導(dǎo)體和電介質(zhì)　習(xí)題解答

1、第10章 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)習(xí)題解答 101 點(diǎn)電荷處在導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)、外半徑分別為和。試求：（1）；（2）；（3）三個(gè)區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)。為觀察點(diǎn)到的距離。解：由高斯定理得 （1）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，BoAPrArCrB102 一帶電量為q，半徑為rA的金屬球A，與一原先不帶電、內(nèi)外半徑分別為rB和rC的金屬球殼B同心放置，如圖所示，則習(xí)題102圖中P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度如何？若用導(dǎo)線將A和B連接起來(lái)，則A球的電勢(shì)為多少？（設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零）解：過P點(diǎn)作一個(gè)同心球面作為高斯面，盡管金屬球殼內(nèi)側(cè)會(huì)感應(yīng)出異種，但是高斯面內(nèi)只有電荷q。根據(jù)高斯定理可得 E4r2

2、= q/0可得P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為當(dāng)金屬球殼內(nèi)側(cè)會(huì)感應(yīng)出異種電荷-q時(shí)，外側(cè)將出現(xiàn)同種電荷q。用導(dǎo)線將A和B連接起來(lái)后，正負(fù)電荷將中和。A球是一個(gè)等勢(shì)體，其電勢(shì)等于球心的電勢(shì)。A球的電勢(shì)是球殼外側(cè)的電荷產(chǎn)生的，這些電荷到球心的距離都是rc，所以A球的電勢(shì)為 DS1S2S0rR2R1rl 103 同軸電纜是由半徑為R1的直導(dǎo)線和半徑為R2的同軸薄圓筒構(gòu)成的，其間充滿了相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度上導(dǎo)線和圓筒的帶電量分別為+和-，則通過介質(zhì)內(nèi)長(zhǎng)為l，半徑為r的同軸封閉圓柱面的電位移通量為多少？該圓柱面上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為多少？解：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移是軸對(duì)稱分布的在內(nèi)外半徑之間作一個(gè)

3、半徑為r、長(zhǎng)為l的圓柱形高斯面，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理，通過圓柱面的電位移通過等于該面包含的自由電荷，即 d = q = 。設(shè)高斯面的側(cè)面為S0，上下兩底面分別為S1和S2。通過高斯面的電位移通量為可得電位移為 D = /2r其方向垂直中心軸向外。電場(chǎng)強(qiáng)度為 E = D/0r = /20rr方向也垂直中心軸向外。 qobar104如習(xí)題104圖所示，金屬球殼原來(lái)帶有電量Q，殼內(nèi)外半徑分別為a、b，殼內(nèi)距球心為r處有一點(diǎn)電荷q，求球心o的電勢(shì)為多少？解：點(diǎn)電荷q在內(nèi)殼上感應(yīng)出負(fù)電荷-q，不論電荷如何分布，距離球心都為a。外殼上就有電荷q+Q，距離球?yàn)閎。球心的電勢(shì)是所有電荷產(chǎn)生的電勢(shì)疊加，大小為q

4、ABC105如習(xí)題105圖所示，三塊平行金屬板A、B和C，面積都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板帶有正電荷q = 3×10-8C，忽略邊緣效應(yīng)求（1）B、C板上的電荷為多少？（2）A板電勢(shì)為多少？解：(1)設(shè)A的左右兩面的電荷面密度分別為1和2，所帶電量分別為q1 = 1S和q2 = 2S在B、C板上分別感應(yīng)異號(hào)電荷-q1和-q2，由電荷守恒得方程q = q1 + q2 = 1S + 2S A、B間的場(chǎng)強(qiáng)為 E1 = 1/0A、C間的場(chǎng)強(qiáng)為 E2 = 2/0設(shè)A板與B板的電勢(shì)差和A板與C板的的電勢(shì)差相等，設(shè)為U，則U =

5、 E1d1 = E2d2， 即 1d1 = 2d2 解聯(lián)立方程和得1 = qd2/S(d1 + d2)所以 q1 = 1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)q2 = q - q1 = 1×10-8(C)B、C板上的電荷分別為qB = -q1 = -2×10-8(C)qC = -q2 = -1×10-8(C)(2)兩板電勢(shì)差為U = E1d1 = 1d1/0 = qd1d2/0S(d1+d2)由于 k = 9×109 = 1/40所以 0 = 10-9/36因此 U = 144 = 452.4(V)由于B板和C板的電勢(shì)為零，所以

6、UA = U = 452.4(V)Pq1q2ABq106 一無(wú)限大均勻帶電平面A，帶電量為q，在它的附近放一塊與A平行的金屬導(dǎo)體板B，板B有一定的厚度，如習(xí)題106圖所示。則在板B的兩個(gè)表面1和2上的感應(yīng)電荷分別為多少？解：由于板B原來(lái)不帶電，兩邊感應(yīng)出電荷后，由電荷守恒得q1 + q2 = 0 雖然兩板是無(wú)限大的，為了計(jì)算的方便，不妨設(shè)它們的面積為S，則面電荷密度分別為1 = q1/S、2 = q2/S、 = q/S它們產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為E1 = 1/0、E2 = 2/0、E = /0在B板內(nèi)部任取一點(diǎn)P，其場(chǎng)強(qiáng)為零，其中1面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)向右，2面和A板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)向左，取向右的方向?yàn)檎傻?/p>

7、E1 - E2 E = 0即 1 - 2 = 0或者說 q1 - q2 + q = 0 解得電量分別為 q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/22143107如習(xí)題107圖所示，兩平行金屬板帶有等量異號(hào)電荷，若兩板的電勢(shì)差為120V，兩板間相距為1.2mm，忽略邊緣效應(yīng)，求兩個(gè)金屬板的四個(gè)表面的電荷面密度各為多少？解：由于左板接地，所以1 = 0由于兩板之間的電荷相互吸引，右板右面的電荷會(huì)全部吸引到右板左面，所以4 = 0由于兩板帶等量異號(hào)的電荷，所以2 = -3兩板之間的場(chǎng)強(qiáng)為E = 3/0而 E = U/d所以面電荷密度分別為 3 = 0E = 0U/d = 8.84×1

8、0-7(C·m-2)2 = -3 = -8.84×10-7(C·m-2)oR2R1R3108 一球形電容器，內(nèi)外球殼半徑分別為R1和R2，球殼與地面及其他物體相距很遠(yuǎn)。將內(nèi)球殼用細(xì)導(dǎo)線接地。試證：球面間電容可用公式表示。（提示：可看作兩個(gè)球電容器的并聯(lián)，且地球半徑R>>R2）證明方法一：并聯(lián)電容法在外球外面再接一個(gè)半徑為R3大外球殼，外殼也接地內(nèi)球殼和外球殼之間是一個(gè)電容器，電容為外球殼和大外球殼之間也是一個(gè)電容器，電容為外球殼是一極，由于內(nèi)球殼和大外球殼都接地，共用一極，所以兩個(gè)電容并聯(lián)當(dāng)R3趨于無(wú)窮大時(shí)，C2 = 40R2并聯(lián)電容為 方法二：電容定

9、義法假設(shè)外殼帶正電為q，則內(nèi)殼將感應(yīng)電荷q。內(nèi)球的電勢(shì)是兩個(gè)電荷產(chǎn)生的疊加的結(jié)果。由于內(nèi)球接地，所以其電勢(shì)為零；由于內(nèi)球是一個(gè)等勢(shì)體，其球心的電勢(shì)為因此感應(yīng)電荷為根據(jù)高斯定理可得兩球殼之間的場(chǎng)強(qiáng)為負(fù)號(hào)表示場(chǎng)強(qiáng)方向由外球殼指向內(nèi)球殼取外球殼指向內(nèi)球殼的一條電力線，兩球殼之間的電勢(shì)差為球面間的電容為oR2R1r109如習(xí)題109圖所示，球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為R1和R2，其間一半為真空，另一半充滿相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，求該電容器的電容。解：球形電容器的電容為對(duì)于半球來(lái)說，由于相對(duì)面積減少了一半，所以電容也減少一半。當(dāng)電容器中充滿介質(zhì)時(shí)，電容為由于內(nèi)球是一極，外球是一極，所以兩個(gè)電容器并

10、聯(lián)d212d11010如習(xí)題1010圖所示，板面積為S的平行板電容器，板間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)分別為1和2，厚度分別為d1和d2，求該電容器的電容。解：假設(shè)在兩介質(zhì)的介面插入一薄導(dǎo)體，可知兩個(gè)電容器串聯(lián)，電容分別為C1 = 1S/d1和C2 = 2S/d2總電容的倒數(shù)為總電容為 DS1S2S0rR2R1l1011 圓柱形電容器是由半徑為R1的導(dǎo)線和與它同軸的內(nèi)半徑為R2的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成的，其間充滿了介電常數(shù)為的介質(zhì)，其長(zhǎng)為l。沿軸線單位長(zhǎng)度上的導(dǎo)線和圓筒分別帶電和-，略去邊緣效應(yīng)。求：（1）兩極板間的電勢(shì)差U；（2）介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移；（3）電容C。解：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移是軸對(duì)稱分布

11、的在內(nèi)外半徑之間作一個(gè)半徑為r、長(zhǎng)為l的圓柱形高斯面，側(cè)面為S0，上下兩底面分別為S1和S2。通過高斯面的電位移通量為高斯面包圍的自由電荷為 q = 根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理 d = q可得電位為 D = /2r方向垂直中心軸向外。電場(chǎng)強(qiáng)度為 E = D/ = /2r，方向也垂直中心軸向外。取一條電力線為積分路徑，電勢(shì)差為電容為 在真空時(shí)的電容為所以倍數(shù)為C/C0 = /0。1012 在半徑為R1的金屬球外有一層相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻介質(zhì)，介質(zhì)層的內(nèi)、外半徑分別為和R2。設(shè)金屬球帶電Q0，求：（1）介質(zhì)層內(nèi)、外、的分布；（2）介質(zhì)層內(nèi)、外表面的極化電荷面密度。解：（1）在介質(zhì)內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移以

12、及極化強(qiáng)度是球?qū)ΨQ分布的。在內(nèi)外半徑之間作一個(gè)半徑為r的球形高斯面，通過高斯面的電位移通量為高斯面包圍的自由電荷為q = Q0根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理 d = q可得電位為 D = Q0/4r2方向沿著徑向，用矢量表示為D = Q0r/4r3電場(chǎng)強(qiáng)度為 E = D/0r = Q0r/40rr3方向沿著徑向。由于D = 0E + P所以 P = D - 0E = 在介質(zhì)之外是真空，真空可當(dāng)作介電常量r = 1的介質(zhì)處理，所以D = Q0r/4r3，E = Q0r/40r3，P = 0。（2）在介質(zhì)層內(nèi)靠近金屬球處，自由電荷Q0產(chǎn)生的場(chǎng)為E0 = Q0r/40r3極化電荷q1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E = q1r

13、/40r3總場(chǎng)強(qiáng)為 E = Q0r/40rr3由于 E = E0 + E解得極化電荷為 介質(zhì)層內(nèi)表面的極化電荷面密度為在介質(zhì)層外表面，極化電荷為面密度為1013 兩個(gè)電容器電容之比C1:C2 = 1:2，把它們串聯(lián)后接到電源上充電，它們的靜電能之比為多少？如果把它們并聯(lián)后接到電源上充電，它們的靜電能之比又是多少？解：兩個(gè)電容器串聯(lián)后充電，每個(gè)電容器帶電量是相同的，根據(jù)靜電能量公式W = Q2/2C，得靜電能之比為W1:W2 = C2:C1 = 2:1兩個(gè)電容器并聯(lián)后充電，每個(gè)電容器兩端的電壓是相同的，根據(jù)靜電能量公式W = CU2/2，得靜電能之比為W1:W2 = C1:C2 = 1:2101

14、4 一平行板電容器的極板面積為S，板間距離為d，接在電源上維持其電壓為U。將一塊厚度為d、相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)板插入電容器的一半空間內(nèi)，求電容器的靜電能為多少？解：平行板電容器的電容為C = 0S/d，當(dāng)面積減少一半時(shí)，電容為C1 = 0S/2d另一半插入電介質(zhì)時(shí)，電容為C2 = 0rS/2d兩個(gè)電容器并聯(lián)，總電容為C = C1 + C2 = (1 + r)0S/2d靜電能為W = CU2/2 = (1 + r)0SU2/4d1015 一平行板電容器的極板面積為S，板間距離為d，兩板豎直放著。若電容器兩板充電到電壓為U時(shí)，斷開電源，使電容器的一半浸在相對(duì)介電常數(shù)為r的液體中。求：（1）

15、電容器的電容C；（2）浸入液體后電容器的靜電能；（3）極板上的自由電荷面密度。解：（1）如前所述，兩電容器并聯(lián)的電容為C = (1 + r)0S/2d（2）電容器充電前的電容為C0 = 0S/d，充電后所帶電量為 Q = C0U當(dāng)電容器的一半浸在介質(zhì)中后，電容雖然改變了，但是電量不變，所以靜電能為W = Q2/2C = C02U2/2C = 0SU2/(1 + r)d（3）電容器的一半浸入介質(zhì)后，真空的一半的電容為 C1 = 0S/2d介質(zhì)中的一半的電容為 C2 = 0rS/2d設(shè)兩半的所帶自由電荷分別為Q1和Q2，則Q1 + Q2 = Q 由于C = Q/U，所以U = Q1/C1 = Q2

16、/C2 解聯(lián)立方程得真空中一半電容器的自由電荷面密度為同理，介質(zhì)中一半電容器的自由電荷面密度為1016 一平行板電容器的極板面積為200cm2，板間距離為1.0mm，電容器內(nèi)有一塊1.0mm厚的玻璃板(r = 5)。將電容器與300V的電源相連。求：（1）維持兩極板電壓不變抽出玻璃板，電容器的能量變化為多少？（2）斷開電源維持板上電量不變，抽出玻璃板，電容器的能量變化為多少？解：平行板電容器的電容為C0 = 0rS/d靜電能為 W0 = C0U2/2玻璃板抽出之后的電容為C = 0S/d（1）保持電壓不變抽出玻璃板，靜電能為 W = CU2/2電能器能量變化為W = W - W0 = (C -

17、 C0)U2/2= (1 - r)0SU2/2d = -3.18×10-5(J)（2）充電后所帶電量為 Q = C0U保持電量不變抽出玻璃板，靜電能為W = Q2/2C電能器能量變化為= 1.59×10-4(J)1017 設(shè)圓柱形電容器的內(nèi)、外圓筒半徑分別為a、b。試證明電容器能量的一半儲(chǔ)存在的圓柱殼內(nèi)。解：設(shè)圓柱形電容器電荷線密度為，場(chǎng)強(qiáng)為 E = /20r能量密度為 w = 0E2/2體積元為 dV = 2rldr能量元為 dW = wdV在半徑a到R的圓柱體儲(chǔ)存的能量為當(dāng)R = b時(shí)，能量為當(dāng)時(shí)，能量為所以W2 = W1/2，即電容器能量的一半儲(chǔ)存在半徑的圓柱體內(nèi)10

18、18 兩個(gè)同軸的導(dǎo)體圓柱面，長(zhǎng)度均為l，半徑分別為a和b，柱面之間充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)（忽略邊緣效應(yīng)）。當(dāng)這兩個(gè)圓柱面分別帶有等量異號(hào)電荷(±Q)時(shí)，求：（1）在半徑為(a < r < b)、厚度為、長(zhǎng)度為l的圓柱薄殼中的電場(chǎng)總能量是多少？（2）電介質(zhì)中的電場(chǎng)總能量是多少？（3）由電容器能量公式推算出圓柱形電容器的電容公式。解：（1）圓柱形內(nèi)柱面的電荷線密度為 = Q/l根據(jù)介質(zhì)是高斯定理，可知電位移為 D = /2r = Q/2rl場(chǎng)強(qiáng)為 E = D/ = Q/2rl能量密度為w = D·E/2 = DE/2 = Q2/82r2l2薄殼的體積為dV = 2rldr能量為 dW = wdV = Q2dr/4lr（2）電介質(zhì)中總能量為（3）由