數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文時間尺度上具分布滯量的二階半線動力方程的振動

1、時間尺度上具分布滯量的二階半線性動力方程的振動性數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)生：曹慧霞 指導(dǎo)老師：曾云輝摘 要：本文研究了一類時間尺度上具有分布滯量的二階半線性阻尼動力方程的振動性質(zhì)，通過引入?yún)?shù)函數(shù)，廣義Riccati變換和Yang不等式技巧等方法，給出了此類方程所有解振動的充分條件，所得結(jié)果的推廣和改進了已有文獻的結(jié)果.關(guān)鍵詞：時間尺度；分布滯量；半線性；振動性1 引言本文討論如下的一類時間尺度上具有分布滯量的二階半線性動力方程 （1）的振動性質(zhì)，其中, 在本文中假設(shè)：時間尺度(它是實數(shù)域R上的非空閉子集) 是無上界的，設(shè)我們定義時間尺度區(qū)間 ；是正的實值連續(xù)函數(shù), 滿足，且最終不恒為零，在上對

2、第二個變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即；關(guān)于分別是上嚴(yán)格遞增的，且有與方程（1）中的積分是Stieljes積分. 滿足. 2 主要引理：引理2.1 如果,即是實值連續(xù)函數(shù),并且對于任意的，滿足,則初值問題在上有唯一的正解.這個“指數(shù)函數(shù)”滿足半群性.引理2.2 假設(shè)是嚴(yán)格遞增函數(shù),并且時間尺度設(shè)如果對任意的存在,則 （2） 引理2.3 設(shè)是可微的,并且最終為正或最終為負,則 （3）引理2.4 設(shè)均為非負實數(shù), 則對于任意的， （4）當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.引理2.5 假設(shè)條件和(5)成立.設(shè)是方程(1)的一個最終正解.則存在使得當(dāng)時，則 （5）證明 假設(shè)方程(1)在上有一個非振動解,不妨設(shè)存在使得當(dāng)時,有,(

3、時同理可證).下證若不然，對，當(dāng)時有，令,則 從而有 （6）對（6）在上積分，可得，也就是，其中是常數(shù).故, （7）對方程(7)在上積分，得令，并結(jié)合（5）有這與假設(shè)矛盾，所以.證畢.3 主要結(jié)果及證明定理3.1 假設(shè)條件和(5)成立。如果存在一個正的可微函數(shù) 使得 （8）成立, 則方程(1)在上是振動的.證明 假設(shè)方程(1)在上有一個非振動解,不妨設(shè)存在使得當(dāng)時,有,(時同理可證).由引理2.5,又由是關(guān)于是非減的，因此從而有下證.由即所以 即所以， （9）為書寫方便，我們記，（下同） 則（9）式可簡寫， （10）應(yīng)用前幾個引理及文獻，在上，有, （11）成立.從而 .由上式和式（11）的第

4、一個不等式，即可得到在上， （12） 在上定義函數(shù)為， （13）則在上，有.于是，有，得即在上，下式成立.證畢.定理3.2 假設(shè)條件和(5)成立.如果存在正的可微函數(shù)和常數(shù)，使得 （14）成立，則方程（1）在上是振動的.證明 假設(shè)方程(1)在上有一個非振動解.不妨設(shè)存在，使得當(dāng)時，有.類似于定理3.1的證明, 我們得到式(14).由式(14)可知, 在上,下式成立，因此對于，有 由上式得，對于，有證畢.5.例：考慮方程（15）在方程（15）中，條件（）和（）顯然成立.因為當(dāng)時，則條件()是成立的，接下來由文獻15,引理2和條件（）得，當(dāng)時，因此，當(dāng)時，= .從而當(dāng)時，令，則當(dāng)時，=.因此條件（

5、8）是成立的，有定理3.1知，方程（15）是振動的.【參考文獻】1 Hilger S. Analysis on measure chains-a unied approach to continuous and discrete calculusJ. Results Math,1990, 18:18-56.2 Agarwal R P, Bohner M, Grace S R, et al. Discrete Oscillation TheoryM. New York: Hindawi Publishing Corporation,2005.3 Bohner M, Peterson A. Adv

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12、 damped dynamic equations on time scalesJMath.Anal.Appl.330(2007)1317-1337.Oscillation for Second-order Half-linea Dynamic Equations with Distributed Deviating Arguments on time scalesSpecialty: Mathematics and Applied MathematicsAuthor: Cao Huixia Tutor : Zeng YunhuiAbstract：In this paper, oscillation of a class of second-order half-linear dynamic equations with distributed deviating arguments on time scales was discussed.By means of parametric function the generalized Riccati transformation and the function inequality technique. Some sufficient condit