稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)。 時(shí)間離散、時(shí)間離散、 幅度連續(xù)的信號(hào)被稱為離散時(shí)幅度連續(xù)的信號(hào)被稱為離散時(shí)間信號(hào)。間信號(hào)。 時(shí)間離散、時(shí)間離散、 幅度也離散的信號(hào)被稱為數(shù)字幅度也離散的信號(hào)被稱為數(shù)字信號(hào)。信號(hào)。 3p系統(tǒng)的作用是把信號(hào)變換成某種更合乎要求的系統(tǒng)的作用是把信號(hào)變換成某種更合乎

2、要求的形式。形式。p輸入和輸出都是模擬信號(hào)的系統(tǒng)被稱為模擬系輸入和輸出都是模擬信號(hào)的系統(tǒng)被稱為模擬系統(tǒng)；統(tǒng)；p輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)被稱為離輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)被稱為離散時(shí)間系統(tǒng)；散時(shí)間系統(tǒng)；p輸入和輸出都是數(shù)字信號(hào)的系統(tǒng)被稱為數(shù)字系輸入和輸出都是數(shù)字信號(hào)的系統(tǒng)被稱為數(shù)字系統(tǒng)。統(tǒng)。4時(shí)域離散信號(hào)的表示方法；時(shí)域離散信號(hào)的表示方法；典型信號(hào)、線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性典型信號(hào)、線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性;系統(tǒng)的輸入輸出描述法，線性常系數(shù)差分方程的系統(tǒng)的輸入輸出描述法，線性常系數(shù)差分方程的解法解法;模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。本章主要學(xué)習(xí)本章主要學(xué)習(xí)5

3、1. 2 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)數(shù)字序列數(shù)字序列p在離散時(shí)間系統(tǒng)中，信號(hào)要用離散時(shí)間的數(shù)字在離散時(shí)間系統(tǒng)中，信號(hào)要用離散時(shí)間的數(shù)字序列來(lái)表示。序列來(lái)表示。),.3(),2(),1(),0(),1(),2(.)(xxxxxxnx 6一、常用的典型序列一、常用的典型序列1 1單位脈沖單位脈沖( (沖激沖激) )序列序列 0001)(nnn101231n (n) (t)t0( a )( b ) 圖圖1-2 1-2 單位脈沖序列和單位沖激信號(hào)單位脈沖序列和單位沖激信號(hào) (a)(a)單位脈沖序列；單位脈沖序列； (b)(b)單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào) 72 2單位階躍序列單位階躍序列 0001)(nnn

4、uu(n)01231n圖圖1-3 單位階躍序列單位階躍序列8)1()()( nunun )()(0 kknnu與與之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：)(n )(nu93 3矩形序列矩形序列R4(n)01231n圖圖1-4 矩形序列矩形序列( (N=4) ) 為其它nNnnRN0101)()()()(NnununRN 104 4實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)anuanxn)()( 115 5正弦型序列正弦型序列)sin()(nnx 式中式中 是正弦序列數(shù)字域的頻率。是正弦序列數(shù)字域的頻率。它反映了序列變化快慢的速率，或相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)它反映了序列變化快慢的速率，或相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)的弧度數(shù)。的弧度數(shù)。 圖圖1-

5、6 正弦序列正弦序列 12 對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，可得正弦序列。采樣，可得正弦序列。 )sin()(ttxa )()sin()sin()(nxnnTtxnTta T 數(shù)字頻率數(shù)字頻率與模擬角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 ssfff 2說(shuō)明說(shuō)明：（1）數(shù)字）數(shù)字域頻率是域頻率是模擬模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化值域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化值 （2）模擬正弦中的角頻率單位是）模擬正弦中的角頻率單位是rad/s， 而數(shù)字而數(shù)字域頻率域頻率單位是單位是rad?；蚧?36 6復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 njenx)()( )sin()cos()(njnenxnj 式

6、中式中為數(shù)字域頻率。若為數(shù)字域頻率。若 ，可，可得：得：0 歐拉恒等式歐拉恒等式 稱為復(fù)正弦序列稱為復(fù)正弦序列 14如果對(duì)所有如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小整數(shù)存在一個(gè)最小整數(shù)N，滿足，滿足 則稱則稱x(n)為周期序列，記為為周期序列，記為，最小周期為，最小周期為N。7.7.周期序列周期序列 nNnxnx)()()(nx15下面討論一般正弦序列的周期性。下面討論一般正弦序列的周期性。 )sin()( nAnx)sin()(sin()( NnANnANnx設(shè)設(shè) 那么 kN 2（1）當(dāng)）當(dāng) 為最小正整數(shù)（此時(shí)為最小正整數(shù)（此時(shí)k=1），則正弦序列是周），則正弦序列是周期序列，周期為期序列，周期為N。（2

7、）當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)時(shí)，P、Q為互素的整數(shù)，則正弦序?yàn)榛ニ氐恼麛?shù)，則正弦序列是以列是以P為周期的周期序列，且周期為周期的周期序列，且周期 。（3）當(dāng)）當(dāng) 無(wú)理數(shù)，任何整數(shù)無(wú)理數(shù)，任何整數(shù)k 都不能使都不能使N為正整數(shù)，因此，為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。此時(shí)的正弦序列不是周期序列。N 2QP 2 2PN 2)()(nxNnx滿足滿足 Qk k 216若（若（1 1） （2 2） （3 3）試判斷它們的周期性，畫出相應(yīng)的波形。試判斷它們的周期性，畫出相應(yīng)的波形。 例例1-2 p13)8cos(2)(nnx )114cos(2)(nnx )41sin(2)(nnx 05101

8、520-2-1012正弦序列（周期為16）05101520-2-1012正弦序列（周期為11）kN 217二、序列運(yùn)算二、序列運(yùn)算1.乘法和加法乘法和加法 圖圖1-7 序列的加法和乘法序列的加法和乘法 182 2移位及翻轉(zhuǎn)移位及翻轉(zhuǎn)圖圖1-8 序列的移位圖序列的移位圖 圖圖1-9 序列的翻轉(zhuǎn)序列的翻轉(zhuǎn) 表示序列右移（延時(shí)）；表示序列右移（延時(shí)）；表示序列左移（超前）。表示序列左移（超前）。 )(mnx )(mnx 是以是以n=0的縱軸為對(duì)稱軸左右翻轉(zhuǎn)而得到的的縱軸為對(duì)稱軸左右翻轉(zhuǎn)而得到的 )()(nxny m為正整數(shù)為正整數(shù) 193. 3. 尺度變換尺度變換 圖圖1-10 序列的尺度變換序列的

9、尺度變換 表示序列每表示序列每m點(diǎn)點(diǎn)(或每隔或每隔m-1點(diǎn)點(diǎn))取一點(diǎn)，稱為取一點(diǎn)，稱為序列的壓縮或抽取序列的壓縮或抽取。 表示把原序列兩相鄰值之間插入表示把原序列兩相鄰值之間插入m-1個(gè)零值，個(gè)零值，稱為稱為序列的伸展或內(nèi)插零值序列的伸展或內(nèi)插零值。 )(mnx)(mnx20三、任意序列的單位脈沖序列表示三、任意序列的單位脈沖序列表示 任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。 即即 mmnmxnx)()()( 這種任意序列的表示方法具有這種任意序列的表示方法具有普遍意義普遍意義，在分，在分析線性時(shí)不變系統(tǒng)中是一個(gè)很有用的公式。析線性時(shí)不變系統(tǒng)中是一個(gè)

10、很有用的公式。 21) 4(2) 3() 2(5 . 1) 1(3)(2) 1(3) 2(2)( nnnnnnnnx 圖圖1-11 用單位采樣序列移位加權(quán)和表示序列用單位采樣序列移位加權(quán)和表示序列 例如例如 221.3 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)y(n)x(n)T圖圖1-14 時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng) 所謂系統(tǒng)所謂系統(tǒng)，是將輸入序列，是將輸入序列 變換成輸出序列變換成輸出序列 的一種運(yùn)算，以的一種運(yùn)算，以 表示這種運(yùn)算。表示這種運(yùn)算。 )(nx)(ny T23一、一、 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 若滿足若滿足則此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。則此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。例例1-3 判斷判斷y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表

11、示的系統(tǒng)所表示的系統(tǒng) 是否線性系統(tǒng)？是否線性系統(tǒng)？解：解：因?yàn)橐驗(yàn)門ax1(n)+bx2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3， 而而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)系統(tǒng)滿足疊加性和均勻性。系統(tǒng)滿足疊加性和均勻性。)()()()()()(212121nbynaynbxTnaxTnbxnaxT 可見此系統(tǒng)不是可見此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)。 增量增量線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)p14 24 系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)。系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)。或者說(shuō)，或者說(shuō)，系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，即不管輸入信號(hào)系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，即不管輸入信號(hào)作

12、用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)作用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。的時(shí)間不同。二、時(shí)不變系統(tǒng)（又稱移不變系統(tǒng)）二、時(shí)不變系統(tǒng)（又稱移不變系統(tǒng)）)()(knxTkny )()(nxTny 設(shè)設(shè) 對(duì)任意整數(shù)對(duì)任意整數(shù)k，若，若 則稱該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)則稱該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng) 25圖圖1-16系統(tǒng)時(shí)不變說(shuō)明的示意圖系統(tǒng)時(shí)不變說(shuō)明的示意圖 26判別判別 所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。 )()(nnxny )()()(knxknkny )()(knnxknxT )()(knxTkny 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?因此該系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。因此該系統(tǒng)不是

13、時(shí)不變系統(tǒng)。 可見可見例例1-527 既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變條件的系統(tǒng)，既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。被稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。1. 單位脈沖單位脈沖(沖激沖激)響應(yīng)響應(yīng)即：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)是指輸入為單位脈沖序列時(shí)的系即：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)是指輸入為單位脈沖序列時(shí)的系統(tǒng)輸出。統(tǒng)輸出。三、線性時(shí)不變系統(tǒng)三、線性時(shí)不變系統(tǒng))()(nTnh 由由 可以確定任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出，從而推出可以確定任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出，從而推出線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)非常重要的描述關(guān)系式。線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)非常重要的描述關(guān)系式。 )(nh282. 任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出

14、因?yàn)橄到y(tǒng)是線性時(shí)不變的，所以因?yàn)橄到y(tǒng)是線性時(shí)不變的，所以 稱為稱為離散卷積或線性卷積離散卷積或線性卷積。 )()()()( mmnmxTnxTny mmmmmnhmxmnTmxmnmxTmnmxTny)()( )()( )()( )()()( 任意序列都可以任意序列都可以表示成單位脈沖序表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和列的移位加權(quán)和 )()()()()(nhnxmnhmxnym 29線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng))(nh)()()(nhnxny )(nx卷積運(yùn)算有明確的物理意義，就是在卷積運(yùn)算有明確的物理意義，就是在一般意義上描述了線性時(shí)不變離散時(shí)間系一般意義上描述了線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)輸入序

15、列的作用或處理作用。統(tǒng)對(duì)輸入序列的作用或處理作用。 303.3.線性卷積的計(jì)算線性卷積的計(jì)算計(jì)算它們的卷積的步驟如下：計(jì)算它們的卷積的步驟如下： (1)折疊折疊：先在啞變量坐標(biāo)軸：先在啞變量坐標(biāo)軸m上畫出上畫出x(m)和和h(m)，將，將h(m)以縱坐標(biāo)為對(duì)稱軸折疊成以縱坐標(biāo)為對(duì)稱軸折疊成 h(-m)。 (2)移位移位：將：將h(-m)移位移位n，得，得h(n-m)。當(dāng)。當(dāng)n為正數(shù)時(shí)，為正數(shù)時(shí)，右移右移n；當(dāng)；當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n。 (3)相乘相乘：將：將h(n-m)和和x(m)的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。 (4)相加相加：把所有的乘積累加起來(lái)，即得：把所有的乘積累加起來(lái)

16、，即得y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym 3131例例1-6 設(shè)設(shè)x(n)=R4(n)， h(n)=R4(n)，求，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用圖解法。解：采用圖解法。)()(4nRnx )()(4nRnh )()()(nhnxny mmnhmxny)()()(32例例1-7 )2()1(2)(3)( nnnnx)2()1()(2)( nnnnh列表法列表法 )4()3(3)2(7)1(7)(6)( nnnnnny表表1-1例例1-7列表法列表法或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?401 , 3 , 7 , 7 , 6)(nny33 在在Matlab中，卷積可通過(guò)調(diào)用函數(shù)中，卷

17、積可通過(guò)調(diào)用函數(shù)y=conv(x,h)來(lái)實(shí)現(xiàn)。來(lái)實(shí)現(xiàn)。注意：注意：兩個(gè)長(zhǎng)度分別為兩個(gè)長(zhǎng)度分別為N和和M的序列，線性卷積后的序列長(zhǎng)的序列，線性卷積后的序列長(zhǎng)度為度為N+M-1。 MATLAB實(shí)現(xiàn)：實(shí)現(xiàn)：n = 0:5-1;x =3*impseq(0,0,2)+2*impseq(1,0,2)+impseq(2,0,2); h =2*impseq(0,0,2)+impseq(1,0,2)+impseq(2,0,2); y=conv(x,h); stem(n,y,.); ylabel(y(n); axis(-1,5,0,8);text(6.1,0.3,n)圖圖1-18 例例1-7的的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)

18、現(xiàn))2()1(2)(3)( nnnnx)2()1()(2)( nnnnh運(yùn)行結(jié)果為：運(yùn)行結(jié)果為：y = 6 7 7 3 1 34線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律 )()()()()()(2121nhnhnxnhnhnx )()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx 結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律35 - -輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。即即n=n0的輸出的輸出y(n0)只取決于只取決于nn0的輸入的輸入。在數(shù)學(xué)上因果系統(tǒng)滿足如下方程：在數(shù)學(xué)上因果系統(tǒng)滿足如下方程：y(n)=fx(n)，x(n-1)，x(

19、n-2)，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)為一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件因果系統(tǒng)的充分必要條件: :1. 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)0,0)( nnh四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性36非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn)非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn) 0121nx(n)0111nh(n)0121nh (n)（ a ）（ b ）（ c ）0121ny(n)3 1230121ny (n)323（ d ）（ e ）在實(shí)際中，利用數(shù)在實(shí)際中，利用數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)作字信號(hào)處理系統(tǒng)作非實(shí)時(shí)處理時(shí)，可非實(shí)時(shí)處理時(shí)，可以用具有很大延時(shí)以用具有很大延時(shí)的因果系統(tǒng)去逼近的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)。非因果系統(tǒng)。 37 -指對(duì)于每個(gè)有

20、界輸入指對(duì)于每個(gè)有界輸入x(n)，都產(chǎn)生有界輸出，都產(chǎn)生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即的系統(tǒng)。即 如果如果|x(n)|M(M為正常數(shù)為正常數(shù))，有，有|y(n)|+，則，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要穩(wěn)定的充分和必要條件條件是其單位取樣響應(yīng)是其單位取樣響應(yīng)h( (n) )絕對(duì)可和，即絕對(duì)可和，即2.穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng) nnh| )(|38一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)為因果、穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)為因果、穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件：的充分必要條件：0,0)( nnh nnh| )(|39設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣

21、響應(yīng) ，式中式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 例例1-8)()(nuanhn aaaanhNNnNnNnnn 11100limlim)(解解 由于由于n0時(shí)，時(shí)， ，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 0)0( hanhn 11)(1 a因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是: : 1 a時(shí)，時(shí)，40判別系統(tǒng)判別系統(tǒng) 的因果穩(wěn)定性。的因果穩(wěn)定性。解解因 果 性因 果 性 ： 因 為 只 與： 因 為 只 與 的 當(dāng) 前 值 有 關(guān) ， 而的 當(dāng) 前 值 有 關(guān) ， 而與，與， 等未來(lái)值無(wú)關(guān)，故系統(tǒng)等未來(lái)值無(wú)關(guān)，故系統(tǒng)是因果的。是因果的。 穩(wěn)定性穩(wěn)

22、定性：當(dāng)：當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ，由于由于 是有界的，所以是有界的，所以 也是有也是有界的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。界的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 例例1-9)cos()()()( nnxnxTny)1( nx)2( nx)(nxMnx )()cos()( nMnxT1)cos( n)()(nxTny 411.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域描述離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域描述 差分方程差分方程 一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達(dá)式一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達(dá)式其中其中ak，br都是常數(shù)。都是常數(shù)?；蛘撸夯蛘撸?MrNkkrknyarnxbny01)()()(1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk42 該式說(shuō)明，系統(tǒng)

23、在該式說(shuō)明，系統(tǒng)在某時(shí)刻某時(shí)刻n的輸出值的輸出值y(n)不僅與不僅與該該時(shí)刻時(shí)刻的輸入的輸入x(n)、過(guò)去時(shí)刻的輸入、過(guò)去時(shí)刻的輸入x(n-1)，x(n-2)等有等有關(guān)，還與關(guān)，還與該時(shí)刻以前該時(shí)刻以前的輸出值的輸出值y(n-1)，y(n-2)等有關(guān)。等有關(guān)。 說(shuō)明說(shuō)明 MrNkkrknyarnxbny01)()()(1) )差分方程的階數(shù)是用方程差分方程的階數(shù)是用方程 項(xiàng)中的項(xiàng)中的 取值最大取值最大與最小之差確定的。與最小之差確定的。2) ) )(kny k1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk43差分方程的特點(diǎn)差分方程的特點(diǎn) 采用差分方程描述系統(tǒng)簡(jiǎn)便、直觀、易于計(jì)采用差分方程

24、描述系統(tǒng)簡(jiǎn)便、直觀、易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。算機(jī)實(shí)現(xiàn)。2.2.容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。3.3.便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。 但差分方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特但差分方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。實(shí)際上用來(lái)描述系統(tǒng)多數(shù)還性和穩(wěn)定性等。實(shí)際上用來(lái)描述系統(tǒng)多數(shù)還是由是由系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)。44 常系數(shù)差分方程的求解方法有迭代法，時(shí)域常系數(shù)差分方程的求解方法有迭代法，時(shí)域經(jīng)典法，卷積法和變換域法。經(jīng)典法，卷積法和變換域法。 時(shí)域經(jīng)典法時(shí)域經(jīng)典法類似于解微分方程，過(guò)程繁瑣，類似于解微分方程，過(guò)程繁瑣，應(yīng)用很少，但物理概念比較清楚。應(yīng)用很少，但物理概念比較清楚

25、。 迭代法迭代法( (遞推法遞推法) )比較簡(jiǎn)單，且適合于計(jì)算機(jī)比較簡(jiǎn)單，且適合于計(jì)算機(jī)求解，但不能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解求解，但不能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解答）。答（也稱閉合形式解答）。 卷積法卷積法適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。 變換域方法變換域方法類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里采用變換，這里采用Z Z變換法變換法來(lái)求解差分方程，這在來(lái)求解差分方程，這在實(shí)際使用上是最簡(jiǎn)單有效的方法。實(shí)際使用上是最簡(jiǎn)單有效的方法。 二、差分方程的求解二、差分方程的求解45設(shè)系統(tǒng)用差分方程設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(

26、n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序描述，輸入序列列x(n)=(n)，求輸出序列，求輸出序列y(n)。解：解： 該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個(gè)初該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個(gè)初始條件。始條件。 (1) 設(shè)初始條件設(shè)初始條件 y(-1)=0 y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0時(shí)時(shí)，y(0)=ay(-1)+(0)=1n=1時(shí)時(shí)，y(1)=ay(0)+(1)=an=2時(shí)時(shí)，y(2)=ay(1)+(2)=a2n=n時(shí)時(shí)，y(n)=any(n)=anu(n)以以迭迭代代法法為為例例例例1-10 0,0)( nnh46n=0時(shí)時(shí)，y(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1時(shí)時(shí)

27、，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)an=2時(shí)時(shí)，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2n=n時(shí)時(shí)，y(n)=(1+a)any(n)=(1+a)anu(n)(2)設(shè)初始條件設(shè)初始條件y(-1)=147 y(n-1)=a-1y(n)-(n) y(n)=a-1y(n+1)-(n+1) y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)=a-1y(0)-(0)=-a-1 y(-2)=a-1y(-1)-(-1)=-a-2 y(n)=-ay(n-1)=-a n得到得到 h(n)= y(n)=-anu(-n-1)0,0)( nnh(3)設(shè)初始條件設(shè)初始條件1 nn48（1 1）一個(gè)常系數(shù)線性差分

28、方程不一定代表一）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個(gè)因果系統(tǒng)。個(gè)因果系統(tǒng)。（2 2）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條件，不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入加的起始條件，不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí)，才輸出關(guān)系，并且只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。 在以下的討論中，除非另外聲明，我們都在以下的討論中，除非另外聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線假設(shè)常系數(shù)線性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時(shí)不變系統(tǒng)，并且多數(shù)是指因果系統(tǒng)。性時(shí)不變系統(tǒng)，并且多數(shù)是指因果

29、系統(tǒng)。以上結(jié)果說(shuō)明：以上結(jié)果說(shuō)明：49MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) y=filter(b,a,x) );()2(9 . 0)1()(nxnynyny 例例1-11 a=1,-1,0.9; b=1;x=impseq(0,-20,120); % 輸入輸入x為單位脈沖序列為單位脈沖序列n=-20:120;h=filter(b,a,x); % 系統(tǒng)輸出為單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)輸出為單位脈沖響應(yīng)stem(n,h,.);50501.5 模擬信號(hào)數(shù)字處理方法模擬信號(hào)數(shù)字處理方法前置預(yù)前置預(yù)濾波器濾波器A/D變換器變換器數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)處理器處理器D/A變換器變換器模擬模擬濾波器濾波器模擬模擬xa(t)PrFADCDSPD

30、ACPoF模擬模擬ya(t)采樣采樣采樣恢復(fù)采樣恢復(fù)5151一、采樣的基本概念一、采樣的基本概念 所謂所謂“采樣采樣”，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱為采樣信號(hào)，以為采樣信號(hào)，以 表示。表示。 圖圖1-21 1-21 采樣的原理框圖采樣的原理框圖)(txa采樣器采樣器連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)采樣脈沖采樣脈沖采樣信號(hào)采樣信號(hào)5252 （a）實(shí)際采樣）實(shí)際采樣 （b） 理想采樣理想采樣圖圖1-22 兩種采樣方式兩種采樣方式5353二、理想采樣及其頻譜二、理想采樣及

31、其頻譜 1.時(shí)域分析時(shí)域分析 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 采樣脈沖：采樣脈沖： 理想采樣輸出理想采樣輸出: : nTnTtttp)()()( naTaanTtnTxttxtx)()()()()()()(21)(aa PXX 54先從時(shí)間域直觀的來(lái)看：先從時(shí)間域直觀的來(lái)看：p后面我們將講到，每個(gè)信號(hào)都可以分解為多個(gè)不同頻率、不后面我們將講到，每個(gè)信號(hào)都可以分解為多個(gè)不同頻率、不同振幅和不同相位的正弦或余弦函數(shù)疊加的形式。為討論方同振幅和不同相位的正弦或余弦函數(shù)疊加的形式。為討論方便我們假定要離散化的信號(hào)只有一個(gè)頻率成分便我們假定要離散化的信號(hào)只有一個(gè)頻率成分 。p如果此信號(hào)以每周少于兩個(gè)點(diǎn)采樣，會(huì)發(fā)生什么

32、情況呢？如果此信號(hào)以每周少于兩個(gè)點(diǎn)采樣，會(huì)發(fā)生什么情況呢？p下面我們用下面我們用MATLABMATLAB模擬來(lái)研究這種情況模擬來(lái)研究這種情況 ：p例：現(xiàn)有一個(gè)振幅為例：現(xiàn)有一個(gè)振幅為1 1，頻率為，頻率為10Hz10Hz，相位為，相位為0.30.3的模擬信號(hào)的模擬信號(hào), , 即即x(t)=sin(2x(t)=sin(2* *pipi* *1010* *t+0.3)t+0.3)用用0.010.01秒的采樣間隔來(lái)表示原秒的采樣間隔來(lái)表示原始信號(hào)（實(shí)際上模擬信號(hào)不能用離散值表示，此處為了在計(jì)始信號(hào)（實(shí)際上模擬信號(hào)不能用離散值表示，此處為了在計(jì)算機(jī)上表示，用采樣率非常高的離散信號(hào)表示模擬信號(hào)）。算機(jī)上

33、表示，用采樣率非常高的離散信號(hào)表示模擬信號(hào)）。若以每秒采樣若以每秒采樣1010次，即采樣間隔為次，即采樣間隔為0.1s0.1s的采樣，試?yán)L出原始的采樣，試?yán)L出原始信號(hào)和采樣后的信號(hào)信號(hào)和采樣后的信號(hào) 55pdt=0.01;t=dt=0.01;t=0:0:dtdt:1:1; ; pf=10; %f=10; %原始信號(hào)的頻率為原始信號(hào)的頻率為10Hz10Hzpx=sin(2x=sin(2* *pipi* *f f* *t+0.3); %t+0.3); %在計(jì)算機(jī)上的原始信在計(jì)算機(jī)上的原始信號(hào)號(hào)pdt=0.1;t1=dt=0.1;t1=0:0:dtdt:1:1; %; %以以10Hz10Hz的采樣頻

34、率采樣的采樣頻率采樣px1=sin(2x1=sin(2* *pipi* *f f* *t1+0.3); %t1+0.3); %采樣后的信號(hào)采樣后的信號(hào)psubplot(3,1,1),plot(t,x),ylim(-1,1),title(subplot(3,1,1),plot(t,x),ylim(-1,1),title(原原始信號(hào)始信號(hào))p% %繪出模擬原始信號(hào)，為與下圖統(tǒng)一，采樣繪出模擬原始信號(hào)，為與下圖統(tǒng)一，采樣y y軸的范圍軸的范圍-1 1-1 1用用ylimylim給出給出psubplot(3,1,2),plot(t,x,t1,x1,o),ylim(-subplot(3,1,2),plo

35、t(t,x,t1,x1,o),ylim(-1,1),title(1,1),title(采樣過(guò)程采樣過(guò)程)p% %繪出在模擬信號(hào)基礎(chǔ)上的采樣過(guò)程繪出在模擬信號(hào)基礎(chǔ)上的采樣過(guò)程psubplot(3,1,3),plot(t1,x1),ylim(-1,1)subplot(3,1,3),plot(t1,x1),ylim(-1,1)ptitle(title(采樣后信號(hào)采樣后信號(hào)),xlabel(),xlabel(時(shí)間時(shí)間/s) %/s) %繪出采樣繪出采樣后的信號(hào)后的信號(hào)56我們可以說(shuō)，采過(guò)樣的我們可以說(shuō)，采過(guò)樣的10Hz10Hz的信號(hào)具有的信號(hào)具有“零頻率零頻率”信號(hào)的外貌信號(hào)的外貌 . .57我們?cè)賮?lái)

36、考慮一個(gè)頻率我們?cè)賮?lái)考慮一個(gè)頻率9Hz9Hz的原始正弦信號(hào)，以的原始正弦信號(hào)，以0.10.1秒間隔的采樣結(jié)果產(chǎn)生的信號(hào)具有秒間隔的采樣結(jié)果產(chǎn)生的信號(hào)具有1Hz1Hz信號(hào)的外貌信號(hào)的外貌 5859p通過(guò)上面的分析，我們可以得到：通過(guò)上面的分析，我們可以得到：當(dāng)采樣頻率大于信號(hào)中所含有信號(hào)最大頻率的二當(dāng)采樣頻率大于信號(hào)中所含有信號(hào)最大頻率的二倍時(shí)，采樣后的數(shù)據(jù)可以不失真地描述信號(hào)。當(dāng)采樣倍時(shí)，采樣后的數(shù)據(jù)可以不失真地描述信號(hào)。當(dāng)采樣頻率不滿足這個(gè)條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)頻率折疊和頻率重復(fù)。頻率不滿足這個(gè)條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)頻率折疊和頻率重復(fù)。 這就是采樣定理。這就是采樣定理。在數(shù)字信號(hào)處理中通常定義采樣頻率為在數(shù)

37、字信號(hào)處理中通常定義采樣頻率為NyquistNyquist（奈奎斯特）頻率。（奈奎斯特）頻率。因此采樣定理還可以敘述為：因此采樣定理還可以敘述為：只有信號(hào)中的最大頻率不大于只有信號(hào)中的最大頻率不大于NyquistNyquist頻率的一半，頻率的一半，采樣后的數(shù)據(jù)才能不失真地反映信號(hào)采樣后的數(shù)據(jù)才能不失真地反映信號(hào)。 6060 2. 2.頻域分析頻域分析 傅里葉（傅里葉（Fourier，17681830）生）生子法國(guó)中部歐塞爾一個(gè)裁縫家庭，八歲子法國(guó)中部歐塞爾一個(gè)裁縫家庭，八歲時(shí)淪為孤兒，就讀子地方軍校，時(shí)淪為孤兒，就讀子地方軍校，1795年年任巴黎綜合工科大學(xué)助教，任巴黎綜合工科大學(xué)助教，17

38、98年隨拿年隨拿破侖軍隊(duì)遠(yuǎn)征埃及，受到拿破侖器重，破侖軍隊(duì)遠(yuǎn)征埃及，受到拿破侖器重，回國(guó)后被任命為格倫諾布爾省省長(zhǎng)，由回國(guó)后被任命為格倫諾布爾省省長(zhǎng)，由于對(duì)于對(duì)熱傳導(dǎo)理論熱傳導(dǎo)理論的貢獻(xiàn)于的貢獻(xiàn)于1817年當(dāng)選為年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士，巴黎科學(xué)院院士，1822年成為科學(xué)院終年成為科學(xué)院終身秘書。身秘書。6161 傅里葉早在傅里葉早在1807年就寫成關(guān)于熱傳年就寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文，但經(jīng)導(dǎo)的基本論文，但經(jīng)拉格朗日拉格朗日、拉普拉拉普拉斯斯和和勒讓德勒讓德審閱后被科學(xué)院拒絕，審閱后被科學(xué)院拒絕，1811年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學(xué)年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學(xué)院大獎(jiǎng)，卻未正式發(fā)表。院

39、大獎(jiǎng)，卻未正式發(fā)表。1822年，傅里年，傅里葉終于出版了專著葉終于出版了專著熱的解析理論熱的解析理論。這部經(jīng)典著作將這部經(jīng)典著作將歐拉歐拉、伯努利伯努利等人在一等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級(jí)數(shù)方法發(fā)展些特殊情形下應(yīng)用的三角級(jí)數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級(jí)數(shù)后來(lái)就以傅里葉名字命名。成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級(jí)數(shù)后來(lái)就以傅里葉名字命名。6262 傅里葉發(fā)現(xiàn)，傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)任何周期函數(shù)都可以用都可以用正弦函數(shù)正弦函數(shù)和和余弦函余弦函數(shù)數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪呛瘮?shù)是因?yàn)樗鼈兪钦徽坏模?/p>

40、后世稱為的），后世稱為傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)。6363 映射 時(shí)域相乘時(shí)域相乘 頻域卷積頻域卷積 （模擬系統(tǒng)）（模擬系統(tǒng)） 1)1)沖激函數(shù)序列沖激函數(shù)序列T(t)的頻譜的頻譜 考慮到周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開，因此，沖激函考慮到周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開，因此，沖激函數(shù)序列數(shù)序列T(t)可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為: :其中其中 ntjnnTseAt)()()(21)(aa PXX )()()(aatptxtx T/2s 2/2/)(1TTtjnndtetTAs TdttTTT1)(12/2/ 64因此，因此， 上式表明沖激函數(shù)序列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu)，即它的各次上式表明沖激函數(shù)序

41、列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu)，即它的各次諧波都具有相等的幅度諧波都具有相等的幅度1/T。 2, 1, 0,1)( neTtntjnTs )()(21)(aa PXX )()()(aatptxtx 兩種方法求兩種方法求65dteeTtxdtetxjXtjntjnatjaas 1)()()( ntnjantnjadtetxTdtetxTss)()()(1)(1 nsajnjXT)(1 ntjnaaseTtxtx1)()(dtetxjXtjaa )()( 2 2）理想采樣信號(hào)）理想采樣信號(hào) 的頻譜的頻譜)(txa方法方法1 1：6666上式表明：上式表明： （1）頻譜產(chǎn)生周期延拓頻譜產(chǎn)生周期延拓。即采樣信號(hào)的

42、頻譜是頻率的周即采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周期函數(shù)，其周期為期函數(shù)，其周期為s。 （2）頻譜的幅度是）頻譜的幅度是Xa(j)的的1/T倍。倍。)(*)(21)( PXjXaa )(2*)(21 nsanTX nsanXT)(1方法方法2 2：)(2ss tje67三、時(shí)域采樣定理三、時(shí)域采樣定理 如果信號(hào)如果信號(hào)xa(t)是帶是帶限信號(hào)，且最高頻率不超過(guò)限信號(hào)，且最高頻率不超過(guò)s/2，即，即 那么采樣頻譜中，那么采樣頻譜中，基帶頻譜基帶頻譜以及以及各次諧波頻譜各次諧波頻譜彼此是不重疊彼此是不重疊的。的。 用一個(gè)帶寬為用一個(gè)帶寬為s/2的理想的理想低通濾波器，可以不失真的還低通濾波器，可以不失真的還

43、原出原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。原出原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。 2/|02/|)()(ssaajXjX68圖圖1-24 1-24 采樣信號(hào)的頻譜圖采樣信號(hào)的頻譜圖 但是，如果信號(hào)最高頻譜但是，如果信號(hào)最高頻譜超過(guò)超過(guò)s/2，那么在采樣頻譜，那么在采樣頻譜中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交疊起來(lái)，這就是疊起來(lái)，這就是頻譜混疊現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象象。 其中，其中，s/2 或或 fs/2，稱作，稱作折折疊頻率疊頻率 。69中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院697070圖圖1-26 1-26 單音（余弦）信號(hào)采樣中的頻譜混疊情況示意圖單音（余弦）信號(hào)采樣中的頻譜混疊情況示意圖 ttxa0cos)( 7171 設(shè)設(shè)

44、沒有混疊時(shí)，恢復(fù)出的輸出為沒有混疊時(shí)，恢復(fù)出的輸出為 有混疊時(shí)，則是有混疊時(shí)，則是 結(jié)論：結(jié)論：為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，采樣頻率為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，采樣頻率必須大于兩倍信號(hào)最高頻率，這就是必須大于兩倍信號(hào)最高頻率，這就是奈奎斯特采樣定理奈奎斯特采樣定理。ttxa0cos)( ttya0cos)( ttysa)cos()(0 7272四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插）四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插） 1.1.頻域分析頻域分析 2/,02/,)(ssTjG)()()(1)()()( jXjGjXTjGjXjYaaa)()(txtya 73732.2.時(shí)域分析時(shí)域分析 把輸出看成是把輸出看成是 與

45、理想低通單位沖激響應(yīng)與理想低通單位沖激響應(yīng)g(t)的卷積的卷積 理想低通理想低通G(j)的沖激響應(yīng)為的沖激響應(yīng)為)(txa 2/2/2)(21)(ssdeTdejGtgtjtj tTtTttss sin22sin 7474 根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為：根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為： dtgxtxtyaa)()()()( dtgnTxna)( )()( nadnTtgx )()()( nananTtTnTtTnTxnTtgnTx)()(sin)()()( 7575其中：其中： naanTtTnTtTnTxtx)()(sin)()( )()(sin)(nTtTnTtTnTtg 采樣內(nèi)插公式采樣內(nèi)插公式 內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù) 內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)權(quán) 內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在采樣點(diǎn)的值就等于采樣點(diǎn)的值就等于xa(nT)，采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加疊加而成的。而成的。 7676 要完全恢復(fù)