經(jīng)歷表格形成構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

1、經(jīng)歷表格形成 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型一道一年級習(xí)題引發(fā)的思考及教學(xué)嘗試【案例背景】 人教版義務(wù)教育教科書在一年級上冊第96頁中第一次出現(xiàn)表格問題（如表1），這類問題是對問題情境的高度概括，通過這類問題的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生從不同的問題中抽象出共同的數(shù)學(xué)模型，并能發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系，另一方面也能為高年級乃至中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)關(guān)系打下基礎(chǔ)。一班二班一共7個6個個4條7條條表1然而，很多教師在教學(xué)中往往只是把表格問題當(dāng)做習(xí)題來對待，忽視了這類問題對學(xué)生整理題目中的信息、問題的經(jīng)驗積累所起到的作用。后來與去年執(zhí)教過一年級的教師交流時，他們發(fā)表了這樣的觀點：“現(xiàn)在新教材很強調(diào)：你知道了什么？怎樣解答？解答合理嗎？

2、，所以我在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這類問題時，我都是讓學(xué)生按照這個步驟想一想，規(guī)定了這樣的解決問題程序后，學(xué)生的錯誤率大大降低。”聽罷此話，筆者不由產(chǎn)生如下思考：對這部分內(nèi)容真的只能這樣教學(xué)嗎?有沒有更好的教學(xué)方法呢?【我的思考】表1中的這個題目，是學(xué)生第一次接觸的表格問題，如果學(xué)生沒有經(jīng)歷這個表格的形成過程，理解表格的結(jié)構(gòu)，那么碰到稍復(fù)雜的表格問題的時候就難免出現(xiàn)已知信息和要解決的問題出現(xiàn)混淆的情況；如果學(xué)生只是逐個解決表格中的問題，那么對表格問題只能停留在表面的認識，就不能在后續(xù)的表格問題學(xué)習(xí)中，主動提取出思路和經(jīng)驗。 通過以上的思考，擺在我面前的問題是如何抓住表格問題的本質(zhì)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)了這節(jié)課后能

3、力有所提升。 因此，本節(jié)課重點我認為應(yīng)該從以下幾方面入手：1、經(jīng)歷問題的壓縮過程，積累信息整合的學(xué)習(xí)經(jīng)驗 本節(jié)課如果僅僅直接出示表格問題，讓學(xué)生按照“你知道了什么？怎樣解答？解答合理嗎？”這一模式去學(xué)習(xí)，學(xué)生就不能很好的體會到表格問題與圖文結(jié)合問題、純文字描述問題之間的聯(lián)系。因此本節(jié)課的教學(xué)，應(yīng)該在學(xué)生原有的知識圖文結(jié)合的實際問題的基礎(chǔ)上，使學(xué)生經(jīng)歷圖文結(jié)合問題進行壓縮形成表格問題的過程。在這個過程中，學(xué)生不僅僅能體會到表格問題是一類對實際問題高度抽象與概括的問題，同時也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)解決問題提供足夠的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。2、經(jīng)歷表格的展開與壓縮過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 學(xué)生經(jīng)歷了問題壓縮后，體會到表格問題是

4、對幾個問題的高度整合之后，還要讓學(xué)生對表格進行展開和壓縮，讓學(xué)生在展開和壓縮表格的過程中認識到同一表格里面如果問題處于相同的位置，那么解決問題的思路相同，并且讓學(xué)生學(xué)會基于解決問題的思路，提煉出數(shù)學(xué)模型。3、經(jīng)歷表格的變化過程，獲得問題轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗 經(jīng)歷表格的變化，不僅有利于學(xué)生從表格中抽象出數(shù)學(xué)模型，更有利于學(xué)生從中把握同一數(shù)學(xué)模型不同表達形式之間的聯(lián)系。學(xué)生在一年級學(xué)習(xí)表格問題時，教師不僅要讓學(xué)生能夠解決表格問題，還要使學(xué)生學(xué)會把問題里的已知信息和要解決的問題進行靈活轉(zhuǎn)換生成新的問題?！景咐枋觥拷虒W(xué)片斷一課件出示： 讓學(xué)生提出問題，然后根據(jù)學(xué)生的回答整理出以下的問題。 師：讀完這兩道題，你

5、有什么想法？ 生：這兩個題目都太羅嗦了，第一題畫了三次籃球，第二題畫了三次跳繩。 師：你觀察的真仔細啊！發(fā)現(xiàn)了問題里相同的地方，那能不能把第1小題變得簡單一點呢？ 生：可以說一班有7個，二班有6個，一共有多少個？ （師板書：一班有7個，二班有6個，一共有 個） 師：學(xué)生們想一想：如果只是這樣整理，其他人能知道這里的7個和6個是什么東西嗎？ 生：不知道。師：那你們有什么好辦法使其他人一目了然地看出7個和6個表示的東西呢？生：我們可以在最前面畫一個籃球。 師：這種方法真不錯，你真會動腦筋。這樣問題就變得更清楚、更簡單了。（根據(jù)學(xué)生的發(fā)言完成板書。） 師：第2小題你們也能像這樣整理嗎？ （學(xué)生自主交

6、流，老師完成板書。） 一班有7個，二班有6個，一共有個 一班有4條，二班有7條，一共有條 師：同學(xué)們，你們再看看這些問題，你們還能夠讓問題變得更加簡單嗎？ 生：每一列都有“一班”、“二班”和“一共”。我們可以把它們放到每一列的最上面。 師：太棒了！數(shù)學(xué)家們就是這樣想的！根據(jù)大家的想法，再畫上線，最后就變成了這樣一個表格（如表1）。 【設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)呈現(xiàn)兩道完整的實際問題，通過兩次“能否變得簡單一點”的追問讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個問題中的相同點，從而形成數(shù)學(xué)書上的表格問題。在這個過程中學(xué)生經(jīng)歷了表格的形成過程，獲取了問題壓縮以及對幾個問題整合的經(jīng)驗。這對學(xué)生讀懂表格里的信息及問題大有裨益?！拷虒W(xué)片斷二先

7、讓學(xué)生解決表1中的問題。師:你們還能提出一些這樣的問題嗎？ 生:一班有9個足球，二班有6個，一共有多少個？ 生:一班有8個毽子，二班有5個，一共有多少個毽子?師：如果老師給這個表格下面添加一些格子，你能把這兩個問題填進去嗎?（生獨立完成）師:像這樣的問題能寫得完嗎?生:寫不完。師:這許許多多的問題有那些相同點?生:都是告訴我們一班的物體數(shù)量和二班的物體數(shù)量，求一共有多少的問題。只是有的是籃球，有的是足球，有的是跳繩生:后面的問題其實都和第一個籃球的問題是相同的，都是用一班的加上二班的等于一共的。師:這幾位同學(xué)真會思考，可以從不同的問題中發(fā)現(xiàn)了相同的解決問題的過程。其實，表格向下拉可以拉得很長很

8、長(如表2)，可以補充很多很多的問題，而這些問題，我們只要找到了第一個問題的解題思路(如表3)，那么后面的所有問題就都能迎刃而解了。一班二班一共7個6個個4條7條條表2一班二班一共7個6個個表3 【設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生把表格展開生成很多的問題，這加深了學(xué)生對“加法”這一數(shù)學(xué)模型的具象認識，再通過對表格的壓縮，構(gòu)建出抽象的“加法”數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生經(jīng)歷了一個“數(shù)學(xué)化”的過程，獲得了去除具體情境把握問題本質(zhì)的經(jīng)驗，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力。】教學(xué)片斷三 出示表4一班二班一共圍棋8副7副副表4 首先讓學(xué)生觀察表格第一行，讓學(xué)生獨立解決這一問題，然后再組織交流。 師:想一想，這個表格里的橫線除了可以放在

9、“一共”的位置，還可以放在哪些位置?這個時候就需要告訴我們哪些信息?你能夠編出這樣的問題嗎?生:橫線在一班的位置，就需要知道一共有多少和二班有多少。師：你編的問題是？生：一共有10個乒乓球，二班有4個，一班有幾個? 生:橫線在二班的位置，就需要知道一共有多少和一班有多少。我編的問題是:一共有9副象棋，一班有4副，二班有幾副?(根據(jù)學(xué)生的問題生成相應(yīng)的表格5。)一班二班一共圍棋8副7副副乒乓球個4個10個 象棋4副副9副表5 師:你們能夠解決這些問題嗎? (學(xué)生獨立解決，然后交流思路。) 生:第一個問題是用一班的加上二班的等于一共的，第二個問題是用一共的減去二班的等于一班的，第三個問題是用一共的

10、減去一班的等于二班的。師:這里都是關(guān)于一班的物體數(shù)量、二班的物體數(shù)量和一共的物體數(shù)量的問題，但是交換了已知信息和需要解決的問題，解題思路就會發(fā)生變化。 【設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生變換橫線（問題）在表格里的位置，轉(zhuǎn)換生成新的數(shù)學(xué)問題，可以讓學(xué)生在解決問題的過程中不再用單一刻板的思路去思考，加深了學(xué)生對不同數(shù)學(xué)模型之間聯(lián)系的認識，為靈活選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問題打下基礎(chǔ)。】【案例反思】華東師范大學(xué)吳亞萍教授認為：在過去，由于關(guān)注知識的傳遞，即通過一節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)生能夠圍繞一個知識點進行知識理解、公式掌握，然后運用公式、結(jié)論來解題，最后獲得這個知識點的牢固掌握和考試成績的提高。通過這樣一節(jié)節(jié)課的“點狀”

11、教學(xué)，產(chǎn)生“知識累加”的效應(yīng)。然而，這樣的教學(xué)并不能很好地促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。如果我們的教學(xué)視野僅僅局限在問題本身，學(xué)生所學(xué)的知識必然是瑣碎的，難以形成完整的知識結(jié)構(gòu)，難以完成滲透數(shù)學(xué)思想方法的任務(wù)，難以發(fā)展學(xué)生的能力。對于一年級的表格問題，絕大多數(shù)學(xué)生解決起來并不困難，但從學(xué)生的長遠發(fā)展來看，我們非常有必要弄清表格問題的核心內(nèi)涵，善于往深處挖掘、往廣處拓展，不能做到這一點，數(shù)學(xué)課就會索然無味，就不能將培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、批判性、靈活性等落實到位。由此，我想到了喬布斯的一句話：你要堅信，你現(xiàn)在所經(jīng)歷的，將在你未來的生命中串聯(lián)起來。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該堅信：深刻的價值體驗會給學(xué)生留下豐富的

12、學(xué)習(xí)經(jīng)歷，這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，將在學(xué)生未來的學(xué)習(xí)中發(fā)揮巨大的促進作用。 像這節(jié)課，不應(yīng)該只停留在解題上，而應(yīng)該在這些簡單的內(nèi)容中挖掘深邃的思想。課后，通過與學(xué)生的談話與后測中可以看到，學(xué)生基本上能比較全面地掌握表格問題所蘊含的“模型化思想”，對這類問題也有了更深刻的認識?？傮w來說這節(jié)課的效果還是可以的，分析一下，我認為有以下兩個原因。1、把握核心，從本質(zhì)入手研究問題 歌德說過：經(jīng)驗豐富的人讀書用兩只眼睛，一只眼睛看紙上的話，一只眼睛看紙的背面。表格問題的核心價值是能在繁多的數(shù)學(xué)問題中對問題情境進行高度概括和從不同的問題中抽象出共同的數(shù)學(xué)模型來。G.波利亞也曾指出：兒童的數(shù)學(xué)化過程就是兒童“自我組織”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的過程。因此，課始我呈現(xiàn)兩道完整的實際問題，通過兩次“能否變得簡單一點”的追問讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個問題里的相同點，最后形成數(shù)學(xué)書上的表格問題。教學(xué)實踐表明：立足表格問題的本質(zhì)，用它去統(tǒng)籌整堂課的設(shè)計，學(xué)生對表格問題的理解很深刻，同時也能為高年級乃至中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)關(guān)系打下基礎(chǔ)。2、逐層抽象，從模型視角完成建構(gòu)易經(jīng)里有云：形而上者謂之道，形而下者謂之器。這里的“形而上”就是抽象的東西，同樣，數(shù)學(xué)的抽象也理應(yīng)是“形而上”，即從大量的感性認識向理性飛躍時所積淀下