含參數(shù)的一元二次不等式的解法與恒成立問(wèn)題

1、含參數(shù)的一元二次不等式的解法含參一元二次不等式常用的分類方法有三種： 一、按項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)分類，即;例1 解不等式：分析：本題二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，故只需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論。 解：解得方程 兩根當(dāng)時(shí),解集為當(dāng)時(shí)，不等式為,解集為當(dāng)時(shí), 解集為 例2 解不等式分析 因?yàn)?，所以我們只要討論二次?xiàng)系數(shù)的正負(fù)。解 當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為變式：解關(guān)于的不等式1、； 3、ax2(a1)x1<0(aR)二、按判別式的符號(hào)分類，即；例3 解不等式分析 本題中由于的系數(shù)大于0,故只需考慮與根的情況。解： 當(dāng)即時(shí)，解集為；當(dāng)即0時(shí)，解集為；當(dāng)或即,此時(shí)兩根分別為，顯然, 不等式的解集為例4 解不等式

2、 解 因所以當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為R。變式：解關(guān)于的不等式：三、按方程的根的大小來(lái)分類，即；例5 解不等式分析：此不等式可以分解為：，故對(duì)應(yīng)的方程必有兩解。本題只需討論兩根的大小即可。解：原不等式可化為：，令，可得：當(dāng)或時(shí)， ，故原不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，,可得其解集為；當(dāng)或時(shí), ,解集為。例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解為，故只需比較兩根與的大小.解 原不等式可化為：，對(duì)應(yīng)方程的兩根為 ，當(dāng)時(shí)，即，解集為；當(dāng)時(shí)，即，解集為7、若關(guān)于x的不等式(2x1)2ax2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（【解析】不等式可化為(4a)x24x10，

3、由于原不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，所以，解得0a4，故由得，又，所以解集中的3個(gè)整數(shù)必為1,2,3，所以34，解得a 一題多解專題一：一元二次不等式恒成立問(wèn)題一元二次不等式恒成立問(wèn)題的兩種解法(1)分離參數(shù)法.把所求參數(shù)與自變量分離,轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問(wèn)題.(2)不等式組法.借助二次函數(shù)的圖象性質(zhì),列不等式組求解.例1. 設(shè)函數(shù)，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值，都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的 取值范圍.【解析】法一：當(dāng)a>0時(shí)，由x(1,4)，f(x)>0得 或或 所以或或，所以或，即。 當(dāng)a<0時(shí)，解得a; 當(dāng)a=0時(shí)，, f(1)=0,f(4)=-6,

4、不合題意. 綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是。 . 法二：由f(x)>0, 即,x(1,4)， 則有在(1，4)上恒成立. 令， ， 所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要即可. 故a的取值范圍為.2.已知函數(shù)在區(qū)間(，2上單調(diào)遞增，在區(qū)間2,2上單調(diào) 遞減，且b0.(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)設(shè)0<m2，若對(duì)任意的x1、x2m2，m不等式|f(x1)f(x2)|16m恒成立，求實(shí) 數(shù)m的最小值解析(1)由題意知x2是該函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn). f(x)3x22bxc，f(2)0，即124bc0. 又f(x)在2,2上單調(diào)遞減， f(x)3x22bxc在2,2上恒有f(x)0. f(2)0，即124bc0. 124b4b120. b0，又b0，b0，c12，f(x)x312x1. (2)f(x)3x2123(x2)(x2) 0<m2，而當(dāng)m2xm時(shí)，0<mx2<m2，m4x2m20， f(x)0，xm2，m. 因此f(x)為m2，m上的減函數(shù)， 對(duì)