橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)附例題

1、圓錐曲線與方程 橢 圓 知識(shí)點(diǎn)一橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；這里兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。（時(shí)為線段，無(wú)軌跡）。2標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在x軸上：（ab0）； 焦點(diǎn)F（±c，0）焦點(diǎn)在y軸上：（ab0）； 焦點(diǎn)F（0, ±c） 注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 二橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)： 1.范圍 （1）橢圓（ab0） 橫坐標(biāo)-ax

2、a ,縱坐標(biāo)-bxb （2）橢圓（ab0） 橫坐標(biāo)-bxb,縱坐標(biāo)-axa 2.對(duì)稱性 橢圓關(guān)于x軸y軸都是對(duì)稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點(diǎn) （1）橢圓的頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）線段A1A2，B1B2 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2a，短軸長(zhǎng)等于2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。 4離心率 （1）我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，即稱為橢圓的離心率，記作e（）， 是圓；e越接近于0 （e越小），橢圓就越接近于圓;e越接近于1 （e越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢

3、圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無(wú)關(guān)。（2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一定直線（準(zhǔn)線）的距離的比為常數(shù)e，（0e1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。（）焦點(diǎn)在x軸上：（ab0）準(zhǔn)線方程：焦點(diǎn)在y軸上：（ab0）準(zhǔn)線方程：小結(jié)一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四個(gè)量）， 特征三角形（2）基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）（3）基本線：對(duì)稱軸（共兩條線）5橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.6.幾何性質(zhì) （1） 最大角 （2）最大距離，最小距離例題講解：一.橢圓定義：方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是 2若的兩個(gè)頂點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，則頂點(diǎn)的軌跡方程是 3.已知橢圓=1上的一點(diǎn)P到橢

4、圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)距離為 二利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)1.若方程+=1（1）表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值是 .（2）表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .（3）表示焦點(diǎn)在y型上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .（4）表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 ，短軸長(zhǎng)等于 , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 ,焦距是 ，離心率等于 ,3橢圓的焦距為，則= 。4橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么 。三待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程1若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。2焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3焦點(diǎn)在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4. 已知三點(diǎn)P（5，2）、（6，0）、（6，0），

5、求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；變式：求與橢圓共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程。四焦點(diǎn)三角形1橢圓的焦點(diǎn)為、，是橢圓過(guò)焦點(diǎn)的弦，則的周長(zhǎng)是 。2設(shè)，為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上的任一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是多少？的面積的最大值是多少？3設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，若是直角，則的面積為 。變式：已知橢圓，焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)若，求的面積五離心率的有關(guān)問(wèn)題1.橢圓的離心率為，則 2.從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的視角為，則此橢圓的離心率為 3橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢

6、圓的離心率。5.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 最值問(wèn)題：1.橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)2、橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2，A(3，1)點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|+|PA|的最大值為_(kāi)，最小值為 _3、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，求|PA|的最大值 最小值 。4.設(shè)F是橢圓=1的右焦點(diǎn),定點(diǎn)A(2,3)在橢圓內(nèi),在橢圓上求一點(diǎn)P使|PA|+2|PF|最小,求P點(diǎn)坐標(biāo) 最小值 .同步測(cè)試 1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點(diǎn)P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓

7、 C線段 D 直線 2、橢圓左右焦點(diǎn)為F1、F2，CD為過(guò)F1的弦，則CDF1的周長(zhǎng)為_(kāi) 3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-14、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6 (2)長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2，1) (3) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，1)，(3，2) 5、若ABC頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線長(zhǎng)之和為30，則ABC的重心G的軌跡方程為_(kāi)6.橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于P點(diǎn)。若F1PF2=60°，則橢

8、圓的離心率為_(kāi)7、已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的的離心率為_(kāi)橢圓方程為 _.8已知橢圓的方程為，P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)且,求的面積 9.若橢圓的短軸為AB，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，則滿足ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為 10.橢圓上的點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是12，那么點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是 11已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，且，弦AB過(guò)點(diǎn)，則的周長(zhǎng) 12.在橢圓+=1上求一點(diǎn)P,使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)的距離的兩倍13、中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸是短軸的兩倍,一條準(zhǔn)線方程為,那么這個(gè)橢圓的方程為 。14、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的兩準(zhǔn)線間的距離,則橢圓的離心率=_.15、橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,準(zhǔn)線方程為,橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為10和14,則橢圓方程為 _.16.已知P是橢圓上的點(diǎn),若P到橢圓右準(zhǔn)線的距離為8.5,則P到左焦點(diǎn)的距離為_(kāi).17橢圓內(nèi)有兩點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若使最小，則最小值為 18、橢圓=1與橢圓=l(l>0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的離心率 (C)相同的準(zhǔn)線 (D)以上都不對(duì)