數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文時(shí)間尺度上具分布滯量的二階半線動(dòng)力方程的振動(dòng)

1、時(shí)間尺度上具分布滯量的二階半線性動(dòng)力方程的振動(dòng)性數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)生：曹慧霞 指導(dǎo)老師：曾云輝摘 要：本文研究了一類時(shí)間尺度上具有分布滯量的二階半線性阻尼動(dòng)力方程的振動(dòng)性質(zhì)，通過引入?yún)?shù)函數(shù)，廣義Riccati變換和Yang不等式技巧等方法，給出了此類方程所有解振動(dòng)的充分條件，所得結(jié)果的推廣和改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的結(jié)果.關(guān)鍵詞：時(shí)間尺度；分布滯量；半線性；振動(dòng)性1 引言本文討論如下的一類時(shí)間尺度上具有分布滯量的二階半線性動(dòng)力方程 （1）的振動(dòng)性質(zhì)，其中, 在本文中假設(shè)：時(shí)間尺度(它是實(shí)數(shù)域R上的非空閉子集) 是無上界的，設(shè)我們定義時(shí)間尺度區(qū)間 ；是正的實(shí)值連續(xù)函數(shù), 滿足，且最終不恒為零，在上對(duì)

2、第二個(gè)變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即；關(guān)于分別是上嚴(yán)格遞增的，且有與方程（1）中的積分是Stieljes積分. 滿足. 2 主要引理：引理2.1 如果,即是實(shí)值連續(xù)函數(shù),并且對(duì)于任意的，滿足,則初值問題在上有唯一的正解.這個(gè)“指數(shù)函數(shù)”滿足半群性.引理2.2 假設(shè)是嚴(yán)格遞增函數(shù),并且時(shí)間尺度設(shè)如果對(duì)任意的存在,則 （2） 引理2.3 設(shè)是可微的,并且最終為正或最終為負(fù),則 （3）引理2.4 設(shè)均為非負(fù)實(shí)數(shù), 則對(duì)于任意的， （4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.引理2.5 假設(shè)條件和(5)成立.設(shè)是方程(1)的一個(gè)最終正解.則存在使得當(dāng)時(shí)，則 （5）證明 假設(shè)方程(1)在上有一個(gè)非振動(dòng)解,不妨設(shè)存在使得當(dāng)時(shí),有,(

3、時(shí)同理可證).下證若不然，對(duì)，當(dāng)時(shí)有，令,則 從而有 （6）對(duì)（6）在上積分，可得，也就是，其中是常數(shù).故, （7）對(duì)方程(7)在上積分，得令，并結(jié)合（5）有這與假設(shè)矛盾，所以.證畢.3 主要結(jié)果及證明定理3.1 假設(shè)條件和(5)成立。如果存在一個(gè)正的可微函數(shù) 使得 （8）成立, 則方程(1)在上是振動(dòng)的.證明 假設(shè)方程(1)在上有一個(gè)非振動(dòng)解,不妨設(shè)存在使得當(dāng)時(shí),有,(時(shí)同理可證).由引理2.5,又由是關(guān)于是非減的，因此從而有下證.由即所以 即所以， （9）為書寫方便，我們記，（下同） 則（9）式可簡寫， （10）應(yīng)用前幾個(gè)引理及文獻(xiàn)，在上，有, （11）成立.從而 .由上式和式（11）的第

4、一個(gè)不等式，即可得到在上， （12） 在上定義函數(shù)為， （13）則在上，有.于是，有，得即在上，下式成立.證畢.定理3.2 假設(shè)條件和(5)成立.如果存在正的可微函數(shù)和常數(shù)，使得 （14）成立，則方程（1）在上是振動(dòng)的.證明 假設(shè)方程(1)在上有一個(gè)非振動(dòng)解.不妨設(shè)存在，使得當(dāng)時(shí)，有.類似于定理3.1的證明, 我們得到式(14).由式(14)可知, 在上,下式成立，因此對(duì)于，有 由上式得，對(duì)于，有證畢.5.例：考慮方程（15）在方程（15）中，條件（）和（）顯然成立.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則條件()是成立的，接下來由文獻(xiàn)15,引理2和條件（）得，當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，= .從而當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，=.因此條件（

5、8）是成立的，有定理3.1知，方程（15）是振動(dòng)的.【參考文獻(xiàn)】1 Hilger S. Analysis on measure chains-a unied approach to continuous and discrete calculusJ. Results Math,1990, 18:18-56.2 Agarwal R P, Bohner M, Grace S R, et al. Discrete Oscillation TheoryM. New York: Hindawi Publishing Corporation,2005.3 Bohner M, Peterson A. Adv

6、ances in Dynamic Equations on Time ScalesM. Boston: BirkhÄauser, 2003.4 Agarwal R P, Bohner M, O'Regan D, Peterson A. Dynamic equations on time scales: a surveyJ. J. Comput Appl.Math,2002, 141: 1-26.5 Bohner M, Saker S H. Oscillation of second order nonlinear dynamic equations on time scale

7、sJ. Rocky Mountain.J.Math, 2004, 34: 1239-1254.6 Han Zhen-lai, Shi Bao, Sun Shu-rong. Oscillation of second-order delay dynamic equation on time scales J.Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2007,46(6):10-13.7 Erbe L. Oscillation criteria for second order linear equations on a time s

8、caleJ. Can Appl.Math.Q, 2001, 9: 345-375.8 Saker S H. Oscillation criteria of second-order half-linear dynamic equations on time scalesJ. J. Comput Appl.Math,2005, 177: 375-387.9 Grace S R, Agarwal R P, Kaymakcalan B, Sae-Jie W. Oscillation theorems for second order nonlinear dynamic equationsJ. J A

9、ppl.Math Comput, 2010, 32: 205-218.10 Agarwal R P, Bohner M, Saker S H. Oscillation of second order delay dynamic equationsJ. Can Appl.Math Q, 2005,13: 1-18.11 Sahiner Y. Oscillation of second order delay diferential equations on time scalesJ. Nonlinear Anal, 2005, 63: 1073-1080.12 Erbe L, Peterson

10、A, Saker S H. Oscillation criteria for second order nonlinear delay dynamic equationsJ. J Math.Anal.Appl, 2007, 333: 505-522.13 Sun S, Han Z, Zhang C. Oscillation of second order delay dynamic equations on time scalesJ. J Appl. Math.Comput,2009, 30: 459-468.14 Zhang Q X,Gao L.Oscillation criteria fo

11、r second-order half-linear delay dynamic equations with damping on time scalesJ.Sci.Sin.Math,2010,40(7):673-682.15 Bohner M.Some oscillation criteria for first order delay dynamic equationsJ.Far East J Appl. Math,2005,18:289-304.16Samir H.Saker,Ravi P.Agarwal,Donal ORegan.Oscillation of second-order

12、 damped dynamic equations on time scalesJMath.Anal.Appl.330(2007)1317-1337.Oscillation for Second-order Half-linea Dynamic Equations with Distributed Deviating Arguments on time scalesSpecialty: Mathematics and Applied MathematicsAuthor: Cao Huixia Tutor : Zeng YunhuiAbstract：In this paper, oscillation of a class of second-order half-linear dynamic equations with distributed deviating arguments on time scales was discussed.By means of parametric function the generalized Riccati transformation and the function inequality technique. Some sufficient condit